Асимптотическое поведение волновых

Различие между этими задачами заключается лишь в том, что при рассмотрении рассеяния нейтронов протонами система нейтрон + протон имеет положительную энергию, в то время как при рассмотрении задачи об основном состоянии дейтрона мы имеем дело с отрицательной энергией. С этим связано различное асимптотическое поведение волновых функций обеих задач. В задаче о рассеяния волновая функция на бесконечности осциллирует и отлична от нуля, в задаче же об основном состоянии дейтрона она обращается в нуль. [c.24]

Напомним предварительно, что асимптотическое поведение волновой функции частицы в кулоновском поле имеет вид [c.85]

Величина а может быть также связана с комплексной фазой рассеяния т], определяющей асимптотическое поведение волновой функции нейтрона (мы рассматриваем только 5-волну, поэтому у величины опущен индекс нуль). [c.367]

Амплитуда рассеяния может быть выражена через так называемые фазы на бесконечности 1 1, определяющие асимптотическое поведение радиальных волновых функций частицы при различных значениях её орбитального момента по отношению к рассеивателю. Так как метод расчёта амплитуды рассеяния с помощью фаз на бесконечность чрезвычайно важен, го мы остановимся на нём несколько подробнее. [c.162]

Предельный случай больших чисел Прандтля. Поведение волновой моды неустойчивости в предельном случае Рг может быть исследовано при помощи асимптотического метода, основанного на введении малого параметра е = 1 />/Рг. [c.34]

Используя асимптотическое поведение при t oo точного решения задачи с начальными условиями, мы смогли дать физическое истолкование распространения волнового числа, частоты и энергии волны, распространяющейся с групповой скоростью. [c.114]

И опять останавливаемым. Каждая из диагональных прямых с отрицательным наклоном, выделяющая равновеликие сегменты по обе стороны от нее, указывает, какое скачкообразное, изменение у должно произойти спустя время, равное величине, обратной коэффициенту ее наклона с отрицательным знаком. Обратите внимание, как ударная волна, имеющая нулевую интенсивность в момент ее формирования о (соответствующий волновой профиль показан на рис. 31), вскоре, однако, становится существенным разрывом, на котором и меняется между своими значениями в точках А и В. Ударная волна достигает максимальной интенсивности (чему соответствует переход у от С к В) в более позднее время, равное величине, обратной коэффициенту наклона СВ, взятой со знаком минус, а затем начинает затухать до более слабого разрыва ЕР асимптотическое поведение ударной волны спустя большое время t определяется хордой ОН с очень малым наклоном. Для этих четырех хорд соответствующие волновые профили показаны на рис. 44, в видно, как ударная волна, первоначально сформировавшаяся внутри импульса сжатия, начинает продвигаться к его фронту в силу того, что ее скорость превосходит скорость сигнала перед ней, пока эта волна не превратится в головную ударную волну ЕЕ, движущуюся в невозмущенную жидкость впереди остальной части импульса. [c.215]

Асимптотическое поведение этой головной ударной волны определяется приравниванием площади под кривой ОН (рис. 44, а), которая в пределе есть полная площадь Q под исходным волновым профилем, к площади под хордой ОН, которая в точности равна [c.215]

Мы видели, что нелинейные эффекты могут привести к радикальным преобразованиям акустических волновых профилей, при которых участки сжатия переходят в разрывы, а нак.лон участков разрежения асимптотически стремится к нулю (как 1/ ). Эти преобразования уничтожают большую часть информации, характеризующей исходный волновой профиль в только что приведенном примере асимптотическое поведение зависит только от площадей Q ж.Q его положительной и отрицательной частей. [c.217]

Действительно, если ехр [— а (А )] — такой дополнительный множитель, дающий уменьшение за время г амплитуды волны вида (102) с волновым числом к, то этот множитель должен быть включен в интеграл (106), даже если формула (107) для начального возмущения остается неизменной. Тогда анализ асимптотического поведения интеграла (110) проводится с сохранением фазы Щ (к) в подынтегральной функции, но с заменой амплитуды Р (к) на Р (к) ехр [— а (А )] конечным результатом будет выражение (123) с такой же заменой для Р (к). Тогда фаза цепочки волн не отличается от фазы (126), но формула (125) для амплитуды заменится на такую [c.311]

