Асимптотическое поведение волновых функций

Различие между этими задачами заключается лишь в том, что при рассмотрении рассеяния нейтронов протонами система нейтрон + протон имеет положительную энергию, в то время как при рассмотрении задачи об основном состоянии дейтрона мы имеем дело с отрицательной энергией. С этим связано различное асимптотическое поведение волновых функций обеих задач. В задаче о рассеяния волновая функция на бесконечности осциллирует и отлична от нуля, в задаче же об основном состоянии дейтрона она обращается в нуль. [c.24]

Напомним предварительно, что асимптотическое поведение волновой функции частицы в кулоновском поле имеет вид [c.85]

Величина а может быть также связана с комплексной фазой рассеяния т], определяющей асимптотическое поведение волновой функции нейтрона (мы рассматриваем только 5-волну, поэтому у величины опущен индекс нуль). [c.367]

Вопрос о поведении спектральной плотности в окрестности начала координат пространства волновых векторов (т. е. в области наиболее длинноволновых компонент турбулентности) является основным также и при исследовании заключительного периода вырождения изотропной турбулентности. В самом деле, как мы видели в 14, скорость убывания пульсаций поля скорости (или температуры) с заданным волновым числом к под действием вязкости (или теплопроводности) пропорциональна 2vЛ (или 2x 2), т. е. быстро возрастает с ростом к. Будем для определенности говорить о среднем квадрате пульсаций скорости, т. е. о турбулентной энергии аналогичное рассуждение применимо и к пульсациям температуры. На первом этапе вырождения турбулентности рассеяние энергии под действием вязкости может компенсироваться притоком энергии из других областей пространства волновых векторов, создаваемым турбулентным перемешиванием если, однако, отсутствует приток энергии извне, то в конце концов наступит момент, когда поддержание заметного потока энергии от одних волновых чисел к другим, сравнимого по величине со скоростью процессов диссипации, станет уже невозможным. Начиная с этого момента значения спектральной плотности при всех значениях к, лежащих вне малой окрестности точки к — О. будут убывать экспоненциально, и только при. очень малых значениях (к ( спектр будет изменяться более медленно. Отсюда ясно, что асимптотическое поведение корреляционных функций при очень больших значениях I должно определяться исключительно поведением начального спектра в окрестности точки А = 0. [c.137]

Амплитуда рассеяния может быть выражена через так называемые фазы на бесконечности 1 1, определяющие асимптотическое поведение радиальных волновых функций частицы при различных значениях её орбитального момента по отношению к рассеивателю. Так как метод расчёта амплитуды рассеяния с помощью фаз на бесконечность чрезвычайно важен, го мы остановимся на нём несколько подробнее. [c.162]

Действительно, если ехр [— а (А )] — такой дополнительный множитель, дающий уменьшение за время г амплитуды волны вида (102) с волновым числом к, то этот множитель должен быть включен в интеграл (106), даже если формула (107) для начального возмущения остается неизменной. Тогда анализ асимптотического поведения интеграла (110) проводится с сохранением фазы Щ (к) в подынтегральной функции, но с заменой амплитуды Р (к) на Р (к) ехр [— а (А )] конечным результатом будет выражение (123) с такой же заменой для Р (к). Тогда фаза цепочки волн не отличается от фазы (126), но формула (125) для амплитуды заменится на такую [c.311]

Из асимптотического поведения (11.9) волновой функции видно, что если величина Si имеет полюс при к = ко — ikx, то существуют только расходящиеся сферические волны, т. е. мы имеем источник потока. Конечно, энергия является комплексной величиной, и поэтому представить себе этот источник физически невозможно в самом деле, волновая функция источника на бесконечности экспоненциально растет. Резонансные явления обусловлены тем, что при (физически возможной) действительной энергии ky2 i мы находимся вблизи ситуации с источником, и следует ожидать поэтому, что в данной области волновая функция особенно чувствительна к малым изменениям энергии. Конечно, выражение (11.61) говорит о том, что при к = ко iky мы находимся вблизи нуля величины Si, где волновая функция содержит только сходящиеся волны. Но при г —> оо она тоже экспоненциально растет, увеличивая тем самым чувствительность волны к малым изменениям энергии вблизи ко. [c.296]

Физическая волновая функция. Связь физической волновой функции гlз + с функцией ф можно установить путем сравнения асимптотического поведения функции Фг, определяемого формулой (12.35), в которой вместо следует подставить функции с выражением (11.9). В результате такого сравнения получаем [c.348]

Амплитуды рассеяния. Асимптотическое поведение компонент волновой функции можно найти с помощью (15.13) и (11.4) [c.412]

Асимптотическое поведение физической волновой функции (15.13) дается (15.16). Сравнивая (15.16) с (15.107), заключаем, что [c.430]

Асимптотическое поведение радиальной волновой функции при больших г можно раскрыть, обращаясь к (16.73а) и (11.4), [c.454]

Основной особенностью этого второго подхода является использование взаимной связи между угловым моментом и передаваемым импульсом (или, лучше сказать, углом рассеяния). Эти переменные являются, очевидно, сопряженными и их можно для наглядности сравнить с обычными координатой и импульсом частицы. Как известно, волновая функция представляет в импульсном пространстве преобразование Фурье от координатной волновой функции и наоборот. Далее из анализа хорошо известен также тот факт, что особенности функции определяют асимптотическое поведение ее преобразования Фурье. Из взаимообратимого характера преобразования Фурье непосредственно следует, что сингулярности последнего в свою очередь опред ляют асимптотическое поведение исходной функции. Качественно можно сказать, что сингулярность в преобразовании Фурье (асимптотическое поведение) представляет асимптотическое поведение (сингулярность). Аналогичная интерпретация оказывается возможной также в случае угловых переменных с тем только отличием, что в этом случае мы имеем дело с разложением по сферическим функциям и тесно связанным с ним преоб- [c.19]

