Решение краевых задач с начальными условиями

Решение краевых задач с начальными условиями. [c.156]

Для первой краевой задачи с начальными условиями решение и х,1) при х,1) е <5г,т, О < Г 1/а, определяется следующим образом [c.25]

Решение u x,t) второй краевой задачи с начальными условиями для x,t) е Ql,т, О < Г 1/а, определяется следующим образом [c.26]

Гашение колебаний. Успокоить колебания струны при любых начальных условиях [(р х), ф х)] можно за период времени Т равный 1/а. Решение первой краевой задачи с начальными условиями имеет вид (2.7). Воспользуемся финальными условиями и х,Т) = О, щ х,0) = О при О ж Получаем систему уравнений [c.33]

Гашение колебаний. Используем формулу (2.11) решения третьей краевой задачи с начальными условиями. Успокоить колебания для произвольных начальных условий (р(х) и ф х) возможно за время Т = 1/а, поэтому получаем следующую систему уравнений [c.35]

Решение первой краевой задачи с начальными условиями методом Фурье. Функцию и х, 1) представим в виде [c.40]

Решение других краевых задач методом Фурье. Решения других краевых задач с начальными условиями, полученные методом Фурье, определяются выражением (2.53), причем вид собственных функций Хп х), собственных чисел и выражение функции Zn t) определяются конкретной краевой задачей. Приведем сводку результатов для различных краевых задач. Нормирующий множитель Шп в собственных функциях Хп х) выбирается таким образом, чтобы интеграл от нуля до I от Х (х) равнялся единице. [c.54]

Определение 3.1. Решением из Ь2 Я1,т) первой краевой задачи с начальными условиями называется такая функция и х,1) из класса [c.66]

Введем обобщенные решения из Ь2((5г,т) второй краевой задачи с начальными условиями при следующих предположениях [c.67]

Определение 3.3. Обобщенным решением из 1/2(<5г,т) второй краевой задачи с начальными условиями называется такая функция [c.67]

Таким образом, в отличие от задач с начальными условиями, краевые задачи могут иметь неоднозначные решения или вовсе не иметь решения. В рассмотренных случаях это объясняется тем, что если по условиям при /=0л =0, то и через полпериода, т. е. при ti=n/k, должно быть тоже х=0. Поэтому здесь удовлетворить условию при ti—Klk х=1фО нельзя, а условие при ti=nfk x=i—0 удовлетворяется всегда, т. е. при колебаниях с любой амплитудой А. [c.234]

Имеется большое количество разнообразных численных методов решения уравнений типа (9.2) [6, 13 и др.], из которых для реализации на ЭЦВМ наиболее удобен метод Рунге—Кутта. Отметим, что для распространенных ЭЦВМ обычно имеются стандартные программы решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым уравнение (9.2) приводится обычным приемом [90]. Однако предварительно рассматриваемую краевую задачу необходимо свести к задаче с начальными условиями (задаче Коши). Этот во- [c.66]

Построение ПД с учетом динамики робота сводится к решению двухточечной краевой задачи с граничными условиями (2.43) и ограничениями (2.44)—(2.46). Многие известные методы решения краевых задач здесь малоэффективны или даже непригодны. Трудности усугубляются высокой размерностью и нелинейностью уравнений динамики (2.2), а также сложным характером ограничений (2.44)—(2.46). Эффективным методом динамического синтеза ПД является метод параметризации ПД с учетом граничных условий (2.43), накладываемых на начальное и конечное состояния робота [107, ИЗ], В этом методе воплощена идея априорного выполнения граничных условий (2.43) и учета структурного ограничения (2.46). Это достигается за счет специального выбора базисных функций. В таком подходе заложен глубокий смысл при отыскании приемлемых параметров ПД уже не нужно за- [c.52]