В распределении амплитуд по нормали к вееру лучей появляется интересная особенность, задаваемая интегралом в (350). Мы уже знаем, что ограничение области интегрирования до (О, оо) превращает генерируемую осциллирующим источником стоячую волну в нечто подобное бегущим волнам (рис. 92 п 93). Новый коэффициент вводит дополнительно операцию, известную как взятие производной порядка 1/2. Мы встречались с этим фактом в связи с асимптотическим поведением звуковых волн в случае двумерного их распространения (разд. 1.4), и, возможно, нам и не следовало бы удивляться появлению его снова в асимптотической форме решений уравнения в частных производных (345), которое при замене 2 на величину, кратную времени, стало бы двумерным волновым уравнением. Однако решение уравнения (345), удовлетворяющее условию излучения, включает не только производную порядка 1/2, [c.463]

Из асимптотического поведения (11.9) волновой функции видно, что если величина Si имеет полюс при к = ко — ikx, то существуют только расходящиеся сферические волны, т. е. мы имеем источник потока. Конечно, энергия является комплексной величиной, и поэтому представить себе этот источник физически невозможно в самом деле, волновая функция источника на бесконечности экспоненциально растет. Резонансные явления обусловлены тем, что при (физически возможной) действительной энергии ky2 i мы находимся вблизи ситуации с источником, и следует ожидать поэтому, что в данной области волновая функция особенно чувствительна к малым изменениям энергии. Конечно, выражение (11.61) говорит о том, что при к = ко iky мы находимся вблизи нуля величины Si, где волновая функция содержит только сходящиеся волны. Но при г —> оо она тоже экспоненциально растет, увеличивая тем самым чувствительность волны к малым изменениям энергии вблизи ко. [c.296]

Физическая волновая функция. Связь физической волновой функции гlз + с функцией ф можно установить путем сравнения асимптотического поведения функции Фг, определяемого формулой (12.35), в которой вместо следует подставить функции с выражением (11.9). В результате такого сравнения получаем [c.348]

Амплитуды рассеяния. Асимптотическое поведение компонент волновой функции можно найти с помощью (15.13) и (11.4) [c.412]

Асимптотическое поведение физической волновой функции (15.13) дается (15.16). Сравнивая (15.16) с (15.107), заключаем, что [c.430]

Асимптотическое поведение радиальной волновой функции при больших г можно раскрыть, обращаясь к (16.73а) и (11.4), [c.454]

Вопрос о поведении спектральной плотности в окрестности начала координат пространства волновых векторов (т. е. в области наиболее длинноволновых компонент турбулентности) является основным также и при исследовании заключительного периода вырождения изотропной турбулентности. В самом деле, как мы видели в 14, скорость убывания пульсаций поля скорости (или температуры) с заданным волновым числом к под действием вязкости (или теплопроводности) пропорциональна 2vЛ (или 2x 2), т. е. быстро возрастает с ростом к. Будем для определенности говорить о среднем квадрате пульсаций скорости, т. е. о турбулентной энергии аналогичное рассуждение применимо и к пульсациям температуры. На первом этапе вырождения турбулентности рассеяние энергии под действием вязкости может компенсироваться притоком энергии из других областей пространства волновых векторов, создаваемым турбулентным перемешиванием если, однако, отсутствует приток энергии извне, то в конце концов наступит момент, когда поддержание заметного потока энергии от одних волновых чисел к другим, сравнимого по величине со скоростью процессов диссипации, станет уже невозможным. Начиная с этого момента значения спектральной плотности при всех значениях к, лежащих вне малой окрестности точки к — О. будут убывать экспоненциально, и только при. очень малых значениях (к ( спектр будет изменяться более медленно. Отсюда ясно, что асимптотическое поведение корреляционных функций при очень больших значениях I должно определяться исключительно поведением начального спектра в окрестности точки А = 0. [c.137]

Асимптотическое поведение корреляционного и спектрального тензоров однородной турбулентности в области больших масштабов (малых волновых чисел) [c.151]

На больших частотах волновые поля, т. е. решения уравнений (2) или (6), как установлено физиками в многочисленных и разнообразных экспериментах, подчиняются определенным геометрическим закономерностям. Естественно ожидать, что эти геометрические закономерности характеризуют асимптотическое при со->-оо поведение волновых полей и, следовательно, могут быть получены непосредственно из уравнений (2) или (6). [c.10]

