Потенциальные постоянные, квадратичные

Потенциальные постоянные, квадратичные (см. также Силовые постоянные) в валентно-силовых координатах 186, 193 в координатах симметрии 166 в прямоугольных координатах 86, 160 в центрально-силовых координатах 162, [c.620]

Выражение (2.4) показывает, что потенциальная энергия системы является однородной квадратичной функцией обобщенных координат. Постоянные С у называют коэффициентами жесткости. [c.7]

Отбрасывая в формулах (3) и (5) члены третьего и более высокого порядков малости относительно и мы представим кинетическую и потенциальную энергии в виде квадратичных форм с постоянными коэффициентами [c.231]

Резюме. Если некоторые координаты не входят в функцию Лагранжа, в то время как соответствующие скорости в нее входят, то такие координаты называются циклическими. Импульс, соответствующий циклической координате, остается постоянным в процессе движения. Циклические координаты могут быть исключены из функции Лагранжа путем ее соответствующего видоизменения. Исключение приводит к появлению фиктивной потенциальной энергии. Кроме того, может появиться фиктивная кинетическая энергия, не квадратичная, а линейная относительно скоростей. [c.156]

При гидростатической внешней нагрузке q потенциал внешних сил с точностью до постоянного слагаемого определяется зависимостью П = q AF, где Af — увеличение площади, ограниченной кольцом. При увеличении площади кольца потенциал внешней гидростатической нагрузки возрастает, поэтому произведение q AF положительно. Поскольку изменение полной потенциальной энергии АЭ необходимо знать с точностью до квадратичных слагаемых, с той же точностью следует определять AF при деформации кольца. [c.229]

Пусть известны выражения для кинетической и потенциальной энергии колебаний линейной системы вблизи положения устойчивого равновесия, заданные в виде однородных квадратичных форм соответственно от обобщенных скоростей и обобщенных координат <7, с постоянными коэффициентами [c.184]

Энергия молекулы в отсутствие внешнего поля равна сумме кинетической энергии, которая, как известно из механики, представляет собой однородную квадратичную функцию импульсов адр/р (коэффициенты а-,к в общем случае зависят от обобщенных координат qi), и потенциальной энергии взаимодействия атомов, (Мы будем в дальнейшем пользоваться известным условием Эйнштейна — по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование.) Внутреннее движение атомов в молекуле после исключения поступательного и вращательного движений молекулы как целого представляет собой малые колебания около положения равновесия, в котором потенциальная энергия имеет минимум. Поэтому потенциальная энергия вблизи от равновесия представляет собой однородную квадратичную функцию обобщенных координат, характеризующих конфигурацию молекулы, т, е, всех координат за вычетом тех, которые описывают положение и ориентацию молекулы как целого. При этом 1/тш принимается за начало отсчета потенциальной энергии и точка равновесия — за начало отсчета координат ql. Для л-атомной молекулы число этих внутренних координат равно Зл — 5, если молекула линейна (положения равновесия атомов находятся на одной прямой), и Зл — 6, если молекула нелинейна. Действительно, в случае линейной молекулы ее положение полностью задается тремя координатами Хц, уц, 2ц центра инерции и двумя углами, В случае же нелинейной молекулы ее ориентация в пространстве задается тремя углами. Таким образом, для потенциальной энергии имеем выражение где — постоянные коэффи- [c.211]

Название соответствующего раздела в первой из работ Лагранжа вполне характеризует суть дела Общий метод для определения движения любой системы тел, действующих друг на друга, в предположений, что эти тела совершают только бесконечно малые колебания около их положений равновесия ( тела и здесь, конечно,— материальные точки). Как это до сих пор излагается в курсах теоретической механики, Лагранж показывает, что живая сила системы Т, с точностью до величины высшего порядка малости, является квадратичной формой первых производных от обобщенных координат, а. потенциальная энергия V — квадратичной формой самих координат (коэффициенты в Г и F —постоянные) и составляет уравнения движения вида [c.265]

Приближенные выражения для кинетической и потенциальной энергий представляют квадратичные формы с постоянными положительными коэффициентами. Для кинетической энергии это следует нз того, что она всегда положительна и в нуль обращается только при 9 = 0, а положительность коэ )фициента с в выражении для потенциальной энергии следует из того, что рассматриваемое положение равновесия устойчиво (см. примечание к формуле (20.13)). [c.465]

Примечание. Пространству можно приписать не только упругие свойства. Пусть, например, линейная система задана тремя квадратичными формами с постоянными коэффициентами кинетической энергией, потенциальной энергией и диссипативной функцией Релея. Выбо- [c.40]

