Решение Горячева

В решении Горячева — Чаплыгина [c.96]

Устойчивые и неустойчивые одномерные, а также асимптотические инвариантные поверхности приведенной системы задают в абсолютном пространстве, вообще говоря, двухчастотные движения. Это наглядно иллюстрируется на случаях Ковалевской и Горячева-Чаплыгина. В последнем случае, для особого решения Горячева, для малых энергий происходит еще большее вырождение и движение в абсолютном пространстве становится периодическим (см. 5), тело совершает в пространстве любопытные маятниковые движения. Отметим также, что для волчка Ковалевской в приведенном фазовом пространстве имеется набор из трех переменных 21,22,23, в пространстве которых совершается периодическое движение по некоторому эллипсу (см. 4). Эти переменные очень неочевидны и образуются как из компонент момента М, так и орта 7. [c.94]

Рис. 47. Фазовый портрет случая Горячева-Чаплыгина при h = 0.3 (сечение плоскостью g = 7г/2). Буквами Ai, Bi, i отмечены периодические решения, расположенные на ветвях бифуркационной диаграммы (рис. 46). Точке Bi на бифуркационной диаграмме, для которой / = О, соответствует, во-первых, два маятниковых периодических решения (они расположены на фазовом портрете в полюсах сферы L/G = 1 и в точке I = О, L/G = 0) и, во-вторых, целая прямая LfG = 0,l 0 также заполненная периодическими решениями (решение Горячева) маятникового типа (см. также п. 3).

Рис. 48. Фазовый портрет случая Горячева-Чаплыгина при h = 1.3 (сечение плоскостью g = 7г/2). Буквами А2, В2, G2, В2, F2 отмечены периодические решения, расположенные на ветвях бифуркационной диаграммы (рис. 46). По сравнению с предыдущим портретом добавились неустойчивые решения (и сепаратрисы к ним) — В2 и F2. Также, как и выше, точке В2 на бифуркационной диаграмме соответствует четыре вращательных периодических решения (вращения в экваториальной и меридиональной плоскости с учетом направления) — это точки L/G = 1 и Z = О, тг, L/G = О, а также прямая L/G = О, которая целиком заполнена периодическими решениями (решения Горячева) приведенной системы (см. п. 3).

Рис. 50. Решение Горячева представляет собой целый тор, заполненный периодическими решениями приведенной системы М, 7 (т.н. резонанс 1 1), при к < 1 (рис. а) это решения маятникового типа, а при к > 1 (рис. Ь) — вращательного. На этом и следующем рисунке приведены траектории на сфере Пуассона, соответствующие различным решениям на этом торе.

Среди периодических решений в задаче Горячева-Чаплыгина особое место занимает решение Горячева. На бифуркационной диаграмме оно находится на прямой / = О, помимо него на этой прямой располагаются также периодические решения уравнений Эйлера-Пуассона, соответствующие колебаниям (при /г < 1) и вращениям h > 1) твердого тела в плоскостях Оху и Oxz, происходящие по закону физического маятника. Остановимся подробнее на решении Горячева и решениях, расположенных на ветвях II и III (см. рис. 46). [c.137]

Решение Горячева [65]. Для этого решения имеются два дополнительных инвариантных соотношения [72] [c.137]

Рис. 51. Этот рисунок иллюстрирует поведение главных осей твердого тела в неподвижной системе координат для решений Горячева при фиксированной энергии h < 1 h = —0.7). Хорошо видно, что это — периодические решения в абсолютном пространстве, которые при изменении параметра Ъ переходят от колебаний в плоскости Оху к колебаниям в плоскости Oxz. (Буквами x,y,z обозначены оси, связанные с телом.)

Рис. 52. Рисунок, иллюстрирующий квазипериодическое движение в абсолютном пространстве (показано движение главной оси Оу) для решения Горячева при к > 1 к = 1.7), [c.139]

Движение апекса на сфере Пуассона приведено на рис. 50. Замечательным феноменом, ранее не отмечавшимся, является то, что для решений Горячева в абсолютном пространстве при h < 1 движение является периодическим колебательного типа (см. рис. 51). А при h> 1 соответствующее движение — квазипериодическое двухчастотное (рис. 52). [c.141]

При h оо (либо Д 0) все сводится к обычному случаю Эйлера, при этом решение Гесса стремится к сепаратрисе перманентного вращения вокруг средней оси [92]. h < ji. Центр масс совершает плоские колебания по закону физического маятника, а средняя ось движется согласно (3.11) по отрезку локсодромы. Решение при этом периодическое в абсолютном пространстве (одночастотное, как и решение Горячева, 5 гл. 2). На фазовом портрете (см. рис. 70 а,Ь,с) соотношение Гесса задает инвариантную кривую, целиком заполненную неподвижными точками, которая располагается внутри регулярного слоения. [c.244]