При положительных значениях z, когда I tjI < 1, рещение Fj переходит в линейную комбинацию рещений F и F2, коэффициенты которой приведены в формуле (3.50). Эго позволяет легко проанализировать асимптотическое поведение рещения волнового уравнения при z -+ + >, Оказывается (см. формулы (3.58), (3.59)), что при больших положительных z решение / i соответствует плоской волне, бегущей в сторону положительных значений г, а рещение Fj - плоской волне, бегущей в сторону отрицательных z. Используя соотношения (3.57)- (3.59) и (3.50), для звукового поля при Z -> + оо получаем [c.65]

При наличии ударных волн типичное асимптотическое поведение окончательного волнового профиля на больших расстояниях представляется Л -волной с центром на предельной характеристике То- Для сферических волн, уточнив коэффициенты в (9.24), получим [c.318]

Пусть О — связный граф многократного рассеяния, имеющий множество входящих линий /] и множество выходящих линий /г- Мы будем изучать асимптотическое поведение амплитуды элементарного процесса /1— /2 при действии на волновые пакеты различных частиц подходящих сдвигов в пространстве-времени, предназначенных для того, чтобы мы получили возможность наблюдать процесс О. Каждой вершине V графа О мы сопоставим четырехмерный вектор а , на который будут сдвинуты все внешние частицы, инцидентные V. Выбор системы векторов (а ) произво- [c.21]

Асимптотическое поведение кумулянтов 8 и Н лучше всего выясняется при рассмотрении случайных волновых полей как суперпозиции большого ансамбля конечных волновых групп, чем бесконечных цугов волн. [c.135]

В данной работе на основе асимптотических формул и предельных значений характеристических величин колебательных и волновых процессов проводится сравнительный анализ динамического поведения материалов, свойства которых описываются реологическими моделями (4)-(7), а также устанавливается аналогия в поведении реологических и динамических характеристиках перечисленных моделей. [c.697]

Спецкурс Избранные вопросы теории колебаний и волн в распределенных системах знакомит студентов с современными достижениями теории волн применительно к динамике распредепенных упругих систем. В курсе изучаются колебания периодических структур, составленных из различных комбинаций реологических элементов Гука и Юма. Осуществляется предельный переход к распределенным системам. С помощью вариационного метода строятся модели упругих колебаний стерж1 сй и пластин. Рассматриваются кинематические и динамические характеристики волнового процесса, выводятся уравнения переноса энергии и импульса. Методом стационарной фазы из)Д1а-ется асимптотическое поведение волн в линейных средах. Вводится понятие дисперсии фазовой и групповой скоростей. Рассматривается нелинейная эволюция волн Римана, ударных волн и солитонов. Изучаются также волновые процессы в системах с нестационарными и движущими границами. [c.12]

ДЛЯ гармонического осциллятора. Здесь введена безразмерная координата а дифференцирование по этой переменной обозначено двумя штрихами. Обш,ее решение этого дифференциального уравнения при произвольном значении г] выражается через функции параболического цилиндра. Однако эти функции, вообш,е говоря, не обладают требуемым асимптотическим поведением при больших значениях Чтобы обеспечить нормируемость волновых функций, мы должны рассматривать решения, убываюш,ие при больших Функции параболического цилиндра имеют нужные асимптотики лишь при специальном выборе Г], а именно при = ш + 1/2. В этом случае указанные решения сводятся к полиномам Эрмита Нт. При этом соответствующие значения г]т являются собственными значениями энергии. [c.661]

Основной особенностью этого второго подхода является использование взаимной связи между угловым моментом и передаваемым импульсом (или, лучше сказать, углом рассеяния). Эти переменные являются, очевидно, сопряженными и их можно для наглядности сравнить с обычными координатой и импульсом частицы. Как известно, волновая функция представляет в импульсном пространстве преобразование Фурье от координатной волновой функции и наоборот. Далее из анализа хорошо известен также тот факт, что особенности функции определяют асимптотическое поведение ее преобразования Фурье. Из взаимообратимого характера преобразования Фурье непосредственно следует, что сингулярности последнего в свою очередь опред ляют асимптотическое поведение исходной функции. Качественно можно сказать, что сингулярность в преобразовании Фурье (асимптотическое поведение) представляет асимптотическое поведение (сингулярность). Аналогичная интерпретация оказывается возможной также в случае угловых переменных с тем только отличием, что в этом случае мы имеем дело с разложением по сферическим функциям и тесно связанным с ним преоб- [c.19]

