Слабые формулировки

Истинное распределение температуры Т М) удовлетворяет (1.85) при любой непрерывной функции w (М), подчиняющейся условию (1.83). Но из (1.85) при определенном выборе w (М) можно найти приближенное распределение температуры Т (М). В отличие от Т (М) оно не обязательно должно быть гладким, т. е. иметь во внутренних точках М V непрерывные производные по координатам. Достаточно, чтобы Т М) было непрерывным и удовлетворяло граничному условию (1.66). Ослабление требований к гладкости Т М) существенно расширяет класс допустимых функций, на которых можно рассматривать (1.85). Поэтому (1.85) называют слабой формулировкой задачи [6]. Аналогичным образом из (1.64) можно получить слабую формулировку нестационарной задачи теплопроводности [c.27]

Слабая формулировка позволяет воспользоваться для поиска Т (М) или Т М, t) большой группой приближенных методов решения, которые отличаются друг от друга особенностями выбора функции W (М), называемой обычно весовой функцией [13]. [c.27]

Подставляя (14.42) в (14.41) и полагая для удобства = О, получаем так называемую слабую формулировку [c.399]

Если ограничиться слабой формулировкой задачи, то можно не требовать гладкости граничных условий и неизвестных граничных значений. В [408] показано, что для корректной разрешимости динамических задач теории упругости без односторонних ограничений достаточно положить г и Фг 6 Я (. , д]/)), рг и фг б (.7, Я (дУ)). [c.100]

Когда пытаешься выстроить в единую нить впечатления от личных встреч и наблюдений во время различных обсуждений или мероприятий, то перед глазами встает человек, который, с одной стороны, в научных спорах отнюдь не отличался излишней дипломатией—прежде всего стремился добраться до истины С другой стороны —исключительно вежливый, доброжелательный и, в лучшем смысле этого слова, аристократичный в общении. Первая из названных сторон проявлялась при слушании различных докладов или знакомстве с чьими-либо результатами. Пожалуй, вначале он мог шокировать резким высказыванием, по казалось бы, твердо установленным фактам, иногда казалось обидным тратить силы на объяснения по, казалось бы, пустяковым вопросами. Но в какой-то момент приходило ощущение того, что именно с этих дальних подступов начиналось у Игоря Фомича ощущение проблемы. Сначала это было просто проявление его тонкого физического чутья, затем начиналась работа его критичного и ироничного ума и, наконец, следовала точная и острая формулировка существа проблемы или же ее слабого места. [c.221]

Основой применения МКЭ являются слабые формы уравнений и вариационные принципы, рассмотренные в гл. 3. Слабые и вариационные формулировки, приведенные в этой главе, прямо использовать для формирования системы алгебраических уравнений нельзя. Требуется сделать ряд преобразований исходных уравнений. [c.156]

Принцип возможных перемещений (слабая форма уравнений движения) для TL-формулировки выражается равенством (3.3). Компонентная запись этого уравнения, рассматриваемого в мо- [c.158]

Представляется важным вопрос о накоплении повреждений в различных сечениях. К сожалению, этот вопрос экспериментально слабо изучен, и, как уже подчеркивалось автором, общие формулировки здесь, возможно, преждевременны. Однако в связи с возни-4<ающими практическими потребностями можно попытаться сформулировать некоторые зависимости в простейших случаях. [c.7]

Следует точно определить условия, при которых такая формулировка будет правильной. Необходимо, чтобы поле (градиент сродства) было достаточно слабо, чтобы подвижность не зависела от силы поля. В теории электролитов — это условие закона Ома. В необратимой термодинамике — это условие пропорциональности скорос- и движущей силе. [c.34]