Для числовых расчетов стационарного потока в пограничном слое очень важным моментом наряду с положениями теории пограничного слоя является наличие области неустойчивости. Настоящая задача пограничного слоя, как соответствующая задача с начальными значениями точнее, краевая задача с начальными значениями), определяется сугубо приближенным способом решения — методом последовательного продолжения профиля скорости. Очень важное значение для расчета каждого профиля имеют начальные условия. Причем возникающая неточность в расчете, неизбежная в приближенных методах, передается на последующие профили таким же образом, как и собственные возмущения на распределение скоростей. А именно, неточность возрастает, если дифференциальные уравнения неустойчивы, и, наоборот, приближенный метод может уменьшить числовую неточность, если дифференциальные уравнения устойчивы. [c.285]

Как правило, под такими методами подразумевают прежде всего какие-либо способы представления решений некоторого класса дифференциальных задач с начальными условиями или краевыми условиями в виде математических объектов с простой структурой в виде аналитической формулы, в виде некоторого интеграла от известной функции — квадра,туры, достаточно быстро сходящегося или носящего асимптотический характер ряда с последовательно вычисляемыми коэффициентами. В первых двух случаях, пользуясь стандартными методами численного анализа, можно при любом фиксированном наборе входных параметров получить решение с заданной степенью точности за очень малое время ЭВМ, иногда это удается сделать и в третьем случае. Часто в первых двух случаях или в случае сходящегося ряда говорят о построенных точных решениях. В последнее время под термином получено точное решение понимают и ситуацию, когда задача сведена к интегрированию системы небольшого количества обыкновенных дифференциальных уравнений при условии отсутствия особенностей (конечный промежуток интегрирования, достаточно гладкие коэффициенты и т. п.). Такого типа задачи можно практически с произвольной точностью (снова при фиксированном наборе входных параметров) решить на ЭВМ с помощью стандартных численных методов за сравнительно короткое время. [c.14]

Метод дифференциальной прогонки. В этом пункте мы остановимся еще на одном методе численного интегрирования, который позволяет избежать трудностей, связанных с появлением быстро растущих решений. Идея метода (см. [28]) состоит в переходе от исходной амплитудной краевой задачи к некоторой специальным образом конструируемой нелинейной задаче с начальными условиями. [c.24]

Определение 2.1. Дважды непрерывно дифференцируемая в замкнутом прямоугольнике Ql функция и х, 1) называется классическим решением первой краевой задачи с начальными (финальными) условиями, если она удовлетворяет уравнению (2.1) в (5г,т, начальным условиям (2.2) (финальным условиям (2.3)) на сегменте О ж / и краевым условиям (2.4) для О Г. [c.25]

В основе задач управления колебаниями струны лежит решение следующей задачи с начальными и финальными условиями найти функцию и х, ), удовлетворяющую уравнению (2.1), начальным условиями (2.2) и финальным условиям (2.3). Решение сформулированной задачи ищется как решение той или иной краевой задачи с заданными начальными условиями (2.2) и с такими краевыми условиями, которые обеспечат выполнение финальных условий (2.3). Таким образом, задача управления решена, если найдены управляющие функции //( ) и и период времени Т. [c.31]

Перевод покоящейся струны в заданное состояние. Используем формулу (2.23) решения третьей краевой задачи с финальными условиями [< i(x), 0i(x)] иТ = 1/а. Струна в начальный момент времени покоилась, т.е. м(ж,0) = О, щ х,0) = 0. Эти условия дают следующие уравнения [c.37]

Теорема единственности решения первой краевой задачи. Докажем полностью теорему единственности решения для первой краевой задачи с начальными (финальными) условиями, а для других краевых задач сформулируем теоремы и укажем отличия в доказательствах. [c.74]

Теорема 3.1. Решение из Ь2(<5г,т) первой краевой задачи с начальными (финальными) условиями единственно. [c.74]

Во втором случае решение существует не всегда. Если краевая задача не имеет решений ни при каких значениях параметров, то приходится рассматривать более общую постановку задачи с начальными условиями (см. гл. V). [c.7]