В предыдущей главе было показано, как аналитические свойства амплитуды рассеяния могут быть получены из рассмотрения волнового уравнения в координатном пространстве. В основу всего рассмотрения можно также положить уравнение Липпмана — Швингера в импульсном пространстве, тогда окончательные результаты можно получить даже более просто. Уравнение Липпмана — Швингера для парциальных волн весьма эффективно при изучении асимптотического поведения вдоль мнимой оси Я (см. гл. 8). Возможно, что это вообще единственный путь получения такого рода информации. В настоящей главе будет рассматриваться главным образом уравнение Липпмана — Швингера для полной амплитуды . изучение этого уравнения служит первым шагом в доказательстве представления Мандельстама. [c.170]

Не только в волнах малой амплитуды на воде, но и во многих других диспергирующих системах синусоидальные волны, каждая со своим волновым числом, имеют определенную скорость волны (хотя не одну и ту же для всех волн), и это наводит на мысль, как отмечено в начале разд. 3.6, использовать метод Фурье для описания развития возмущений произвольной формы. Такие возмущения действительно могут быть представлены линейной комбинацией синусоидальных волн, и мы обнаружим, что их асимптотическая оценка для больших значений времени, с одной стороны, позволяет строго доказать установленные в разд. 3.6 свойства групповой скорости и, с другой стороны, пойти еще дальше, определив, например, асимптотическое поведение амплитуды и фазы а в неком выражении, подобном (89). [c.302]

Как и в разд. 4.8, для быстрого и простого получения результатов оказывается удобным произвести поворот осей. Чтобы получить направленное распределение волновой энергии, мы должны найти асимптотическое поведение выражения (269) вдоль произвольной прямой Ь, выходящей из области источника. Для этого, каково бы ни было направление Ь, мы делаем предварительный поворот осей так, чтобы прямая Ь совпала с положит лъной осью х . Затем мы находим асимптотическое [c.440]

Пеобходилю также сказать несколько слов относительно формы возбуждающего волнового пакета. Физически очевидно, что самое лучшее, что можно сделать, это наложить два взаимно противоречивых условия. Для того чтобы возбуждающий сигнал не перекрывался с временной кривой распадающейся системы больше, чем это необходимо, он должен иметь небольшую длительность и должен быть резко обрезан. Для изоляции сигналов, обусловленных данным резонансом, от других сигналов, приходящих с задержкой (например, от других резонансов), нужно, чтобы возбуждающий сигнал охватывал узкую область энергий и также был резко обрезан по энергиям. Очевидно, что в предельном случае монохроматического пучка не происходит никакого распада, а имеется стационарное состояние. Обратный предельный случай, когда в пучке почти в равной мере присутствуют частицы с любыми положительными энергиями, будет возможен только при исключительных условиях чрезвычайно изолированной линии. Можно ожидать, что энергетическая ширина пакета должна быть больше ширины линии настолько, чтобы пакет хорошо перекрывал линию. Для того чтобы осуществить резкое обрезание как по времени, так и по энергии, мы выберем гауссовскую форму пакета (ограниченную физически допустимыми значениями энергии). Конечно, незначительные изменения формы пакета могут приводить к изменению некоторых деталей получающихся результатов. В частности, к таким изменениям чувствительно асимптотическое поведение при t ->-оо. Именно поэтому мы будем избегать доказательств, основывающихся на точной форме асилштоти-ческого хвоста. Однако, как и во многих других случаях, можно ожидать, что наиболее существенные результаты, полученные путем тщательного ана- [c.545]

В этой связи Кэйз (1960а, б) и Дикий (1960а, б) указали независимо друг от друга, что при исследовании устойчивости течений идеальной Жидкости целесообразно вообще отказаться от рассмотрения элементарных волновых решений вида (2.27). Вместо этого следует с самого начала решать задачу с начальным условием ф(д , г, 0) = фо(л , г) для дифференциального уравнения в частных производных (2.26) с нулевой правой частью (т. е. с V = 0 это и есть тот второй подход к задаче об устойчивости течений идеальной жидкости, о котором говорилось на стр. 120). Оказывается, что общее решение этой задачи с начальным условием может быть представлено в виде некоторого интеграла Лапласа, асимптотическое поведение которого при ->оо может быть изучено с помощью обычных методов теории функций комплексного переменного. При этом подынтегральное выражение в соответствующем интеграле Лапласа [c.121]

