Решение Гесса

Ковалев А. М. Подвижный годограф угловой скорости в решении Гесса задачи о движении тела, имеющего неподвижную точку. ПММ, 1968, 32, в. 6. [c.98]

При h оо (либо Д 0) все сводится к обычному случаю Эйлера, при этом решение Гесса стремится к сепаратрисе перманентного вращения вокруг средней оси [92]. h < ji. Центр масс совершает плоские колебания по закону физического маятника, а средняя ось движется согласно (3.11) по отрезку локсодромы. Решение при этом периодическое в абсолютном пространстве (одночастотное, как и решение Горячева, 5 гл. 2). На фазовом портрете (см. рис. 70 а,Ь,с) соотношение Гесса задает инвариантную кривую, целиком заполненную неподвижными точками, которая располагается внутри регулярного слоения. [c.244]

При с 7 О исследование движения является существенно сложным и не может быть выполнено аналитическим образом. На рис. 71 приведена серия фазовых портретов, которые иллюстрируют эффект расхождения стохастических слоев (при уменьшении энергии h) вблизи решения Гесса, которое приобретает устойчивость. [c.244]

Область пространства называют выпуклой, если отрезок прямой, соединяющей две любые точки этой области, расположен целиком в ней. Так, область допустимых решений на рис. 8 образует выпуклый четырехугольник. Функция является выпуклой, если выпукло множество точек, расположенных над ее графиком. Например, U(в) на рис. 4 — выпуклая функция. В многомерных пространствах эти наглядные представления не удается применить, и понятие выпуклости без дополнительных критериев, позволяющих выразить те же особенности функции в аналитическом виде, становится не более как образным выражением. Необходимым и достаточным условием выпуклости непрерывной функции с непрерывными вторыми производными является неотрицательность определителя матрицы, составленной из этих производных (матрицы Гессе). Если же гессиан определен положительно, т. е. условие э-0 для соответствующей квадратичной формы может быть заменено условием >0, то функция называется строго выпуклой. [c.185]

Решение. Согласно следствию из закона Гесса тепловой эффект реакции равен алгебраической сумме теплот образования реагентов из простых веществ, т. е. сумма теплот образования продуктов реакции за вычетом суммы теплот образования исходных веществ. [c.169]

Решение. Согласно следствию из закона Гесса тепловой эффект реакции равен алгебраической сумме теплот образования реагентов [c.185]

Методы градиента и наискорейшего спуска получаются при единичной матрице N,. Попытка применения этих методов к решению большинства задач оптимизации электронных схем приводит к возникновению проблемы, аналогичной проблеме минимальной постоянной времени в задачах численного интегрирования дифференциальных уравнений математических моделей схем. Эта аналогия позволяет установить, что количество шагов поиска в гребневых ситуациях соизмеримо с отношением максимального и минимального собственных значений матрицы Гессе. [c.157]

Определителем Гессе пользуются в теории форм, а также при рассмотрении многих геометрич. вопросов, для решения которых приходится иметь дело с этими формами. [c.55]

Исследовал плоские движения твердого тела в пространстве Лобачевского. Предложил геометрическую интерпретацию и свой метод сведения к квадратурам случая Ковалевской, при котором исследуется некоторая вспомогательная система криволинейных координат. Заметил маятниковый характер движения центра масс для случая Гесса, предложив для него интересное геометрическое исследование. В связи со своими исследованиями по гидроаэромеханике рассмотрел ряд модельных постановок задач о плоских движениях пластинок под действием подъемной силы, обусловленной циркуляцией. В механике идеалом решения для [c.23]

Случай Гесса является в некотором смысле еще более частным. В отличие от предыдущих случаев (см. 2-5), он определяет лишь однопараметрическое семейство частных решений, задаваемых инвариантным соотношением (см. таблицу 2.1) [c.142]

Инвариантное соотношение (2.29) определяет выделенный тор в фазовом пространстве, на котором решение может быть получено в квадратурах. Процедура интегрирования может быть выполнена при помощи результатов 1, 3 гл. 4. Это обобщение случая Гесса ранее, по-видимому, не указывалось, хотя и является достаточно естественным. [c.197]