Поясним еще раз понятие устойчивости. Ошибки при вычислении начальных и граничных условий и правых частей уравнений из-за погрешностей округления и других причин можно рассматривать как возмуш,ения начальных и граничных условий и правых частей уравнений. Очевидно, что разностная краевая задача (или задача с начальными данными) корректна и устойчива, если решение разностной краевой задачи незначительно изменяется при малом изменении начальных и граничных условий и правых частей, связанном со случайными погрешностями. В противном случае разностная краевая задача неустойчива. Важно отметить, что для неустойчивых разностных схем измельчение сетки не приводит к устойчивости, поскольку любые малые возмущения решения со временем неограниченно возрастают. [c.92]

Формула (5.1.47), определяющая вид решения краевой задачи при 0ах(О = )с(О и нулевом начальном условии, является более удобной, чем (5.1.44). Действительно, формула (5.1.47) показы- [c.214]

В отличие от задач, связанных с удовлетворением начальных условий (стр. 222, 224), решение которых, притом единственное при достаточно широких предположениях (стр. 2 2б, 228) всегда существует, решение краевых задач не всегда возможно. [c.239]

Представляют теоретический и прикладной, в частности в сейсмологии, интерес динамические задачи, когда в фиксированный момент времени известно состояние среды, т. е. начальные условия не-нулевые или неоднородны. Так как будем рассматривать линейные задачи, то при решении частных задач краевые условия будем принимать нулевыми. Если наряду с начальными условиями задаются и ненулевые граничные условия, то решение задачи нетрудно полу- [c.166]

Краевые условия представляют собой модель начального состояния тела и его взаимодействия с окружающей средой в процессе деформации. Поэтому при их задании неизбежны погрешности. При этом погрешности в определении напряженно-дефор-мированного состояния в результате решения краевой задачи должны быть того же порядка. [c.234]

N, где N —число шагов). Возможны две модификации пошагового расчета. Более распространен вариант, в котором по известному состоянию Ri, в начале шага и по приращению внешнего воздействия АВ = (индекс 2 относится к концу шага) находится изменение состояния /S.R = —R . Текущее состояние R (//) находится суммированием приращений AR. В другой модификации расчета [82 ] по состоянию и воздействию В непосредственно находится состояние Идея данной модификации использует тот факт, что от предыстории деформирования можно считать зависящим только поле неупругих деформаций pij (л ), а состояние R определяется по заданному полю pij х) однозначно — из упругого решения. Напомним, что так названо решение краевой задачи термоупругости с дополнительным полем начальных деформаций — в отличие от упругого решения, определяющего реакцию R идеально упругого тела на заданное воздействие В. Таким образом, достаточно суммировать по шагам одно поле неупругой деформации. Это устраняет накопление ошибки, связанной с неточностью выполнения условий равновесия, совместности и физических уравнений (записываемых в первой модификации алгоритма в приращениях и, следовательно, приближенно). С другой стороны, вторая модификация более устойчива по отношению к случайным ошибкам при определении неупругой деформации если в некотором шаге пластическая деформация в какой-либо точке конструкции ошибочно оказалась завышенной, напрял<еиия в ней получатся заниженными и в следующем шаге приращение пластической деформации будет меньше действительного, что частично компенсирует ошибку. [c.207]

В пространстве введем вектор с = [ i,..., С ,р] . Задача метода начальных параметров состоит в определении такого вектора с, nf котором функция z (3.1.10) была бы решением краевой задачи (3.1.7),(3.1.8), TJS. удовлетворяла бы также и условию z ( г) = 0. Из векторов(fit), [c.85]

Решение третьей краевой задачи с начальными условиями методом Фурье. Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые проводили при решении первой краевой задачи, приходим к следующей задаче Шт у мз.-Лщвутш найти те значения параметра X, при которых существуют нетривиальные решения задачи [c.41]