В сложной системе (Ед) + (Ед), как требует принцип необратимости, в конце концов наступит равновесие. При этом энергия 8 совершенно определенным образом распределится между (Ед) и (Ея). Принцип необратимости утверждает, что это распределение, как и все вообще свойства равновесного состояния, однозначно определяется значениями механических параметров и энергией всей системы. В формулировке принципа необратимости, констатирующего опытные факты, ничего не говорится о характере связи между частями системы. Следовательно, если, не меняя механических параметров, изменить характер теплового контакта между (Ед) и (Ед), оставляя связь слабой (и значит, не меняя общей энергии), то это никак не должно будет отразиться на равновесном состоянии. Распределение энергии между частями системы (т.е. энергии 8а и 8в) останется прежним, и сами состояния частей А и В тоже не изменятся. Постепенно ослабляя связь между (Ед) и (Е ), можно наконец совсем ее уничтожить, т. е. просто отделить системы (Ед) и (Е ) друг от друга. Их равновесие при этом не нарушится, и каждая из них останется в том же состоянии, в котором они находились, будучи связанными. [c.32]

Tp. 695—748. При формулировке и доказательстве теоремы Лагранж допустил некоторые неточности. Корректное доказательство теоремы принадлежит Коши, см. примечание выше. Заметим, что теорема. Лагранжа—Коши основана на предположении о непрерывности движения в смысле определения, данного в п. 3. Безвихревое течение может стать вихревым после прохождения ударной волны (см, и, 54), но остается безвихревым при переходе через поверхность слабого разрыва (см, и, 51). [c.53]

В. В. Болотин (1961) для описания статистических закономерностей усталостного разрушения привлек гипотезу наиболее слабого звена и уточнил формулировку этой гипотезы в связи с существованием порога минимальных значений. [c.408]

Все, или почти все, что сказано выше о выборе схемы течения для чисто дозвуковых течений, относится и к обтеканию тел в случаях, когда в части области течения достигается сверхзвуковая скорость или когда набегающий на тело поток имеет сверхзвуковую скорость. В таких случаях течение осложняется тем, что в потоке могут возникать скачки уплотнения, а при их пересечении—и начинающиеся от линии пересечения скачков внутри области течения поверхности тангенциального разрыва. При пересечении скачков внутри области течения или при образовании присоединенных скачков у передней кромки обтекаемого тела или у линии излома его поверхности, а также и в некоторых других случаях возникает, как уже говорилось ранее, проблема выбора принадлежности уходящих скачков к сильному или слабому семействам формулировка задачи должна содержать условия, позволяющие делать этот выбор. [c.331]

Можно, конечно, высказать утверждение, что прочность связывания двумя связывающими электронами в случае линейной конфигурации молекулы Н2О больше, чем прочность связывания четырьмя электронами в случае нелинейной конфигурации молекулы И2О. То, что это пе так, можно видеть из следующей грубой математической формулировки предыдущих качественных рассуждений. При этом не следует забывать, однако, что достаточно слабые допущения могут привести к значительным изменениям в величинах вычисляемых разностей энергий различных конфигураций, отличающихся друг от друга величиной валентного угла, так как эти разности энергий в общем достаточно малы (порядка 1 эв). [c.399]

Для справедливости теоремы существования и единственности решения, очевидно, нужны гораздо более слабые предположения, чем сделанное нами предположение об аналитичности правых частей. Более подробную формулировку теоремы о существовании и единственности решения как для случая системы (А), так для случая общей системы (III) и ее доказательство см., например, [115, 134]. [c.12]

Прежде чем доказывать это, необходимо отметить, что принцип Ферма можно сформулировать в несколько иной, более слабой [ х)рме, применимой, однако, в более широкой области. Согласно данной формулировке реальный [c.132]

Связь между ионами и электронами в твердом теле осуществляется за счет сильного взаимодействия между этими частицами. Физические явления в твердом теле поэтому являются коллективными явлениями, в них участвует большое число частиц, из которых построена решетка. Теоретическое описание таких явлений на первый взгляд кажется значительно более сложным, чем описание простой системы слабо взаимодействующих между собой частиц. Результаты последних десяти лет, однако, показали, что систематическое введение понятия элементарных возбуждений позволяет охватить большую часть физики твердого тела с единой точки зрения. Одновременно эта концепция дает наглядную формулировку многих явлений в твердых телах и, таким образом, сильно облегчает их понимание. [c.9]