Эти же условия равновесия можно получить, не прибегая к вычислению обобщенных сил, а разыскивая экстремумы потенциальной энергии. По (5.5.6) она лишь аддитивной постоянной и несущественным положительным множителем отличается от квадратичной формы [c.269]

Начнем с рассмотрения системы, имеющей конечное число степеней свободы, могущей совершать малые колебания около положения устойчивого равновесия в поле потенциальных сил. В этом случае кинетическая и потенциальная энергии представляют квадратичные формы обобщенных скоростей и соответственно обобщенных координат с постоянными коэффициентами [c.689]

Таким образом, потенциальная энергия делается квадратичной формой относительно обобщенных координат 1, 2>- с постоянными коэффициентами. [c.243]

Кинетическая и потенциальная энергии механической системы являются квадратичными формами с постоянными коэффи- [c.116]

Составить канонические уравнения малых колебаний консервативной системы с п степенями свободы, для которой кинетическая и потенциальная энергии представляют собой положительно определенные квадратичные формы с постоянными коэффициентами [c.201]

Полученное только на основании соображений симметрии уравнение (1.22-9) показывает, что эффекты второго порядка (например, получение второй гармоники и суммарных и разностных частот) не могут возникать в системах с центром инверсии. Однако, поскольку описание именно этих эффектов является особенно важным, мы не будем рассматривать модели, построенные по типу атома водорода или щелочного металла (обладающего инверсионной симметрией). Вместо таких моделей мы воспользуемся моделью, в которой центр тяжести оптического электрона расположен вне центра сферически симметричной системы (скажем, на оси х). Такое эксцентрическое положение равновесия определяется молекулярными или кристаллическими силами. Далее мы примем, что рассматриваемый оптический электрон в молекулярной или кристаллической системе принадлежит к электронам, образующим связь. Зависимость потенциальной энергии от смещения центра тяжести размазанного облака заряда оптического электрона определяется электростатическими и квантовомеханическими силами, обусловленными всеми взаимодействующими с ним носителями заряда, а также симметрией молекулы или кристаллической решетки предсказание детального хода потенциала для общего случая сделать невозможно, так как при тех или иных конкретных условиях могут иметь место самые разнообразные потенциальные функции. Однако возможно указать общее свойство интересующих нас типичных потенциальных функций по порядку величины квадратичные силы приближаются к линейным силам, если смещение центра тяжести достигает значения межатомного расстояния (Р 10- о м). Для силовых постоянных имеет место соотношение [c.111]

До настоящего времени все вычисления изотопического эффекта были основаны на приближении гармонического осциллятора, т. е. на строго квадратичной потенциальной функции. Поэтому следует ожидать, что все формулы, рассматриваемые ниже, будут строго верны только для нулевых частот Ш [см. уравнения (2,271) и (2,281)]. К сожалению, значения ш,- были вычислены на основе полного анализа инфракрасных и комбинационных спектров только в очень немногих случаях. Однако постоянные ангармоничности Х1 обычно малы, и поэтому наблюденные значения V,- дают хорошее приближение к (О,-, и, следовательно, все соотношения для частот изотопических молекул будут верны, по крайней мере, как некоторое приближение. [c.247]

Ввиду влияния ангармоничности вычисление постоянных наиболее общей квадратичной потенциальной функции заслуживает внимания только в том случае, если известны значения нулевых частот. Это имеет место только для молекул HjO и D3O (см. выше). Окончательные значения постоянных в (2,97) для этих молекул равны (в дин/см) [c.249]

Оценим очень грубо частоту колебаний юо. Потенциальная энергия, действующая между соседними ионами кристалла, порядка еУ№о). гое е — заряд иона, а <1 — расстояние между соседними ионами в кристалле (так называемая постоянная решетки). При изменении на малую величину характеризующую отклонение иона от положения равновесия, потенциальная энергия приобретает вид е /[ е1+1)ео. Разлагая эту величину по степеням учтем, что линейный по член выпадает вследствие равновесия ионов в кристаллической решетке (он характеризует силу в положении равновесия, равную нулю). Следующий, квадратичный по член имеет порядок величины Приравнивая его к колебательной энергии гармонического осциллятора по порядку величины, мы получаем оценку для характерной частоты, (Оо колебаний ионов в узлах решетки [c.71]

Для того чтобы получить по методу Грина уравнения равновесия и движения тонких твердых пластинок постоянной толщины из однородного изотропного материала, нам необходимо найти выражение потенциальной энергии изгиба. Легко видеть, что для каждой единицы площади потенциальная энергия V есть положительная однородная симметрическая квадратичная функция от двух главных кривизн. Так, обозначая через р , р главные радиусы кривизны, получим для V выражение [c.371]