Рассмотрим схему решения сформулированной задачи классическим методом характеристик. Расчет осуществляется с помощью последовательного решения задачи Коши, Гурса и отмеченных новых двухграничных смешанных краевых задач профилирования. Численное профилирование начинается с решения задачи Коши с начальными данными на L, в процессе которого определяются область влияния I (см. рис. 1.3), а также характеристики 1 и Г. Затем последовательно решаются смешанная краевая задача с граничными условиями на части ВК характеристики 7° и Гг в области II и задача Гурса в областях III и IV. При задании в качестве границы Гг характеристики ВЫ вместо смешанной задачи в области [c.38]

Заметим, что первая производная заменяется центральной разностью независимо от знака т. Точное решение, однако, может сильно зависеть от знака т при т1 -> оо адвективный член хи доминирует над второй производной, и решение- и есть решение типа пограничного-слоя. На большей части интервала, по существу является решением задачи с начальными условиями, для которой центральная разность совершенно неприемлема, на дальнем конце для удовлетворения другого краевого условия появляются быстрые вариации и нужна особо мелкая сетка. Потребность в односторонних (против течения) разностях хорошо известна инженерам-химикам. Математически преобладание т отражается в большом значении К а в оценке ошибки (7). [c.145]

Система дифференциальных уравнений переноса совместно с начальными и граничными условиями отображает в аналитической форме основные черты изучаемого процесса, т. е. является его математической моделью. Решение модели позволяет получить полную картину распределения потенциалов переноса в теле или системе тел, проследить изменение полей потенциалов во времени и на этой основе дать детальный анализ кинетики и динамики процесса. Никакие эмпирические методы исследования или приближенные методы 1полуэмпирического характера не могут заменить аналитических методов исследования. Большие успехи, достигнутые за последние годы теплофизикой, самым непосредственным образом связаны с широким использованием аналитической теории, роль которой непрерывно увеличивается. Поэтому разработка надежных и эффективных методов решения краевых задач теории переноса является актуальной и важной задачей теплофизики. [c.78]

Одним из наиболее общих методов решения линейных краевых задач является бтод, состоящий в сведении решения краевой задачи к решению нескольких задач Коши с соответствующими начальными условиями и известный как метод начальных [c.183]

Для краевой задачи связанной теории термоупругости в [115] предложены вариационные формулировки, соответствующие принципам минимума потенциальной энергии системы, Кастильяно, Хеллингера-Рейсснера и Ху-Вашицу, причем в функционалы с помощью свертки явно включены начальные условия. Наиболее удобно для решения краевых задач использовать принцип минимума потенциальной энергии системы или принцип Лагранжа для полей перемещений и температуры, который состоит в следующем [21]. [c.193]

При решении краевой задачи, описываемой системой уравнений четного порядка п, п 2 граничных условий должны быть удовлетворены на одной из границ, а оставшиеся п12 — на другой. Если перед интегрированием системы уравнений выбрать начальные параметры определенным образом, то решение можно упростить. Представим решение в тойжеформе (3.21), но вектор констант С пусть имеет размер п/2. Построим решение (3.21) так, чтобы оно удовлетворяло начальным условиям при любых значениях вектора констант. Тогда вектор С может быть определен из половины полученных уравнений, тех, которые удовлетворяют граничным условиям в конце интервала интегрирования [c.72]

Оценка относ>1тельных погрешносхей определения физических параметров пластины и количества облучения производится в соответствии с конкретными условиями расчета. Ясно, что Ag зависит от относительных погрешностей определения слагаемых общего решения краевой задачи теплопроводности и Ag Здесь общим символом е обозначены и. В свою очередь Ау и Ag представляют собой относительные погрешности вычисления значений слагаемых общего решения с учетом влияния погрешностей аппроксимаций характеристик лучистого нагрева и начальных теипературных полей. [c.82]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...