Позднее С. А. Чаплыгин (1901 г.) пришел к выводу, что при условиях (111.69) можно получить частное решение дифференциальных уравнений движения твердого тела более общего вида, чем найденное Д. Н. Горячевым. [c.455]

В работах Горячевой и Добычина [12, 13, 15, 48] предложен метод решения задачи о внедрении ограниченной системы N штампов в упругое полупространство и изучена зависимость контактных характеристик от пространственного расположения штампов в системе. Пространственное расположение штампов характеризуется координатами точек пересечения осей симметрии штампов с границей полупространства и относительной высотой каждого штампа (г = 1,2,..., Ж). [c.425]

И. Г. Горячевой, Ю. Ю. Маховской [39] рассмотрена плоская периодическая контактная задача о скольжении упругого шероховатого индентора по вязкоупругому слою, сцепленному с упругой полуплоскостью. Для описания механических свойств слоя использовалась модель Кельвина. Получено линейное интегро-дифференциальное уравнение, в результате численного решения которого найдены распределение контактных давлений, размеры и положение области контакта. Полученные результаты использовались для анализа влияния механических и геометрических свойств тонких покрытий, а также параметров шероховатости взаимодействующих тел на контактные характеристики и деформационную составляющую коэффициента трения. [c.465]

О степени четырех алгебраических интегралов в решении задачи Горячева — Чаплыгина, Ковалевской. В работах [4, 5] Л. А. Степанова ставит и решает вопрос о степени интегралов в решении С. В. Ковалевской и Горячева — Чаплыгина. [c.96]

При решении задачи Горячева — Чаплыгина (п. 2 5) мы использовали разделение симплектических координат типа (б). Получающийся при этом дополнительный интеграл — полином третьей (а не второй) степени по импульсам (ср. с п. 3). Дело в [c.100]

Более сложные, но вместе с тем в большей мере отвечающие реальной картине деформирования тел под нафузкой, модели вязкоупругих тел учитывают сплошность среды. Решения задач о качении вязкоупругих тел выполнены И.Г. Горячевой, М.Н. Добычиным, К. Джонсоном, А.В. Орловым и С.В. Пинеги-ным [5, 17, 19, 22]. [c.126]

В последующих решениях контактной задачи начали учитывать трение на контактируемых поверхностях, но только в целях уточнения напряженного и деформированного состояний материала в районе и в окрестностях силового контакта упругих тел. Только в отдельных работах, выполненных в этой области в последние годы, например И.Г. Горячевой, анализируется напряженное состояние вблизи контакта с действием сил трения на поверхности и с сопротивлением качению [5, 16]. Но анализ ограничен условиями плоской контактной площадки, не учитывает фактическую кривизну поверхности пятна контакта и износ. [c.131]

Важное значение книги [92] состоит также в том, что в отличие от неестественной тяги классиков к получению явного решения, позволяющего мало что сказать о действительном движении системы, в ней поставлен вопрос о качественном анализе интегрируемых динамических систем, и на примере волчков Ковалевской и Горячева-Чаплыгина сделаны общие выводы о поведении линии узлов и углов собственного вращения. Последние результаты были получены с применением теоремы Лиувилля-Арнольда и теоремы Вейля о равномерном распределении. [c.16]

Рис. 46. Бифуркационная диаграмма случая Горячева - Чаплыгина. Серым цветом заштрихована нефизическая область интегралов. Указаны также два уровня энергии, для которых построены фазовые портреты (см. рис. 47, 48). Буквами Ai, Bi, i,. .. обозначены периодические решения и сепаратрисы, которые аналогично обозначены на фазовых портретах.

Замечание 1. Отсутствие явных аналитических выражений для асимптотических решений также является препятствием к исследованию возмущенной системы. Отметим, что Н. И. Мерцалов в работе [126] сделал утверждение об интегрируемости уравнений волчка Горячева-Чаплыгина при с = (М, 7) 0. Как показывают компьютерные эксперименты, представленные на рис. 49, это утверждение является ошибочным, и вблизи неустойчивых многообразий при с О возникает стохастический слой, приводящий к неинтегрируемости. [c.134]

Все указанные факты практически невозможно увидеть непосредственно из аналитического решения, которое впервые было получено Горячевым в очень громоздкой форме [65]. Несмотря на некоторые упрощения, имеющиеся, например, в [72], явные формулы лишь частично позволяют дать представления об обнаруженных на компьютере движениях. [c.141]

Рис. 56. Движение апексов главных осей тела в неподвижном пространстве в случае Горячева-Чаплыгина для неустойчивого периодического решения, расположенного на ветви II рис. 46, при одном значении энергии. Буквами х, у, г обозначены траектории соответствующих осей. (Движения при других значениях энергии качественно не отличаются, поэтому мы их не приводим.)

