Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...

Статьи Чертежи Таблицы О сайте Реклама

Уравнения малых колебаний консервативной системы

Составить канонические уравнения малых колебаний консервативной системы с п степенями свободы, для которой кинетическая и потенциальная энергии представляют собой положительно определенные квадратичные формы с постоянными коэффициентами  [c.201]

Мы получили систему двух однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Таковы дифференциальные уравнения малых колебаний консервативной системы с двумя степенями свободы.  [c.427]


Уравнения малых колебаний консервативной системы  [c.446]

Исследование малых колебаний консервативной системы с несколькими степенями свободы вблизи ее положения устойчивого равновесия удобно проводить, используя уравнения Лагранжа второго рода.  [c.467]

Система уравнений (4.1) — (4.4) не содержит сил сопротивления, т. е. описывает малые колебания консервативной системы. В этом случае собственные значения краевой задачи Я (частоты) есть действительные числа. После преобразований получаем систему уравнений относительно векторов Ыо, 0о> АОо и АМо  [c.75]

Пусть для уравнений малых колебаний голономной системы, находящейся под действием консервативных сил в окрестности конфигурации  [c.404]

Эти линейные уравнения получаются из уравнений (6), если считать, что в функции Лагранжа величины Т и П заменены их приближенными выражениями (5) и (3). Теория малых колебаний консервативной системы вблизи устойчивого положения равновесия опирается на такую линеаризацию и рассматривает приближенные выражения (5) и (3) для Т и П как точные.  [c.501]

В нормальных координатах малые колебания консервативной системы с учетом внешних сил будут описываться уравнениями  [c.507]

Таким образом, малые колебания консервативной системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия описываются двумя линейными однородными дифференциальными уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение этих уравнений будем искать в форме  [c.480]

В заключение отметим, что все методы, изложенные для систем с двумя степенями свободы, почти без всяких изменений переносятся на системы с любым числом степеней свободы. В частности, уравнение частот малых колебаний консервативной системы с 8 степенями свободы имеет вид (см. уравнение (20.62))  [c.492]

Свободные малые колебания консервативной системы с п степенями свободы описываются системой уравнений вида  [c.182]

Линейные консервативные системы. Собственные частоты и нормальные колебания. Зависимость собственных частот от параметров системы. Согласно результатам п. 2 настоящего параграфа задача о малых колебаниях консервативной системы около положения равновесия приводится к интегрированию уравнений Лагранжа, в которых кинетическая энергия Т является однородной квадратичной формой относительно обобщенных скоростей, а  [c.250]


Движение склерономной системы в линейном приближении описывается уравнениями А +В4+Ся- О, где матрицы А и С положительно определены, а симметрическая матрица В отвечает знакопостоянной квадратичной форме. Доказать, что равновесие системы q = О асимптотически устойчиво в том и только в том случае, если Ви фо, 8 = 1, п, где их, и2,..., и г — совокупность амплитудных векторов, определяюш их малые колебания консервативной системы Aq + q = 0.  [c.184]

Совокупность функций (43.20) содержит 2s произвольных постоянных Ьа и Ра, определяемых из начальных условий, и поэтому является общим интегралом системы уравнений Лагранжа (43.13) или общим решением задачи о малых колебаниях консервативной системы с S степенями свободы вблизи ее положения устойчивого равновесия.  [c.240]

В соответствии с изложенными замечаниями о линеаризации составим выражения кинетической и потенциальной энергии малых колебаний консервативной системы, подчиненной стационарным связям, около устойчивого состояния равновесия, предполагая, что оно определяется нулевыми значениями координат 9=9 = 0. Для такой системы уравнения связей (1.8) имеют вид  [c.69]

Дифференциальные уравнения малых свободных колебаний консервативной системы около положения устойчивого равновесия можно составить теперь, применяя метод кинетостатики. Для этого следует силы Fs заменить силами инерции (Fs = = —mVs)] выражения обобщенных сил Qi по (72) при этом  [c.574]

До сих пор мы рассматривали свободные колебания консервативной системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия. При отсутствии сил сопротивления дифференциальное уравнение малых колебаний имеет вид  [c.468]