Вариационные соотношения (4.5.38) и (4.5.39) представляют слабые формулировки итерационных методов, из которых, задаваясь связью деформаций и перемещений, можно получить в качестве уравнений Эйлера уравнения в перемепгениях для различных задач. Однако значение этих соотношений заключается в том, что они ЯШ1ЯЮТСЯ основой для вывода разрешающих уравнений при различных способах дискретизации задачи, например МКЭ, а также для получения теоретических оценок сходимости методов. [c.233]

Каратеодори [2] подчеркивал, что стационарное значение никогда не является истинным максимумом. Поэтому во второй, более слабой формулировке принципа Ферма необходимо говорить о стаиионарном, а ие экстремя.пьном значении. [c.133]

Сделаем несколько замечаний, касающихся физической интерпретации функций, принадлежащих рассмотренным выше функциональным пространствам. При классической постановке задач теории упругости все величины, характеризующие напряженно-деформированное состояние, должны выражаться достаточно гладкими функциями [299, 373, 505, 571]. Функциональные пространства гладких функций имеют достаточно] простой физический смысл. Физические величины, описываемые такими функциями, непрерывны и обладают непрерывными производными до некоторого порядка. К сожалению, в большинстве встречающихся на практике случаев это требование не выполняется и корректного решения таких задач в классической постановке не существует. Для математического Исследования и разработки эффективных методов решения таких задач рассматриваются яеклассические (слабые) формулировки. В этом случае все известные и неизвестные величины предполагаются принадлежащими пространствам Соболева с индексом из множества действительных чисел. Эти функциональные пространства, в частности, содержат и гладкие функции. Такой подход к задачам динамической теории упругости впервые применялся в [354], . [c.87]

Первая, пока еще несовершенная, формулировка закона сохранения и превращения сил была дана Майером в статье О количественном и качественном определении сил , отправленной в Анналы физики 16 июля 1841 г. Ее не напечатали, даже не удостоив автора ответа. Вторая статья Замечания о силах неживой природы была опубликована в мае 1842 г. в Анналах химии и фармацевтики Либихом. Заглавия статей ничего не говорили о значительности содержания, текст тоже с трудом рыскрывал его. И это не удивительно, ибо подготовка Майера в области физики и математики была слабой. [c.118]

Автор глубоко благодарен профессору Дж. Л. Сингу за ту тщательность, с которой он просмотрел рукопись и указал автору на многие слабые места в его изложении. В некоторых случаях различие в точках зре1И1я было лишь кажущимся, однако в ря,т,е мест оказалось возможным дать более точные формулировки, что должно существенно облегчить чтение. [c.13]

Было сделано много предложений по поводу хода творческой работы, которые, пожалуй, выдают тайну деятельности преуспевающих конструкторов. Так, Г. Уоллэс [12] различает четыре этапа творческого акта подготовка, вынашивание, озарение, рассудительная проработка, И. К. Л. Фиш [4] требует, во-первых, ясной и достаточной формулировки вопроса, во-вторых, проработки вопроса, в-третьих, корректировки сделанных при этом ошибок и, в-четвертых, проработку задачи до мельчайших подробностей. Ф. Кессельринг [14] предлагает следующий путь идея, 1-й проект, первая оценка, устранение слабых мест, 2-й проект, вторая оценка, решение, конструктивная проработка. Р. Матусек [13] переходит от задания непосредственно к конструктивному принципу, который он разрабатывает на основе рассмотрения материалов, производства, оформления и стоимости. X. Ло-манн [10] различает четыре фазы проникновение в содержание предмета путем анализа, идея и план решения, исполнение правильного решения, испытание и последующая проверка. [c.22]

В то же время в неперенормируемых моделях, примером к-рых может служить теперь уже отошедшая в прошлое формулировка слабого взаимодействия в виде четырёхфермионного локального лагранжиана Ферм1 , не удаётся собрать все расходимости в агрегаты , перенормирующие массы и заряды. [c.304]