Замечание 2. Если рассматривать возмущения задачи Эйлера-Пуансо при условиях Гесса, то оказывается, что пара сепаратрис, исходящих из неустойчивых перманентных вращений, не расщепляется при возмущении [92] (см. рис. 70f, 71 h). При этом интеграл (3.4) и определяет особый тор, заполненный двоякоасимптотическими траекториями, приближающимися к некоторым неустойчивым периодическим решениям, которые при Д О переходят в перманентные вращения вокруг средней оси. Такое описание динамики приведенной системы не противоречит результату Жуковского о квазипериодическом движении центра масс тела (3.9), так как система, описывающая движение центра масс, получается редукцией не по углу прецессии, а по углу собственного вращения вокруг оси, перпендикулярной круговому сечению. [c.244]

Паша цель — найти решения подобного типа при малых значениях е, и для этого мы сделаем дополнительное предположение о невырожденности гессиана (определителя матрицы вторых производных) [c.345]

Конечно, основная вычислительная трудность этого подхода состоит в получении коэффициентов результирующей линейной системы. Обзор вычислительных аспектов такой техники, основанной на интегральном уравнении, для решения задач на неограниченных областях, возникающих при изучении 2- или 3-мерных потенциальных, течений несжимаемой жидкости вблизи преград, С.М. у Гесса [1, 2]. [c.275]

Нетрудно доказать существование решений и сходимость итерационного процесса в том случае, когда Р (X) является квадратичной дважды непрерывно дифференцируемой функцией в области 3 и ее матрица Гессе положительно определена. [c.306]

Теорема 1. Полурегулярные прецессии относительно вертикали в классической задаче о движении тяжелого твердого тела имеют место только в частном случае решения Гесса [28. [c.244]

Как видим, по своим условиям случай Гесса сущ,ественно отличается от раньше разобранных случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской тело совершает гессово движение не при произвольных начальных условиях, а только тогда, когда начальные данные связаны ограничением (51.8). Другими словами, мы имеем здесь не обш,ее решение задачи о движении твёрдого тела с определённым распределением масс, как это было в предытущих трёх случаях, а только частное. [c.577]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Запишем условия из (28) на компоненты матрицы A j и вектора s в главной системе координат S2 = О, А В — С) — з1лУС А — В) = О, где А, В, С — главные моменты инерции, s — компоненты вектора s в главной системе координат. То есть тело представляет собой гироскоп Гесса [28]. Поскольку при наличии соотношений (28) решения (27) удовлетворяют равенству AU s = О, то справедлива [c.244]

Отметим интересное свойство прецессии А. И. Докшевича, а именно произведения скоростей собственного вращения и прецессии фф = 6263. Условия на распределение масс в теле, указанные в системе (30), после записи их в главной системе координат показывают, что тело — гироскоп Гесса. Это утверждение не является тривиальным, поскольку требует значительных вычислений [8]. Доказательство того факта, что равенство (29) описывает решение А. И. Докшевича, основано на записи решения (29) через компоненты вектора момента количества движения в специальной системе координат и приведении его к виду [19]. [c.245]

A. Брессан [3], изучая прецессию (33) в решении В. Гесса [28], использовал уравнение Д. Гриоли (9). В принятой здесь системе координат условия того, что твердое тело — гироскоп Гесса, определяется первыми равенствами из (28) А12 = А23 = = О, А з = А33 Ац — А22) Подстановкой соотношений (33) в уравнения (23) и интегралы (24) найдем зависимости [c.246]

Тогда при всех значениях е уравнения Кирхгофа имеют частный интеграл Гесса—Аппельрота Г = т 02 — 01 тзу/аз - 02. При малых значениях параметра е сепаратрисы задачи Эйлера Гк = = Д (А = 1,2,3), F = 0 останутся сепаратрисами возмущенных периодических решений (4.4). [c.282]

Предложение Г). При всех значениях параметров, кроме удовлетворяющих условию Гесса—Аппельрота (3.6), при малых е ф О для каждого возмущенного неустойчивого решения существуют по меньшей мере по два двоякоасимптотических гомоклинных) решения г1 е) и г2 е). В случае Гесса — Аппельрота таких решений нет. [c.290]