Обычно устойчивость диска исследуется на основе линеаризованных уравнений малых колебаний вблизи невозмущенного движения, прямолинейного или в более общем случае кругового. Однако, поскольку диск представляет собою консервативную систему, корни характеристического уравнения при этом оказываются либо действительными (и тогда движение диска неустойчиво), либо чисто мнимыми сопряженными. В последнем случае обычно считают движение устойчивым. Однако такой вывод является незаконным. В самом деле, если мы изучаем движение диска как движение консервативной неголономной системы, последний случай является так называемым сомнительным случаем Ляпунова и поэтому требует дальнейшего исследования.  [c.61]

Рассмотрим, например, колебания в нелинейной консервативной системе с конденсатором с сегнетоэлектриком при достаточно большой амплитуде гармонического воздействия, причем собственная частота малых свободных колебаний системы близка к утроенной частоте воздействия (утроитель частоты). Уравнение в такой системе запишется в виде  [c.108]

Когда говорят малые колебания , то обычно имеют в виду движения, описываемые системой дифференциальных уравнений, полученной в результате линеаризации полных (нелинейных) уравнений движения. В случае движений в окрестности положения равновесия консервативной системы линеаризация сводится, как мы видим, к получению Т и П в виде квадратичных форм (5) и (3).  [c.501]

Сделаем по поводу полученных результатов два замечания. Во-первых, устойчивость по первому приближению еще не означает устойчивости при рассмотрении точных уравнений (гл. XIX). Кроме того, в этом случае мы лишены возможности вывести суждение об устойчивости из интеграла энергии, как это мы делали в теории малых колебаний (гл. IX). Во-вторых, если система устойчива при рассмотрении точных уравнений, а также в первом приближении, то это связано с влиянием линейных членов Ti в выражении для L. Благодаря им в уравнениях движения появляются гироскопические члены. При отсутствии слагаемых мы имели бы задачу о движении в поле консервативных сил, а для такого поля потенциальная функция в точках Ni и имеет максимум, и эти точки являются положениями неустойчивого равновесия.  [c.570]


Уравнения (I) описывают малые свободные колебания около положения равновесия. При уменьшении затухания (элементы -> 0) поведение системы приближается к поведению консервативной системы, свободные колебания которой описываются уравнением  [c.330]

Одним из наиболее плодотворных применений уравнений Лагранжа 2-го рода является изучение малых колебаний механических систем около положения равновесия. Мы ограничимся рассмотрением случая малых свободных колебаний механической системы, имеющей s степеней свободы, около положения устойчивого равновесия. Как было указано, потенциальная энергия системы V qu <72, .., < s) определяется с точностью до произвольной постоянной. Мы можем выбрать начало отсчета координат qt, 2,. . qs таким образом, чтобы положению равновесия соответствовали значения i=0, 2=0,. . s = 0 и Vo=0. Кроме того, в главе VI раздела Кинетика мы доказали, что при равновесии консервативной системы имеют место следующие условия  [c.501]

Вековое уравнение +... - -an-iX- -an = 0 Х = = со ) малых колебаний некоторой консервативной системы имеет два различных корня Х и Х2 кратности к и п — к соответственно. Показать, что и Х2 удовлетворяют уравнениям  [c.155]

Изложим общую теорию малых колебаний двух связанных осцилляторов — линейной консервативной системы с двумя степенями свободы [3], для описания которой следует ввести две обобщенные координаты X и у. Уравнения движения такой системы удобно записать в лагранжевой форме [4]  [c.40]

Если предположить, что поля пространственно однородны, т. е. да /дх = О, то взаимодействие волн описывается теми же уравнениями, что и колебания в системе трех связанных осцилляторов. Такое описание называется приближением заданной структуры поля. Мы знаем, что при Аи) = О в консервативной системе (т. е. при ] Е) = 0) будет происходить обмен энергией между модами, если высокочастотная мода обладает большей начальной энергией. Если же синхронизм не точный, т. е. Аш ф О, то при малых Аш естественно предположить.  [c.366]

Теория малых колебаний изучает движение консервативной системы в окрестности устойчивого положения равновесия, причем это движение должно определяться линейными уравнениями Лагранжа. Линейность уравнений обеспечивается отсутствием в разложениях но q, q кинетической Т и потенциальной П энергий членов более высокого, чем второй, порядка. Как и в 7, предполагаем, что устойчивому положению равновесия соответствует начало координат фазового пространства = О, = О, считаем также Я(0) = 0. Разложения Т и Я в окрестности = О, = О имеют вид  [c.34]