Аналогично можно исследовать вопрос об асимптотическом поведении спектра и корреляционной функции пульсаций температуры. В силу уравнения (14.58), если в момент t — 0 все семиинварианты экспоненциально убывают на бесконечности, то dBm(r, t)ldt при i = 0 также будет затухать экспоненциально. Однако выражения для последующих производных В (г, t) по времени уже будут содержать поле давления, так что следует ожидать, что, вообще говоря, функция Во (г, t) при i > О также будет убывать при г->оо лишь степенным образом. Детальное исследование порядка этого убывания, однако, представляется не особенно интересным. В самом деле, ясно, что влияние сил давления, наверное, не приведет к убыванию функции Вт (.г, I) более медленному, чем поэтому ингеграл (15.26) здесь естественно считать абсолютно сходящимся, а спектр Fmih, t) — непрерывным и непрерывно дифференцируемым по компонентам к во всем пространстве волновых векторов. Но отсюда ясно, что справедливость асимптотических формул (15.46) и (15.47), описывающих общий случай заключительного периода вырождения изотропных температурных пульсаций, в данном случае не вызывает сомнений. Точно так же не вызывает сомнений и справедливость закона сохранения (15.26), при выводе которого лишь требовалось, чтобы функция убывала не медленнее, чем 0(г ) в самом деле, легко понять, что более медленный порядок убывания функ-ции (г, t) не может быть вызван влиянием сил давления, если только в начальный момент все семиинварианты турбулентности убывают достаточно быстро. [c.160]

О и решение имеет вид бегущих волн. Асимптотическое поведение правильной волновой функции при 1x1 -> °о соответствует наличию падающей ехр [ ikx—iWtl%] к — 2mW и отраженной Rexpl+ikx — iWt/h волн, С противоположной стороны барьера мы имеем прошедшую волну, т. е. волновую функцию вида Т ехр [ ikx — iWt/h]. [c.130]

Полученная оценка значения (0), приводящ его к образованию боры, особенно интересна ввиду того хорошо известного факта, что приливная бора возникает лишь в сравнительно малочисленных реках с достаточно высокой приливной волной в устье. Проведенный здесь анализ ограничен волновым фронтом, тогда как для описания приливной боры более подходит первоначально гладкий синусоидальный профгшь. Однако при этом обнаруживаются достоинства аналитического результата можно в явном виде установить зависимость от различных параметров, можно предсказать асимптотическое поведение для больших величин х и t и т. д. [c.137]

См. также Шабат А. Б., Об уравнении Кортевега — де Фриза, ДАН, 211 (1973), вып. 6. Наиболее интересные результаты по этому вопросу содержатся в Статье Б. Е. Захарова и С. В. Манакова Асимптотическое поведение нелинейных волновых систем, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния , ЖЭТФ, 71 (1976), вып. 1.— Прим. ред. [c.566]

Настоящий раздел посвящен вопросу, ставшему в последние годы предметом оживленной дискуссии. Среди специалистов существовало общее убеждение, что автокорреляционные функции затухают со временем экспоненциально, по крайней мере асимптотически при достаточно больших временах. Это мнение основывалось на простых моделях, допускающих строгое решение (рассмотренных в гл. 11), таких, как броуновское движение, теория марковских случайных процессов и уравнение Больцмана. Типичным результатом подобного рода является формула (11.2.15). Разумеется, эти примеры не могут заменить доказательства того, что и в общем случае, имеет место такое же поведение. Напротив, еще в 1960 г. Гернси показал, что в плазме корреляции с малыми волновыми векторами затухают как t . Однако его результат остался незамеченным (возможно, люди считали, что это один из аномальных эффектов, обусловленных дальнодействием, как это и было на самом деле ). В 1968 г. Олдер и Вайнрайт провели численные расчеты автокорреляционной функции в системах [c.333]

Сравнение с численным расчетом показывает, что асимптотические формулы приемлемы в довольно широком диапазоне волновых чисел. Поэтому на рис. 4.42 волновые характеристики быстрых волн, вычисленные по (4.93)-(4.95), приведены в диапазоне не очень малых /е = 0ч-0,5. Как вид1ю, при > О фазовая скорость действительно стремится к бесконечности. В целом поведение дисперсионных кривых существенно отличается от случая медленных волн (см. рис. 4.40) как по форме, так и по численным значениям. В частности, при ма 1ых к Сд j j, а частота практически не зависит от к. [c.240]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...