Теорема Лиувилля — Арнольда

Важное значение книги [92] состоит также в том, что в отличие от неестественной тяги классиков к получению явного решения, позволяющего мало что сказать о действительном движении системы, в ней поставлен вопрос о качественном анализе интегрируемых динамических систем, и на примере волчков Ковалевской и Горячева-Чаплыгина сделаны общие выводы о поведении линии узлов и углов собственного вращения. Последние результаты были получены с применением теоремы Лиувилля-Арнольда и теоремы Вейля о равномерном распределении. [c.16]

Гамильтоновы системы. Теорема Лиувилля-Арнольда [c.73]

Если рассматривать не только координатные, но и импульсные преобразования (т. е. общие преобразования фазового пространства), то задача в некотором смысле всегда становится разрешимой по теореме Лиувилля - Арнольда вблизи неособого уровня первых интегралов всегда существуют переменные типа действие-угол, которые и являются разделяющими. Другое дело в том, что эти переменные, как правило, различны для разных областей фазового пространства, разделенного особыми (критическими) инвариантными торами и их построение (даваемое при доказательстве теоремы) не является конструктивным. На практике, как правило, наоборот, переменные действие-угол строятся, если найдены какие-либо разделяющие переменные (см. 8 гл. 5). [c.82]

Для интегрируемых систем, а также для движений неинтегрируемых систем, лежащих на инвариантных торах (а не в стохастическом слое) переменная X является (по теореме Лиувилля-Арнольда) некоторой квази-периодической функцией. В общем случае с п рационально независимыми частотами (п — число степеней свободы). Для хаотических движений спектр является сплошным, в самом же движении могут наблюдаться регулярные отрезки и сильно выраженные хаотические пульсации. [c.93]

Мы вернемся к рассмотрению вполне интегрируемых гамильтоновых систем в п. 5.5 в. В частности, теорема Лиувилля — Арнольда 5.5.21 демонстрирует естественность данного выше определения полной интегрируемости. [c.49]

Теорема 5.5.21 (теорема Лиувилля — Арнольда). Предположим, что (М, ш) —2п-мерное симплектическое многообразие, Н = /,, /г,..., / еС М), / , fj — 0 (г, J =1,..., п) и xeR таково, что дифференциалы Dfi поточечно) линейно независимы на многообразии уровня [c.234]

В.И. Арнольдом при дополнительном к условиям теоремы Лиувилля предположении, что многообразие М- компактно, [c.371]

Данные преобразования содержат только алгебраические операции, вычисление интегралов от известных функций и обращение этих интегралов. Таким образом, уравнения (1.9), определяющие на двумерных инвариантных торах условнопериодическое движение, и есть те уравнения, которые должны существовать по теореме Лиувилля-Арнольда об интегрируемости. [c.205]

В. В. Козловым также предложены новые методы анализа интегрируемых систем, основанные на использовании геометрической теоремы Лиувилля-Арнольда и теоремы Вейля о равномерном распределении. В качестве некоторого обоснования метода Ковалевской В. В. Козлов доказал ряд утверждений, связывающих ветвление общего решения на комплексной плоскости времени с несуществованием однозначных первых интегралов (гипотеза Пенлеве-Голубева). Для нахождения периодических решений в динамике твердого тела им впервые были применены вариационные методы. [c.26]

Замечание. Эта теорема в упрощенном варианте (утверждается только интегрируемость в квадратурах) была сформулирована Буром и обобщена Ж. Лиувиллем. Ее классическое доказательство имеется, например, в трактате Э. Уиттекера [167]. Приведенная формулировка теоремы принадлежит В. И. Арнольду [6]. [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...