Комментарии. 1. Для случаев Ковалевской и Горячева - Чаплыгина возможные аналитические представления для асимптотических решений указаны в 4, 5 гл. 2. Ни одно из этих решений пока не было использовано для изучения неинтегрируемости. [c.324]

Предложение 5 описывает наиболее простые и часто встречающиеся виды разделения переменных. При решении задачи Горячева—Чаплыгина (п. 2.3) мы уже фактически использовали разделение симплектических координат вида 1. Отметим, что случаи 1 и Г предложения 5 могут встречаться в сочетании друг с другом, кроме того, возможны более сложные виды разделения переменных. [c.140]

Докшевич А. И. Качественное исследование решения Горячева-Чаплыгина. Механика твердого тела (респ. меж-ведомств. сборник). Киев Наукова думка, 1972, вып. 4, с. 3-8. [c.231]

Задача о давлении на упругое полупространство двух одинаковых шарообразных штампов в предположении близости областей контакта к круговым при помощи метода работы ) изучалась А. Е. Андрей-кивым В работе В. М. Александрова и А. А. Шматковой получено асимптотическое решение задачи для случая двух несоединенных друг с другом параболоидальных штампов. В работе методом сраш 1вае-мых асимптотических разложений с применением улучшенной процедуры сращивания построена асимптотика решения рассматриваемой задаг чи при условии, что все штампы контактируют с упругим телом. Для решения данной задачи И. Г. Горячевой ) был применен метод локализации. В работе решение рассматриваемой так называемой ) конструкционно нелинейной контактной задачи было получено при учете возможности отрыва штампов от поверхности упругого основания (полупространство, слой). [c.145]

Отметим также, что А. С. Рабиновичем ) был разработан итерационный метод решения интегрального уравнения (5.1). И. Г. Горячевой > уравнение (5.1) было сведено к нелинейному интегральному уравнению типа Гаммерштейна, для численного решения которого был использован метод последовательных приближений. В. М. Александров и И. И. Ку-диш ) провели асимптотический анализ уравнения (5.1) и получили расчетные формулы для различных значений безразмерных параметр ров а и [c.191]

В работах И. Г. Горячевой [18, 38] дано решение периодической контактной задачи для системы одинаковых осесимметричных упругих ин-денторов и упругого полупространства. Составлено интегральное уравнение для определения контактного давления и указано условие, позволяю-ш,ее найти радиус пятна контакта при известной нагрузке, действуюш,ей на индентор. [c.152]

ЗахМечание 3. Рассмотрим решение рввестной задачи Горячева об условиях существования линейных относительно проекции угловой скорости первого интеграла уравнения движения тяжелого тела с одной закрепленной точкой. [c.98]

В динамике твердого тела усилиями Д. Н. Бобылева, В. А. Стеклова, С. А. Чаплыгина, Д. Н. Горячева и других исследователей были найдены несколько частных случаев интегрируемости . Речь идет о частных точных решениях, которые удается найти с помощью квадратур. Траектории этих решений, как [c.17]

Уравнения движения в первых двух случаях подробно изучены с разных точек зрения в классических работах Эйлера, Пуансо, Лагранжа, Пуассона, Якоби. Случай Ковалевской нетривиален во многих отношениях. Он был найден Ковалевской из условия мероморфности решений уравнений Эйлера — Пуассона в комплексной плоскости времени. Случай Горячева — Чаплыгина намного проще его можно проинтегрировать с помощью разделения переменных. Покажем это. [c.89]

В заключение отметим еще одно важное применение теоремы 1, С. Л, Зиглин доказал, что дополнительный мероморфный интеграл уравнений Эйлера — Пуассона задачи о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой существует только в трех классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Если зафиксировать нулевое значение постоянной площадей, то к этим случаям надо добавить еще случай Горячева—Чаплыгина. Этот результат также основан на анализе уравнений в вариациях для некоторых частных решений уравнений Эйлера — Пуассона [64]. [c.371]

Для того чтобы оценить роль перечисленных выше источников сопротивления качению в различных условиях взаимодействия, используют как экспериментальные методы, так и методы математического моделирования, включающие выбор модели материалов, условий взаимодействия и т.д. Известные в настоящее время подходы к решению этой проблемы можно найти в монографиях С.В. Пине-гина, К. Джонсона. И. Калкера, И.Г. Горячевой, Ю.М. Лужнова [5, 12, 16 - 19, 22 - 25]. Некоторые чисто механические модели, используемые для изучения влияния микропроскальзывания и несовершенной упругости тел на сопротивление качению, приведены ниже. [c.123]