Первая из них с точностью до постоянного множителя равна потенциальной энергии деформации стержневой системы на векторах усилий 1=51. По смыслу потенциальной энергии деформации (аналогично (2.28) для одного элемента) она является положительно определенной. Вторая квадратичная форма получается из первой путем линейного преобразования векторов [c.161]

Число ПОСТОЯННЫХ (квадратичных членов) в наиболее общем выражении ДЛЯ потенциальной энергии в большинстве случазв превышает число нормальных частот. С другой стороны, при предшествующем изложении мы видели, что если исходить только из центральных сил или только из валентных сил, то число постоянных, как правило, меньше числа частот и, следовательно, одно или нзсколько уравнений для частот можно применять для проверки [c.202]

Возвратимся вновь к кинетической и потенциальной энергиям, выраженным формулами (11.170) и (11.173). В некоторых простейщих задачах можно непосредственно, без упрощений, выразить кинетическую и потенциальную энергии в виде квадратичных форм с постоянными коэффициентами. В этих случаях, а также тогда, когда членами высщих порядков малости в выралсениях кинетической и потенциальной энергии можно обоснованно пренебречь, закон движения системы определяется из системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Если из некоторых соображений невозможно произвести упрощение выражений кинетической и потенциальной энергий, дифферехчциальные уравнения движения будут системами нелинейных уравнений второго порядка. [c.230]

Постоянные aik и ik называются соответственно инерцион-ными и квазиупругими коэффициентами. Напомним, что функция, обращающаяся в нуль только и том случае, когда все независимые переменные равны нулю, и сохраняющая знак при любых вещественных значениях переменных, заключенных в некоторой области, называется знакоопределенной. Кинетическая энергия представляет пример знакоопределенной положительной однородной квадратичной формы обобщенных скоростей. Точно так же в области минимума, которому, согласно теореме Лагранжа ( 147), соответствует положение устойчивого равновесия, потенциальная энергия представляет знакоопределенную положительную функцию обобщенных координат в случае малых движений она аппроксимируется квадратичной формой (4). [c.548]

Наш вывод показывает, что обычная формулировка теоремы о сохранении элергии сумма кинетической и потенциальной энергий в процессе движения остается постоянной справедлива лишь при определенных ограничивающих условиях. Недостаточно, чтобы система была склерономной. Необходимо, помимо этого, чтобы кинетическая энергия была квадратичной формой скоростей, а потенциальная энергия не содержала скоростей вообще. Встречаются, однако, механические системы с гироскопическими членами , линейными относительно скоростей. Более того, в релятивистской механике кинетическая часть фуикции Лагранжа зависит от скоростей более сложным образом, чем в ньюто- [c.148]

Линейным моделям первого приближения для голономных динамических систем отвечают потенциальная энергия системы в виде квадратичной формы обобщенных координат с постоянными коэффициентами кинетическая энергия п диссипативная функция Рэлея рассматриваемой системы в виде квадратичных форм обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Используя это обстоятельство и систематизированный определенным образом выбор обобщенных координат, для линейных и кусочнолинейных моделей несвободных голономных систем можно получить компактный матричный алгоритм формирования инерционной, квазиунругой и диссипативной матриц [25]. [c.171]

Потенциальная энергия системы. Квазиупругие коэффициенты. Пусть потенциальная энергия системы U допускает разложение в степенной ряд в окрестности положения равновесия. Так как потенциальная энергия определяется с точностью до аддитивчой постоянной, то значение этой энергии в положении равновесия можно принять равным нулю. Линейные члены разложения обращаются в нуль вследствие первого условия (I). Таким образом, разложение потенциальной энергии в степенной ряд начинается с квадратичных членов. Отбрасывая члены более высокого порядка, получим [c.56]

Для каждой ячейки полная потенциальная энергия аппроксимируется квадратичной функцией от Мг игг , вэятых в трех узловых точках, связанных с ячейкой. Полную потенциальную энергию для ячейки можно найти в предположении, что все функции и их проиэводные остаются постоянными в каждой ячейке. [c.49]

Выражение потенциальной энергии легко восстановить по ее полной вариации (8), но это вычисление было бы излишним, так как согласно (8) потенциальная энергия представляет квадратичную форму обобш,енных координат (постоянное слагаемое может быть отброшено). Билинейное выражение этой формы через обобш.енные координаты и обобш.енные силы легко составляется по теореме об однородных функциях (4.1.12) [c.213]

Кинетическая Т д, д) = д Ад/2 и потенциальная П(д) энергии системы являются положительно определенными квадратичными формами с постоянными коэффициентами. Известны все собственные частоты системы сох, СО25 , ( г Ф к) и соответствующие им амплитудные векторы их, и2,. .., и . К системе приложено внешнее воздействие Qi = (г = 1, п). Найти движение системы, если в начальный момент она находилась в покое. [c.194]

