Рунге

Методы численного интегрирования ОДУ, применяемые в САПР. В практике машинных вычислений наиболее распространены для решения ОДУ методы Гира, Адамса и Рунге — Кутта. [c.237]

Рассмотренные методы при р 2 являются многошаговыми. К одношаговым методам относится метод Рунге — Кутта. [c.238]

Этим численным методом получено особое решение с учетом всех начальных условий и условий в горле. Было принято во внимание, что течение без трения на стенке имеет дозвуковую скорость в горле относительно скорости звука в смеси и что звуковое сечение, обусловливающее сингулярность, расположено за горлом. Были тщательно исследованы сходимость решения и пригодность метода Рунге —Кутта [261,649], а также проверена правильность составленной программы для вычислительной машины. [c.314]

П п с(усл. а, горле) с(Рунге—Кл-ття—Гилл) [c.316]

Для численного решения был использован метод Рунге — Кутта, модифицированный Гиллом [261, 548]. Модификация метода Рунге — Кутта, предложенная Гиллом, позволяет уменьшить [c.317]

Студентам, имеюш,им практические навыки программирования, рекомендуется усовершенствовать программу. Например, интегрировать систему (3), (4) методом Рунге—Кутта, используя стандартные подпрограммы организовать печать текстовой шапки таблицы результатов вывести результаты не только в виде таблиц, но и в виде графиков и т. д. [c.29]

Студентам, имеющим практические навыки программирования, рекомендуется усовершенствовать программу. Например, для интегрирования дифференциальных уравнений движения использовать стандартную подпрограмму, реализующую метод Рунге — Кутта дополнить программу операторами, определяющими относительное рассогласование за время т величии шц, ei 5 организовать печать текстовой шапки> таблицы результатов и т. д. [c.95]

Один из возможных вариантов программы с использованием конечно-разностной схемы Эйлера приведен в рассмотренном ниже примере. Студентам, имеющим практические навыки программирования, рекомендуется интегрировать уравнения (2) методом Рунге — Кутта, используя стандартные подпрограммы. [c.105]

Система уравнений (1.5.9) -(1.5.11) вместе с граничными условиями (1.5.3)-(1.5.5) с учетом соотношения (1.5.7) представляет замкнутую систему уравнений, решение которой при известных правых частях можно получить одним из численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, например, методом Рунге-Кутта, [c.37]

Система уравнений (2.5.8) - (2.5.10) интегрировалась численно методом Рунге -Кутта. На входе при л = 0 функцию Ф считали заданной, при х > 0 ее вычисляли на [c.75]

Система уравнений (2.6.13), (2.6.18), (2.6.19) вместе с граничными условиями (2.6.8) представляет собой замкнутую систему уравнений, решение которой при известных правых частях можно получить одним из численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, например, методом Рунге-Кутта. Для вычисления диссипативных слагаемых входящих в правые части уравнений (2.6.13), (2.6.18) представим решение и(х, у) и с х, у) в виде [c.80]

МЕТОД РУНГЕ—КУТТА [c.99]

Начнем с задачи Коши. Здесь будет изложен один метод ее решения — метод Рунге—Кутта. Существуют и другие методы, но метод Рунге—Кутта превосходит их простотой и удобством реализации на ЭВМ. [c.99]

Отметим, что шаг может быть как положительным, так и отрицательным. Метод Рунге—Кутта заключается в том, что приближенное значение y +i (обозначим его через Уп+i) ищется в следующем виде [c.99]

S = 2, метод Рунге—Кутта с двумя слагаемыми имеет вид [c.100]

Итак, существует бесчисленное множество формул Рунге— Кутта с двумя слагаемыми и все они имеют второй порядок аппроксимации. Отметим два частных случая этого многообразия [c.101]

Аналогично можно рассмотреть методы Рунге—Кутта с большим числом слагаемых. Известны формулы, содержащие до девяти слагаемых. Громоздкость выкладок быстро нарастает, но принципиально все остается так же, как и в рассмотренных случаях. Формулы с тремя слагаемыми имеют третий порядок аппроксимации, с четырьмя и пятью — четвертый порядок. Число уравнений, которым должны удовлетворять числа р, а и р, всегда меньше количества этих чисел и, следовательно, имеется множество формул одного порядка аппроксимации с одинаковым числом слагаемых. Чаще других употребляется следующая формула, имеющая четвертый порядок аппроксимации [c.102]

Метод Рунге—Кутта устойчив по отношению к ошибкам в начальных условиях и к искажениям в правой части уравнения, так как конечные изменения этих величин приводят к конечным изменениям в результатах вычислений, а не накапливаются при продвижении от шага к шагу. [c.103]

В заключение заметим, что при использовании метода Рунге— Кутта на очередном шаге не используется предыдущая информация. Поэтому можно вести расчеты с переменным шагом интегрирования, подбирая каждый очередной шаг таким образом, чтобы выдерживалась постоянная ошибка метода. [c.103]

Метод Рунге—Кутта. Перейдем теперь к весьма распространенному методу Рунге Кутта. Используем ряд Тейлора [c.16]

Следуя идее Рунге — Кутта, можно получать более точные формулы. Общий подход заключается в следующем. Записываем приращение k h) в виде [c.17]

Это наиболее употребительная формула Рунге — Кутта. Методы Рунге — Кутта реализованы в виде стандартных программ на серийных ЭВМ. [c.18]

