Модель Кельвина

Для модели Кельвина р=(а—Нв) пЕ). Если нагружение достаточно медленное, то р = 0 и [c.363]

Для модели Кельвина относительное перемещение точек А п В [c.139]

Рассмотрим поведение модели Кельвина при заданной истории нагружения a — a t). Тогда левая часть равенства (10.49) является известной функцией времени. Интегрированием уравнения (10.49) с начальным условием [c.758]

Рис. 10.25. График е — t для модели Кельвина.

Функции ф( —г) и ( —т), которые называются ядрами ползучести и релаксации, имеют вид не одной экспоненты, как это было в модели Кельвина, а являются линейными комбинациями нескольких экспонент [c.761]

Простейшей моделью вязкоупругого материала является широко известная модель Кельвина — Фойгта (рис. 2.8). Соответствующее уравнение механических состояний имеет вид [c.56]

Остановимся на модели III, которая похожа на известную модель Кельвина—Фойгта (элемент вязкого сопротивления включен теперь параллельно с элементом 2). Полагая = а — Q, запишем [c.245]

Рис. 1. Модель Кельвина последовательное соединение Элементов Гука и Фойгта,

Более универсальной является модель Кельвина—Фойгта (рис. 22.28), объединяющая модель Фойгта и упругий элемент, изображенный на рис. 22.22. Дифференциальное уравнение, описывающее поведение этой модели, имеет вид [c.524]

Для понимания некоторых особенностей диаграмм напряжение—деформация полимеров полезно проанализировать поведение простых моделей. На рис. 5.1 показаны диаграммы напряжение—деформация для четырех простейших моделей при двух скоростях растяжения [1]. Поведение пружины (рис. 5.1, а) характеризуется постоянным модулем упругости, не зависящим от скорости растяжения, т. е. ее деформации подчиняются закону Гука. Начальный угол наклона диаграммы является константой, пропорциональной модулю упругости. В противоположность пружине демпфер не обладает упругостью, и сила сопротивления движению в нем поршня пропорциональна скорости растяжения (рис. 5.1, б). Деформация модели Кельвина— [c.153]

Модель Кельвина. Поскольку модель Максвелла, как известно, обладает неограниченной ползучестью, с её помощью нельзя описать восстановление формы поверхности слоя после снятия нагрузки. Поэтому мы рассмотрим также в качестве одномерной модели слоя тело Кельвина, обладающее ограниченной ползучестью [119]. В рамках этой модели упругие перемещения слоя V3 в направлении оси Оу связаны с нормальным давлением р х) соотношением [c.268]

Результаты расчётов, полученные с использованием модели Кельвина, представлены на рис. 5.10-5.13. На рис. 5.10 приведены графики зависимости безразмерного контактного давления р при различных значениях параметров ат тл.1 = 1/ 2R). Результаты показывают, что при увеличении ат распределение в контакте становится более несимметричным. Однако уменьшение расстояния 1/ 2R) между неровностями, т. е. увеличение плотности контакта, частично сглаживает эту несимметрию. [c.273]

При малых значениях параметра I/ (2i ) наблюдается различие в результатах, полученных с использованием моделей Максвелла и Кельвина. Результаты, основанные на модели Кельвина, предсказывают уменьшение ширины области контакта и [c.273]

Рис. 5.10. Распределение контактных давлений в случае модели Кельвина при Р = 1/15, be = 10, TeV/R = 1 и ат = 1 (1, 1 ), т = 5 (2, 2 ), ат = 50 (3, 3 ) / = 5 (1, 2, 3), I = 1 (1, 2, 3 )

Если длина (/ — а — 6) участка между площадками контакта достаточно мала, слой не успевает восстановить свою форму за время (l — a — b)/V, поскольку в этом случае l — a — b)/V и, следовательно, ьз 1/2 — а) к ьз —1/2 -Ь 6) это приводит к уменьшению размера области контакта и её сдвига. Эффект уменьшения ширины области контакта при малых значениях 1/ 2R) возникает также и за счёт упругих свойств основания, на котором лежит вязкоупругий слой, и проявляется как в модели Кельвина, так и в модели Максвелла (см. рис. 5.9,а). Заметное влияние расстояния между соседними неровностями индентора на контактные характеристики начинает проявляться лишь при достаточ- [c.274]

Рис. 5.11. Смещение области контакта как функция расстояния между неровностями в случае модели Кельвина при ат = 50, Р = 1/15 и T V/R — 1 (1, 1 ), T V/R = 10 (2, 2 ) j3s = Ю (сплошные линии) и /3f +00 (штриховые линии)

Рис. 5.12. Зависимость ширины (а) и смещения б) области контакта, а также максимального внедрения в вязкоупругий слой (е) от параметра Со в случае модели Кельвина при Р — 1/15, /3 = 10 и Г = 5 (1, 1 ), [ = 1 (2, 2 ) ест = 50 (1, 2), = 5 (1, 2 )

Рис. 5.13. Деформационная составляющая коэффициента трения как функция параметра Со для модели Кельвина при / е = 10, Р = 1/15 и Z = 5 (1, 1 ), 1=1 (2, 2 ) ат = 50 (сплошные линии), т = 5 (штриховые линии)

И. Г. Горячевой, Ю. Ю. Маховской [39] рассмотрена плоская периодическая контактная задача о скольжении упругого шероховатого индентора по вязкоупругому слою, сцепленному с упругой полуплоскостью. Для описания механических свойств слоя использовалась модель Кельвина. Получено линейное интегро-дифференциальное уравнение, в результате численного решения которого найдены распределение контактных давлений, размеры и положение области контакта. Полученные результаты использовались для анализа влияния механических и геометрических свойств тонких покрытий, а также параметров шероховатости взаимодействующих тел на контактные характеристики и деформационную составляющую коэффициента трения. [c.465]