ПОЛЗУЧЕСТИ ТЕОРИЯ математическая — раздел механики сплошных сред, в к-ром изучают процессы медленного деформирования (течения) твердых тел под действием пост, напряжения (или нагрузки). В силу различия физ. механизмов, приводящих к возникновению временных эффектов, единой П. т. не существует. Наиб, развитие получили варианты П. т., описывающие поведение наиб, распространённых конст-рукц. материалов металлов, пластмасс, композитов, грунтов, бетона. Оса. задача П. т.— формулировка таких матем, зависимостей между деформацией ползучести (или её скоростью) и параметрами, характеризующими состояние материала (механич. напряжения, темп-ра,повреждённостьи др.), к-рые бы достаточно полно отражали осн. наблюдаемые в экспериментах свойства. К П. т. непосредственно примыкают теории т. н. длит, прочности, описывающие разрушение материалов при выдержке в условиях постоянной или слабо меняющейся нагрузки. [c.10]

В книге приводится методологически последовательная постановка геометрически и физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, в том числе задачи о потере устойчивости и контактных взаимодействиях тел. Уравнения формулируются относительно скоростей или приращений неизвестных величин. Приводятся слабые формы уравнений и вариационные формулировки задач. Рассматривается применение метода конечных элементов к решению квазистатических и динамических задач. Используются следующие модели материалов изотропная линейно-упругм, несжимаемая нелинейно-упругая Муни — Ривлина, упругопластическая, термоупругопластическая с учетом деформаций ползучести. Приводятся процедуры численных решений нелинейных задач, основанные на пошаговом интегрировании уравнений равновесия (движения). Рассматриваются особенности процедур численного решения задач о потере устойчивости и контакте тел. [c.2]

Для решения некоторых классов задач можно также эффективно использовать вариационные формулировки уравнений. В функционалах, с помощью которых получаются вариационные формулировки, также ослаблены требования на гладкость варьируемых функций по сравнению с исходной дифференциальной формой. В настоящей книге приводятся вариационные принципы тйлько относительно скоростей неизвестных функций, требуемые для применения МКЭ (часть II) и для качественного исследования поведения решения нелинейных уравнений в особых точках (гл. 4). Более полное представление слабых форм уравнений движения и вариационных принципов нелинейной механики можно найти, например, в [36, 49, 62, 67, 88, 98, 119, 122]. [c.109]

КАМ-теорема в данном случае преподносит нам сюрприз она говорит, что существует гораздо больше порядка , чем можно было бы ожидать, исходя из нашего обсуждения. Если ограничиться грубой формулировкой ), то КАМ-теорема гласит, что при условии достаточной малости X и аналитичности гамильтониана (/, ф) относительно / и <р в данной области значений фазовое пространство можно подразделить на две области ненулевого объема 2), одна из котлрых мала по сравнению с другой и стремится к нулю при A.-V О ). Бблъшая область обладает известной структурой вложенных тлров, плотно покрытых траекториями. Иными словами, для большинства возможных начальных условий траектории данной системы носят тот же характер кривых Лиссажу, ограниченных N — 1) измерениями, как и в простом случае осциллятора. Исходные торы деформируются лишь весьма слабо. Имеется, однако, малая область (иными словами, некоторое множество начальных условий), где траектории совершенно хаотичны и могут отклоняться очень далеко от соседних, удерживаемых траекторий. Эта малая область, которая имеет не нулевую меру, является, таким образом, областью неустойчивости. [c.364]

В 40 был огмечен один из важнейших результатов экспериментов было показано, что ускорения при движении тел зависят от состояния движения этих тел, от их скорости. Пользуясь тем, что эта зависимость слаба при малых скоростях, мы это явление не учитывали при формулировке законов. Вопрос о том, как учесть такую зависимость при больших скоростях, также непосредственно связан с рассмотрением движения тел переменной массы. [c.185]

В приведенном выше доказательстве было использовано предположение о том, что через каждую точку рассматриваемой области проходит только один луч. Это условие во многих практически важных случаях не выполняется. Например, при отражении от зеркала света, испускаемого точечным источником А, через любую точку В прохбдят два луча (рис. 7.3,6). Чтобы охватить подобные случаи, принцип Ферма можно сформулировать в более слабой форме, но применимой в более широкой области реальный луч отличается от остальных кривых, соединяющих две заданные точки, тем, что соответствующая ему оптическая длина имеет стационарное значение, т. е. малое изменение траектории (например, точки падения на зеркало рис. 7.3, б) не приводит в первом порядке к изменению оптической длины. Эта формулировка вполне достаточна для практических приложений, ибо для нахождения луча можно ограничиться сравнением оптических длин для воображаемых путей, которые проходят бесконечно близко от действительного. [c.334]