Способ Рунге оценки погрешности. Рассмотрим практический прием оценки погрешности приближенного решения. Пусть погрешность на шаге пропорциональна Л " и решение найдено в точках л о, Xa- -h, x - -2h,. .., Х2п=-x-o- -2nh. Обозначим приближенное решение, полученное с шагом Л, в точке д гп через у. Решение в той же точке Х2п, полученное с шагом 2ft, обозначим через у. Пусть ут — точное решение в точке Х2п. Если предположить, что коэффициент А о главном члене погрешности постоянен, то [c.18]

В частности, в случае метода Рунге — Кутта при г=4 (т = 5) имеем [c.18]

Явные методы наиболее легко реализуются, приводят к сравнительно небольшому объему вычислений на одном шаге интегрирования. Однако для соблюдения условий устойчивости приходится уменьшать шаг настолько, что увеличившееся число шагов может сделать недопустимо большими общие затраты машинного времени. Поэтому явные методы, к которым относятся известные методы Адамса — Башфорта и явные варианты метода Рунге — Кутта, оказываются малонадежными и в САПР находят ограниченное применение. [c.54]

Зависпмость отношения 81г/311а=/о от величины приложенного поля I Ш Г"-, рассчитанная при помощи метода Рунге— Кутта—I [98], показана на рис. 83. Как следует из рисунка, величина 1ц не зависит от направления потока целевого компонента (симметрия относительно Ш=0). Очевидно, что при больших абсолютных значенпях параметра IV 1ц прямо пропорционально напряженности электрического поля Е. При малых Ш - О это отношение стремится к единице, т. е. для полного потока целевого компонента можно использовать соотношение (6. 7. 29), полученное в предположении об отсутствии электрического по.ля. [c.277]

Системы уравнений (8) и (10) решались методом Рунге - Кутта. На рис.2 представлены результаты расчета изиеневия давкенвя в канале Ьри Ра - 0 7 И 0,8 к - Ii4 = I я= I. [c.51]

Рунге—Кутта четвертого порядка, Симпсона, Адамса, трапеций и прямоугольников) или набора методов с переменным шагом (Рунге—Кутта четвертого порядка и Милна пятого порядка). Последовательность моделируемых режимов можно задать пользователем с указанием изменения параметров от режима к режиму и времени, в течение которого моделируются отдельные режимы. Последовательность моделируемых режимов можно организовать также автоматически в объеме, предусмотренном государственными стандартами, стендовыми испытаниями и т. п. Форма вывода результатов задается табличной или графической. [c.230]

При решении данного типа задач возможны два подхода. Первый подход состоит в приложении использованных выше рассуждений в каждый момент времени t, т. е. производится дискретизация только по пространственным переменным искомые параметры здесь являются функциями времени и для их определения получаются алгебраические, обыкновенные или интегро-дифферен-циальные уравнения —в зависимости от исходной задачи, которые решаются известными методами с помощью разработанных программ (Рунге — Кутта, Адамса и т, д.). При втором подходе независимая переменная — время / —считается формально равноправной с пространственными переменными х,- и производится разбиение на конечные элементы цилиндра, любое сечение которого плоскостью = onst — область изменения независимых переменных Xi, переменная t отсчитывается вдоль образующей цилиндра. Недостаток данного подхода — резкое увеличение размерности задачи, если только для движения вдоль временной переменной не применять специальные методы. Приведем описание первого подхода (представляющего собой, впрочем, частный случай второго). [c.212]

Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов. Уравнения (7), (8) интегрируются на ЭВМ методом Рунге—Кутта. Один из возможных вариантов программы с использованием стандартной процедуры RKGS библиотеки программ ЕС ЭВМ приведен на рис. 27. [c.41]

Нормализованные уравнения приводятся к форме Коши и интегрируются тем или иным численным методом на интервале безразмерного вре.мени ti = (ot. Один из возможных вариантов программы, использующий конечно-разностную схему Эйлера с шагом, равным шагу печати Д< =Т /24, приведен в рассмотренном ниже примере. Студентам, имеющим практические навыки программирования, рекомендуется интегрировать уравнения методом Рунге — Кутта, используя стандартные подпрограммы. [c.71]

Формула (3.18), как и многие другие формулы Рунге—Кутта, имеет существенный недостаток — при ее использовании остается неизвестной величина и, следовательно, остается неизвест- [c.102]

Метод Мерсона требует пяти вычислений правой части уравнения (против четырех при использовании формулы (3.18)), но эти затраты окупаются тем, что можно без повторных расчетов сказать, достигнута ли нужная степень точности и, если нет, то при каком шаге она будет достигнута. Кроме того, следует отметить, что требуемый объем памяти вычислительной машины не превышает тот, который необходим для вычисления формул (3.18). Таким образом, по-видимому, метод Мерсона является наиболее эффективным вариантом метода Рунге—Кутта. [c.103]

Решзние исходной задачи определяется по формуле (3.23), где l определяется по формуле (3.24) и j = 0. Функции у (х) и Уд х) могут быть найдены с достаточной степенью точности, например, методом Рунге—Кутта. [c.105]

При использовании формулы Адамса необходимо знать решение в ряде предшествующих узлов, и это снижает достоинство метода. Например, для того чтобы использовать формулы (1.49), (1.53) при решении задачи (1.30), необходимо каким-то образом вычислить у, у2, Уз, в частности используя методы типа Рунге —Кутта. Однако для этого в памяти ЭВМ нужно хранить дополнительную программу, которая нужна для вычисления решения лишь в трех точках. При использовании формулы Адамся определенные трудности логического характера вызывает такж изменение шага интегрирования в процессе решения задачи. [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...