При качении тел из вязкоупругих материалов контактные давления и площадка контакта распределены несимметрично относительно оси симметрии катка. Ниже приведены некоторые результаты решения задачи о качении вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала, полученные И.Г. Горячевой [5]. Механические свойства материала задава- [c.126]

В некотором смысле даже в анализе интегрируемой ситуации, для которой в принципе возможна полная классификация всех решений, компьютер открыл целую эпоху. Если ранее в исследовании интегрируемых систем преобладали аналитические методы, позволяющие получить явные квадратуры и геометрические интерпретации, которые во многих случаях выглядели очень искусственно (например, интерпретация Жуковского движения волчка Ковалевской [76]), то сочетание идей топологического анализа (бифуркационных диаграмм), теории устойчивости, метода фазовых сечений и непосредственной компьютерной визуализации особо замечательных решений способно вполне представить специфику интегрируемой ситуации и выделить наиболее характерные особенности движения. С помощью такого исследования можно получить ряд новых результатов даже для казалось бы полностью исхоженной области (например, для волчка Ковалевской, Горячева-Чаплыгина, решения Бобылева-Стеклова). Дело в том, что эти результаты очень сложно усмотреть в громоздких аналитических выражениях. Доказательство этих фактов, видимо, может быть также получено аналитически — но уже после их компьютерного обнаружения. Здесь следует особо отметить анализ движения в абсолютном пространстве, который практически вообще не производился. [c.17]

Чаплыгин, Сергей Алексеевич (5.4.1869-8.10.1942) — русский математик и механик, один из основоположников современной гидроаэромеханики. Указал частный случай интегрируемости при нулевой постоянной площадей уравнений Эйлера-Пуассона, обобщив при этом более частное решение Д. П. Горячева, а также более частные решения, характеризуемые системой линейных инвариантных соотношений. Для уравнений Кирхгофа также нашел аналогичный случай частной интегрируемости и его обобщения, исследовал винтовые движения, дал геометрическую интерпретацию различных движений, в частности, для случая Клебша). Вывел уравнения движения тяжелого твердого тела в жидкости и более подробно исследовал случай плоского и осесимметричного движения. [c.25]

Выражение общего решения для большинства интегрируемых задач динамики твердого тела в однозначных эллиптических (в комплексном смысле) функциях времени обусловлено тем, что общий уровень первых интегралов, представляющий пересечение достаточно простых алгебраических поверхностей, типа квадрик, допускает продолжение в комплексную область до абелевых многообразий (абелевых торов), допускающих параметризацию с помощью тэта-функций. Она изучается в проективной и алгебраической геометрии, а сами системы называются алгебраически интегрируемыми. При этом общее решение может получиться однозначным не на комплексной плоскости времени, а на ее конечнолистном накрытии (см. случай Горячева - Чаплыгина, 5 гл. 2). [c.82]

Основные результаты по неинтегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона принадлежат В. В. Козлову, С. Л. Зиглину, С. В. Болотину. Они обсуждаются в книгах [92, 97] и связаны с расщеплением асимптотических поверхностей, ветвлением решений на комплексной плоскости времени, рождением большого числа невырожденных периодических решений. Вершиной этого направления являлась бы теорема, что общие случаи существования дополнительного вещественно-аналитического интеграла исчерпываются случаями Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, а для частных интегралов к ним надо добавить случай Горячева-Чаплыгина. К сожалению, в полном объеме эта гипотеза до сих пор не доказана, несмотря на отдельные и довольно существенные продвижения [97]. [c.90]

Устойчивые и неустойчивые периодические решения уравнений Эйлера-Пуассона для случая Горячева-Чаплыгина располагаются на бифуркационной диаграмме на ветвях III и II соответственно (см. рис. 46, 53-56). Численные исследования показывают, что движения полной системы в абсолютном пространстве, соответствующие этим решениями, также периодические при любых значениях энергии (см. рис. 55, 56). Этот факт ранее, по-видимому, не отмечался в литературе и отражает специфику динамики твердого тела на нулевой постоянной площадей (М, 7) = О (ср. с решениями Делоне для случая Ковалевской, 4 п. 3). Вместо формального доказательства мы приводим серию рисунков, наглядно подтверждающих это утверждение. На них представлены траектории системы как на сфере Пуассона, так и траекторий апексов в абсолютном пространстве, большинство из них достаточно сложны. [c.141]

Д. Н. Горячев рассмотрел более частные решения, которые получаются из решения С. А. Чаплыгина прн равной нулю константе интеграла (13). Наиболее простое решение в случае Горячева даио в статье Докшевич А. И./Сб. Механика твердого тела , № 1. — Киев, 1969. (Прим. перев.) [c.185]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...