Применим теорему 2 к гамильтоновым уравнениям Янга — Миллса для однородного двухкомпонентного поля (см, 8 гл, I), Функция Гамильтона имеет вид (5,19), где V = х х2. Уравнения (5,21) допускают решение с = (1/ /2,1/ /2) -, собственные значения матрицы Гессе Г равны —1 и 3, Следовательно, Др1 = —7 и Др2 = 5, Эти числа рационально несоизмеримы, поэтому по теореме 2 уравнения Янга— Миллса не допускают нового голоморфного интеграла. Этот результат получил впервые С, Л, Зиглин в [64], Аналогичный результат имеет место и для трехкомпонентной модели Янга — Миллса, где V = х х -Ь х х -Ь х х. Здесь с = = (l/V ,l/V ,0)T, а числа Др равны соответственно /17, 5, В силу их рациональной несоизмеримости гамильтонова система неинтегрируема. [c.369]

В заключении остановимся на решениях Гриоли и Гесса. В абсолютном пространстве движение Гриоли является сильно вырожденным, а тра- [c.94]

Для этих прецессий центр масс лежит на перпендикуляре, проведенном из неподвижной точки к круговому сечению эллипсоида инерции, и в этом смысле случай Гриоли взаимен случаю Гесса, в котором центр масс лежит на перпендикуляре, проведенном из неподвижной точки к круговому сечению гирационного эллипсоида. Такая связь с эллипсоидом инерции обуславливает также то, что все рассуждения для решения Гриоли удобней проводить для угловых скоростей ш, а не для кинетического момента М. [c.146]

Элементы матрицы Гессе L/(5ф в критической точке фоеТ можно выразить через характеристики кривой биллиарда и периодического решения. [c.68]

Здесь может быть, не безинтересно отметить, что цитированная выше моя работа Задача о движении et . указывает на существование у общих интегралов, решающих задачу для совершенно несимметричных тяжелых гироскопов, некоторых классов всегда многозначных особых точек, но частью переходящих в случае гироскопа Гесса в полюсы. Это обстоятельство несомненно несколько освещает общув аналитическую природу решения (си. [12], ч. I, гл. 2, 7). [c.66]

Гироскоп Гесса. Теперь, оставляя в стороне также общие решения задачи о гироскопах, которые, благодаря громоздкости применяемых тут рядов [44], не дают никакой возможности, так сказать, качественного (наглядного) изучения предмета, а также, не касаясь приближенного [45] исследования форм, близких к ла-гранжевой или инерционной, когда влияние асимметрии в каких-либо новых видах весьма мало выступает, я перейду к изложению главных результатов, которые были получены для некоторых типов несимметричных гироскопов, для которых, если не вполне, как в случае Ковалевской, но при некоторых, однако, не слишком узких условиях, удалось более или менее разрешить задачу о движешш. Первое место здесь занимает так называемый гироскоп Гесса (локсодромический маятник по Жуковскому [5]), который, как я уж говорил, мог бы в сущности быть найден по методу Ковалевской, если бы она по недосмотру не пропустила один случай, когда общие интегралы задачи о тяжелых гироскопах тоже могут быть около соответствующей особой точки представлены в виде рядов типа (1а) и (1а ), но при / , = = 9 = 0, т. е. с полюсами сплошь первого порядка. [c.126]

Но как сначала обнаружил П. Некрасов [3] для случая частного интеграла Гесса, а потом я [2) и Ляпунов [12] для общего случая движения гироскопа Гесса, решение тут будет даваться в многозначных функциях, так что мероморфность будет только местной. [c.126]

Хотя, таким образом, все-таки намечается некоторая связь с задачей, Ковалевской, но полного решения, как в ее случае, здесь до сих. пор не достигнуто задача даже в случае гессова частного интеграла приводится вообще не к двум квадратурам, но только к одной и еще к интеграция одного дифференциального уравнения 1-го порядка, которое Некрасов [4, 3] весьма удачно предложил заменить-уравнением хотя и 2-го порядка, но линейным с периодическими (в эллиптических функциях) мероморфными коэффициентами. Зато, особенно благодаря предложенной Жуковским [5] интерпретации, оказалось возможным внести достаточную наглядность как в толкование условий для формы гироскопа, так и в законы его движения при существовании интеграла Гесса. [c.127]

Если для некоторых значений неременных х решение системы уравнений (А) есть и в точке XI определитель Гесса отличен от нуля [c.475]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...