Надлежащим выбором начала отсчета энергии устраняется первый член правой части. Однако второй член также исчезнет, если разложение провести относительно такого состояния, которое соответствует положению равновесия. В консервативных системах положения равновесия характеризуются экстремальными значениями потенциальной энергии и для них первые производные обращаются в нуль. Если положение равновесия устойчиво, то потенциальная энергия имеет в нем минимум, и следовательно, третий член разложения должен быть в этом случае положительной квадратичной формой координат системы. Далее мы будем рассматривать малые колебания около положения равновесия и поэтому сможем пренебрегать членами высших порядков. Это полностью соответствует обычной при методе малых колебаний линеаризации уравнений движения. Если использовать обозначения  [c.272]

Если система, описываемая уравнением (48), обладает слабой диссипацией, т. е. если обобщенные силы F при любом движении системы оказываются малыми (в среднем) по сравнению с консервативными силами,то в системе могут возбуждаться резонансные колебания. При гармонических вынуждающих силах  [c.165]

Сложность решения диффе 1енциальных уравнений (20.59) малых колебаний консервативной системы  [c.493]

Включены следующие разделы теоретической механики равновесие, устойчивость положения равновесия консервативной системы, малые колебания консервативной системы, асимптотическая устойчивость, гамильтонова механика, каконические преобразования, уравнение Гамильтона-Якоби.  [c.2]

В тексте мы рассматривали уравнения малых колебаний для голо-номной системы со связями, не зависящими от времени, и находящейся под действием консервативных сил. Если система допускает игнорируемые координаты и вычисляется приведенная функция Лагранжа, то появляются, как мы знаем (гл. V, п. 46), гиростатические члены. В п. 24 мы указали форму (30), которая в этом случае свойственна уравнениям малых колебаний около положения устойчивого равновесия было показано, что гиростатические члены не влияют на интеграл энергии, из рассмотрения которого также и в этом случае становится очевидной устойчивость на основании критерия Дирихле.  [c.414]

Изучение малых колебаний неголономной системы, опирающееся на исследование линейных дифференциальных уравнений (2.5) и (2.6), по существу ничем не отличается от аналогичного исследования линеаризованных уравнений движения голономной системы. Так же, как и в случае голономной системы, при наличии решения, нарастающего во времени, результаты такого исследования будут справедливы лишь на конечном интервале времени и т. д. В этом смысле на неголономные системы полностью распространяются все положения обычной теории малых колебаний. Что же касается связи линеаризованных ураднений (2.5), (2.6) с движением исходной неголономной системы, то здесь есть особенность, присущая только неголономным системам. Эта особенность проявляется в наличии нулевых корней и в несимметричности матрицы коэффициентов характеристического уравнения, в случае консервативной системы. Обычный подход с позиций теории малых колебаний здесь не дает полного ответа ка вопрос об устойчивости и не позволяет вскрыть природу нулевых корней. Как мы увидим, эти вопросы тесно связаны между собой. Более подробное рассмотрение вопроса об устойчивости и малых колебаниях неголономных систем позволяет не только объяснить природу нулевых корней характеристического уравнения, но и обнаружить еще одну особенность неголо-  [c.268]


Рассмотрим задачу о колебании упругой гироскопической системы при наличии сил внутреннего и внешнего трений. Эти силы, как обычно бывает в практике, будем считать малыми, вследствие чего сама изучаемая система будет мало отличаться от консервативной. Выберем какую-либо гиросистему такого вида, например гибкий ротор с присоединенными массами, и запишем для /-Г0 ее элемента дифференциальное уравнение колебаний при наличии диссипативных сил [5].  [c.6]


Смотреть страницы где упоминается термин Уравнения малых колебаний консервативной системы : [c.251]    [c.673]    [c.167]    [c.290]   
Смотреть главы в:

Теоретическая механика  -> Уравнения малых колебаний консервативной системы



ПОИСК



Колебания Уравнения колебаний

Колебания малые

Консервативная система

Консервативность системы

Консервативные

Малые колебания консервативной

Малые колебания консервативной системы

Малые колебания системы

Система малых ЭВМ

Уравнение малых колебаний системы

Уравнения малых колебаний



© 2025 Mash-xxl.info Реклама на сайте