ДЛЯ гармонического осциллятора. Здесь введена безразмерная координата а дифференцирование по этой переменной обозначено двумя штрихами. Обш,ее решение этого дифференциального уравнения при произвольном значении г] выражается через функции параболического цилиндра. Однако эти функции, вообш,е говоря, не обладают требуемым асимптотическим поведением при больших значениях Чтобы обеспечить нормируемость волновых функций, мы должны рассматривать решения, убываюш,ие при больших Функции параболического цилиндра имеют нужные асимптотики лишь при специальном выборе Г], а именно при = ш + 1/2. В этом случае указанные решения сводятся к полиномам Эрмита Нт. При этом соответствующие значения г]т являются собственными значениями энергии. [c.661]

В этой связи представляется полезным упомянуть об интересной аналогии между данным методом и потенциальной теорией рассеяния. Хорошо известно (см., например, [3]), что вся необходимая информация динамического характера потенциальной теории заложена в 5-матрице, которая является отношением функций Поста — предэкспоненциальных множителей в асимптотическом выражении для шредингеровской волновой функции. Реджевское поведение амплитуды потенциального рассеяния является следствием степенной (экспоненциальной) асимптотики функций Лежандра (матричных элементов некомпактной группы SIУ(1, 1)) по энергии. В теории представлений некомпактных полупростых групп Ли имеет место аналогичная ситуация, причем роль функций Иоста играют коэффициенты при главных членах асимптотического разложения матричного элемента соответствующего представления, имеющих экспоненциальный характер в области бесконечно больших значений некомпактных параметров. (Более подробно, см. П.З, 11.4.) [c.81]

В этой связи Кэйз (1960а, б) и Дикий (1960а, б) указали независимо друг от друга, что при исследовании устойчивости течений идеальной Жидкости целесообразно вообще отказаться от рассмотрения элементарных волновых решений вида (2.27). Вместо этого следует с самого начала решать задачу с начальным условием ф(д , г, 0) = фо(л , г) для дифференциального уравнения в частных производных (2.26) с нулевой правой частью (т. е. с V = 0 это и есть тот второй подход к задаче об устойчивости течений идеальной жидкости, о котором говорилось на стр. 120). Оказывается, что общее решение этой задачи с начальным условием может быть представлено в виде некоторого интеграла Лапласа, асимптотическое поведение которого при ->оо может быть изучено с помощью обычных методов теории функций комплексного переменного. При этом подынтегральное выражение в соответствующем интеграле Лапласа [c.121]

Аналогично можно исследовать вопрос об асимптотическом поведении спектра и корреляционной функции пульсаций температуры. В силу уравнения (14.58), если в момент t — 0 все семиинварианты экспоненциально убывают на бесконечности, то dBm(r, t)ldt при i = 0 также будет затухать экспоненциально. Однако выражения для последующих производных В (г, t) по времени уже будут содержать поле давления, так что следует ожидать, что, вообще говоря, функция Во (г, t) при i > О также будет убывать при г->оо лишь степенным образом. Детальное исследование порядка этого убывания, однако, представляется не особенно интересным. В самом деле, ясно, что влияние сил давления, наверное, не приведет к убыванию функции Вт (.г, I) более медленному, чем поэтому ингеграл (15.26) здесь естественно считать абсолютно сходящимся, а спектр Fmih, t) — непрерывным и непрерывно дифференцируемым по компонентам к во всем пространстве волновых векторов. Но отсюда ясно, что справедливость асимптотических формул (15.46) и (15.47), описывающих общий случай заключительного периода вырождения изотропных температурных пульсаций, в данном случае не вызывает сомнений. Точно так же не вызывает сомнений и справедливость закона сохранения (15.26), при выводе которого лишь требовалось, чтобы функция убывала не медленнее, чем 0(г ) в самом деле, легко понять, что более медленный порядок убывания функ-ции (г, t) не может быть вызван влиянием сил давления, если только в начальный момент все семиинварианты турбулентности убывают достаточно быстро. [c.160]

О и решение имеет вид бегущих волн. Асимптотическое поведение правильной волновой функции при 1x1 -> °о соответствует наличию падающей ехр [ ikx—iWtl%] к — 2mW и отраженной Rexpl+ikx — iWt/h волн, С противоположной стороны барьера мы имеем прошедшую волну, т. е. волновую функцию вида Т ехр [ ikx — iWt/h]. [c.130]

Настоящий раздел посвящен вопросу, ставшему в последние годы предметом оживленной дискуссии. Среди специалистов существовало общее убеждение, что автокорреляционные функции затухают со временем экспоненциально, по крайней мере асимптотически при достаточно больших временах. Это мнение основывалось на простых моделях, допускающих строгое решение (рассмотренных в гл. 11), таких, как броуновское движение, теория марковских случайных процессов и уравнение Больцмана. Типичным результатом подобного рода является формула (11.2.15). Разумеется, эти примеры не могут заменить доказательства того, что и в общем случае, имеет место такое же поведение. Напротив, еще в 1960 г. Гернси показал, что в плазме корреляции с малыми волновыми векторами затухают как t . Однако его результат остался незамеченным (возможно, люди считали, что это один из аномальных эффектов, обусловленных дальнодействием, как это и было на самом деле ). В 1968 г. Олдер и Вайнрайт провели численные расчеты автокорреляционной функции в системах [c.333]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...