При малых значениях параметра //(2Я) наблюдается различие в результатах, полученных с использованием моделей Максвелла и Кельвина. Результаты, основанные на модели Кельвина, предсказывают уменьшение ширины области контакта и ее смещения при уменьшении расстояния между неровностями (см. рис. 5). Этот эффект обусловлен влиянием друг на друга соседних неровностей индентора и связан, в частности, с тем, что в рассматриваемой модели вязкоупругого слоя учитывается восстановление его формы после снятия нагрузки. Действительно, из соотношений (18) и (19) следует, что смещения граничных точек слоя на ненагруженном участке —1/2 + 6, //2 — а), если пренебречь упругими свойствами [c.286]

На рис. 8 представлены графики зависимостей величины рассчитанной по формуле (25) для модели Кельвина, от параметра Со при различных плотностях расположения неровностей. Результаты показывают, что деформационная составляющая коэффициента трения отлична от нуля в некотором диапазоне значений Со и стремится к нулю при Со О и Со +оо. Эти предельные случаи, как отмечалось, соответствуют решению задачи в упругой постановке. С уменьшением параметра I = 1/ 2Н) коэффициент трения уменьшается. Таким образом, увеличение [c.289]

Рис. 8. Деформационная составляющая коэффициента трения как функция параметра Со для модели Кельвина при = 10, Р =

Характер зависимости силы сопротивления относительному перемеш ению тел от скорости определяется реологическими свойствами поверхностного слоя, в частности той моделью, которая выбрана для описания этих свойств. При использовании модели Кельвина эта зависимость суш ественно немонотонна, при этом максимальное значение коэффициента трения достигается при скоростях движения, при которых время прохождения индентором элементарного пятна контакта соизмеримо со временем запаздывания материала поверхностного слоя. [c.298]

Модель Кельвина (рис. 5.23 представляет обобщение моделей Максвелла и Фойгга. [c.139]

Таким образом, модель Кельвина описывается реологиче-м ли соотношениями (10.41) и (10.42), в которых Р и R [c.758]

При t-- oo а- ЕооВо- Значит, модель Кельвина, в отличие от модели Фойгта, релаксирует и, в отличие от модели Максвелла, а (оо) не равно нулю. График функции (10.54) показан на рис. 10.26. [c.760]

Поведение модели Кельвина при трех рассмотренных режимах в общих чертах передает поведение полимеров в определенном температурном интервале. Однако кривые ползучести и релаксации полимеров плохо аппроксимируются экспонентами, так что и для этих материалов количественного соответствия с экспериментом тело Кельвина не дает. Можно пытаться исправить положение путем усложнения модели, набирая ее не из трех, а из большего числа упругих и вязких элементов. Не останав- [c.760]

Рис. 10.27. Модель Кельвина графкч й — 8 при постоянной скорости деформирования.

Для введения указанных параметров привлекается простой механический аналог высокоэластического поведения резиновых смесей (рис. 2.1), представляющий собой последовательное соединение модели Кельвина — Фойхта с вязким звеном. Указанные параметры высокоэластичности определяются для данной модели через параметры отдельных звеньев с помощью следующих соотношений [c.90]

Рис. 4.3. Механическая модель Кельвина — Фойхта (а, и (Гг — соответственно напряжение на упругом и вязком элементе).

Модель Кельвина — Фойхта (рис. 1.2.2). Соответствующее этой модели дифференциальное уравнение имеет вид [c.21]

XIX в. в работах В. Фойхта и Дж. Томсона (Кельвина). В пространственном случае эти модели представляют собой линейную аппроксимацию общих тензорных соотношений между компонентами напряжений, скоростей изменения напряжений и скоростей деформаций. Поэтому они позволяют использовать упругий потенциал в виде квадратичной функции деформаций в сочетании с квадратичной функцией вязкого рассеивания, что практически позволяет в силу принципа соответствия находить решения уп-руго-вязких задач в тех случаях, когда известны соответствующие решения упругих задач. Можно рассматривать среды, которые представляют собой различные комбинации моделей Кельвина и Фойгта. Подробное исследование вязко-упругих моделей проделано А. Ю. Ишлинским Дифференциальные соотношения, содержащие напряжения и деформации, а также их производные, с помощью преобразований Лапласа и теоремы свертки можно [c.272]

Термовязкоупругая среда скоростного типа. В качестве примера сплошной среды скоростного типа рассмотрим модель Кельвина -Фойгта, в которой к числу реактивных переменных — аргументов определяющих термодинамргческих функций — наряду с тензором [c.126]

Подробное сопоставление энергетического подхода А. Гриффитса и силовой модели Г. И. Баренблатта с доказательством их эквивалентности (в рамках принятых в модели Г.И. Баренблатта предположений) выполнено А.Ю. Ишлинским в работе [5]. С другой стороны, представление о том, что условие роста треш,ины полностью определяется величиной потока энергии в ее конец, не всегда верно. Это обстоятельство, в частности, проиллюстрировано в работе [6], где дано решение задачи о расш,еплении балки из вязкоупругого материала, подчиняюш,егося определяюш ему соотношению модели, предложенной А.Ю. Ишлинским [7]. Из решения следует, что, например, для модели Кельвина-Фойгта (представляющей частный случай модели Л. Ю. Ишлинского) поток энергии в конец трещины обращается в нуль. Этот парадокс разрешается, если при анализе поведения трещины учитывать конечность размера концевой области трещины, где действуют связи между поверхностями трещины и происходит поглощение энергии, приводящее к разрыву связей и продвижению вершины. [c.222]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...