Гак как наиболее общая квадратичная потенциальная функция содержит шесть независимых постоянных (см. стр. 167), то (2,249) отличается от нее только на одно слагаемое. Этим слагаемым был бы член типа QiaQsi, соответствующий взаимодействию двух несмежных связей X — У. Оно, повидимому, очень мало, и, следовательно, уравнения (2,2 50) должны приводить к силовым постоянным, весьма точно представляющим истинную поте1щиальную эвергию молекулы. [c.206]

Вводные замечания. Исследование изотопического эффекта в колебательных спектрах многоатомных молекул еще важнэе, чем для двухатомных молекул. Так как изотопические молекулы имеют одну и ту же электронную оболочку, то потенциальная функция, определяющая движение ядер с очень большой степенью приближения, одинакова ). Однако ввиду различия масс колебательные частоты (уровни) не совпадают. Отсюда следует, что исследование колебательных частот изотопических молекул дает дополнительные уравнения для определения постоянных потенциальной энергии. Как уже упоминалось, число постоянных в квадратичной потенциальной функции общего вида обычно превышает число основных частот (см. стр. 178). Таким образом, если наблюдается спектр только одной молекулы, то без каких-либо упрощающих предположений невозможно определить все постоянные потенциальной энергии. Однако с помощью основных частот одной или нескольких изотопических молекул можно получить достаточное число дополнительных уравнений и определить все постоянные в наиболее общем квадратичном выражении потенциальной функции. [c.246]

Xs, молекулы, плоские, образующие правильный шестиугольник (De/,) 103, 110, 132, 203 Х молекулы точечной группы Dia, предположение о более общей квадратичной потенциальной функции 20Э Х , молекулы точечной группы Of 21 ХоСО, плоские колебания как функция массы X 218, 219 XYa, молекулы, линейные, симметричные влияние ангармоничности на колебательные уровни 230 вращательная постоянная D 26 выражения для основных частот и силовых постоянных 172 в более общей системе сил 204 в системе постоянных валентных сил 190 изотопический эффект 249 колебательный момент количества движения 88, 403 координаты симметрии 172 кориолисово взаимодействие 402, 403 междуатомные расстояния 424, 426 [c.614]

Фиг. 17. Контурные диаграммы нижней части потенциальной поверхности молекулы с симметрией Сз (или -Ьз/,) в вырожденном электронном состоянии (а) в первом приближении и (б) в более высоком приближении, когда учитываются квадратичный и более высокие члены электронно-колебательного взаимодействия. Обе фигуры имеют централь-пьп1 конический пик. Желоб, проходящий вокруг этого пика (пунктирная линия), в первом случае (а) имеет постоянную глубнпу, а во втором случае (6) образует три минимума. Показана только та часть поверхности, которая па фиг. 16 расположена ниже горизонтальной плоскости, т. е. часть, лежащая ниже минимума потенциальной энергии, соответствующей нулевому электронно-колебательному взаимодействию. Поэтому все приведенные относительные значения V отрицательные.

Процедура решения задачи малых колебаний, нриведенная в конце 9, за небольшими исключениями полностью проходит при ослаблении требований, предъявляемых к системе. А именно, квадратичную форму в кинетической энергии по-прежнему считаем положительно определенной, а потенциальную энергию предполагаем положительно постоянной П д) > 0. Свойство кинетической энергии оставляет возможность перехода (10.8) к нормальным координатам, но вследствие ослабления свойства потепциальпой энергии в выражении (10.2) вместо (10.7) выполняется [c.46]

Если потенциальная и кинетическая энергии системы — квадратичны формы с постоянными коэффициентами, то, пользуясь соотношениями (15.5) и (15.6), можно свести нахождение средних значений 9, к решению статической задачи, относящейся к той же системе. Пусть потенциальная энв ргия имеет вид [c.216]

В самом деле, чтобы уравнения движения системы были линейными, ее-фуикдия Лагранжа должна быть квадратичной функцией координат и скоростей в совокупности. Поэтому кинетическая энергия, всегда являющаяся квадратичной функцией скоростей, должна быть квадратичной функцией скоростей (по общим свойствам — положительно определенной) с коэффициентами, не зависящими от координат. Потенциальная же энергия всегда может быть освобождена от линейных по координатам членов их (кооэдинат) линейным преобразованием, а постоянный член в ней несуществен. Поэтому она также должна быть квадратичной формой — теперь координат —и притом положительно определенной, еслн мы интересуемся финитными движениями. Итак, общий вид функции Лагранжа для системы, описываемой линейными уравнениями, есть [c.85]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...