Вопрос об однозначной разрешимости трехмерной задачи в целом для любого времени, любых гладких дацных задачи и любых размеров области течения до сих пор остается открытым. Известно слабое решение Хопфа, однако, как показано в [84], класс слабых решений недопустимо широк, так как в нем нарушается единственность течения, что несовместимо с принципом детерминизма в классической механике. Если допустить существование хорошего решения в целом, то доказывается и его единственность. Так же доказывается непрерывная зависимость нестационарных решений от начальных данных и внешних сил, но только для конечных интервалов времени. Впрочем, в классе двумерных задач с нулевыми граничными условиями это доказано для произвольного интервала, грубо говоря, в такой формулировке если условия нулевые, а силы убывают, то и движение жидкости затухает. Для задач с неоднородными условиями непрерывной зависимости решения в целом от начальных данных, вообще говоря, нет, ибо как известно, при больших числах Рейнольдса стационарные течения могут терять устойчивость. Это, относится, например, к течению Пуазейля в плоском канале. [c.12]

Чтобы облегчить понимание, мы избегали чересчур строгой аргументации или сложных выкладок до такой степени, что пурист, разумеется, найдет что критиковать в логике изложения. Во многих случаях математические утверждения мы сопроводили словест ными формулировками, которые часто менее точны, н6 могут помочь математически более слабо подготовленному читателю. [c.14]

Асимптотическая теории взаимодействия невязкого потока с пограничным слоем является важной частью динамики вязкого газа при больших значениях числа Рейнольдса Re, В основе ее лежит фундаментальная идея Л. Прандтля о возможности разделения всей области течения на невязкий поток и тонкий пограничный слой Prandtl L., 1904]. Эта идея появилась в связи с попыткой получить рациональное объяснение явления отрыва потока от поверхности обтекаемого тела. Заметим, что идея Прандтля оказалась чрезвычайно плодотворной не только для динамики вязких течений, но и для многих других направлений прикладной математики. Первоначальная формулировка теории пограничного слоя включает предположение о том что, возможно, сначала решить задачу для внешнего течения невязкого газа, а затем для пограничного слоя при найденном распределении давления. Позднее Л. Прандтль [Прандтль Л., 1939] указал на возможность уточнения решения путем учета вытесняющего действия пограничного слоя на внешнее течение. В следующем приближении при этом необходимо учесть влияние изменений внешнего потока на течение в пограничном слое и т. д. Фактически была сформулирована концепция теории слабого взаимодействия. [c.251]

Интересно, что зависимость от угловой скорости гравитационной силы, действующей на пробную частицу внутри слоя, точно такая же, как и во вращающейся системе, но движущейся в противоположно.м направлении относительно системы инерциальной. Векторные потенциалы приводящие к силам типа кориолисовых, даже зависят от координат обычным образом. С другой стороны, скалярный потенциал имеет такую форму, что приводит, помимо обычных центробежных сил, к неисчезающей компоненте силы вдоль оси вращения. Чисто радиальный характер центробежной силы означает, что приближенные уравнения (11.30), для единственности решения которых требуется точная формулировка граничных условий на бесконечности, не в состоянии адекватно описать динамику мира в целом. Это и не удивительно, поскольку некоторые из наиболее характерных особенностей точных уравнений (11-12) теряются в их приближенном варианте например, существенно нелинейный характер уравнений исчезает в случае слабого поля. Кроме того, уравнения (11.12) содержат Л-член, важный в космологических задачах. Указанные обстоятельства существенно меняют проблему постановки граничных условий (см. 12.6). В любом случае, однако, силы, действующие на пробную частицу внутри слоя, слишком малы, чтобы быть измеренными. Это н объясняет отрицательный результат эксперимента, выполненного Фридлендером в 1896. [c.310]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...