Приближение гармонического осциллятор

При составлении таблиц калорических свойств необходимо использовать результаты расчетов этих свойств в идеально-газовом состоянии. В табл. 16 систематизированы данные об идеально-газовой изобарной теплоемкости (Ср ), энтальпии Нт — Яо ) и энтропии (5о). Для единственной температуры 298,25 К энтропия жидкости и пара была определена Риделем [2.56] с использованием опытных данных об изобарной теплоемкости. Оцененная автором погрешность составляет 0,15%. В [2.44, 2.31, 0.29, 0.42, 0.43] расчеты идеально-газовых величин проводились в приближении гармонический осциллятор — жесткий ротатор, причем в [2.31, 0.42, 0.43] вводились поправки на ангармоничность колебаний. Как видно из табл. 16, данные 2.31, 0.42] согласуются между собой с высокой точностью (расхождения не превышают 0,2 %), что позволяет в дальнейшем ориентироваться на эти данные при проведении расчетов термодинамических свойств фреона-11. [c.62]

Однако указывается, что температурные зависимости AG, даваемые клатратной моделью и капиллярным приближением, сильно различаются. С повышением температуры величина AG по классической теории уменьшается, тогда как согласно клатратной модели она растет. Аналогичное увеличение AG с ростом температуры получают при изучении кластеров аргона [173, 174, 269]. В работе [283] из статистической суммы в приближении гармонического осциллятора—жесткого ротатора вычислялась работа образования кластеров льда со структурой /я, составленной из колец, содержащих по шесть молекул воды. Скорость образования зародышей льда и воды рассчитывали по формуле (42) при обычных допущениях 1282, 283]. [c.93]

Для молекулы с трижды вырожденными нормальными координатами собственные функции записываются в виде ,n(Q, а, Р), подобно предшествующим обозначениям ), где I и /г — квантовые числа колебательного углового момента, а а и р — колебательные угловые координаты. Полные колебательные волновые функции молекулы в приближении гармонического осциллятора записываются в виде произведения функций одно-, двух- [c.219]

В приближении гармонического осциллятора зависимость нормальных координат от времени имеет вид [см. уравнение (2,13)] [c.223]

Колебательные собственные функции. В приближении гармонического /осциллятора полная колебательная собственная функция является простым произведением собственных функций осциллятора, соответствующих различным нормальным координатам [ср. уравнение (2,42)]. Если принимать во внимание ангармоничность, то это становится неправильным. Тем не менее, мы можем написать [c.228]

До настоящего времени все вычисления изотопического эффекта были основаны на приближении гармонического осциллятора, т. е. на строго квадратичной потенциальной функции. Поэтому следует ожидать, что все формулы, рассматриваемые ниже, будут строго верны только для нулевых частот Ш [см. уравнения (2,271) и (2,281)]. К сожалению, значения ш,- были вычислены на основе полного анализа инфракрасных и комбинационных спектров только в очень немногих случаях. Однако постоянные ангармоничности Х1 обычно малы, и поэтому наблюденные значения V,- дают хорошее приближение к (О,-, и, следовательно, все соотношения для частот изотопических молекул будут верны, по крайней мере, как некоторое приближение. [c.247]

Точное значение колебательных частей теплосодержания и теплоемкости получается при подстановке в (5,49) колебательной части статистической суммы из (5,13). В приближении гармонического осциллятора [уравнение (5,17)] есть произведение отдельных членов, соответствующих различным нормальным колебаниям. Отсюда следует, что колебательные части [c.545]

Колебательные доли энтропии и свободной энергии в приближении гармонического осциллятора, как и раньше, будут суммами отдельных членов, обусловленных различными колебаниями. Подставляя (5,17) в (5,71) и (5,72), мы получаем [c.553]

Примеры. Хорошим примером изотопных сдвигов в спектрах линейных симметричных молекул Х г является спектр ВОг, небольшая часть которого воспроизведена на фиг. 78. Наряду с основными полосами, обусловленными молекулами ВОг, наблюдаются более слабые полосы молекулы ВОг- В приближении гармонического осциллятора для симметричного колебания Vi не должно быть изотопного эффекта, а для колебаний V2 и Vj коэффициент р может быть получен из выражения [c.182]

В приближении гармонического осциллятора ограничиваются только квадратичным членом Б разложении (рис. 18.1, а). [c.277]

Приведенная выше классическая трактовка гармонического-осциллятора является только приближенной, если частица имеет атомные размеры. Волновое уравнение для одномерного гармонического осциллятора таково [c.85]

При отсутствии конкретных спектроскопических данных о молекулярных энергетических уровнях внутренняя энергия может быть вычислена с достаточной степенью приближения из поступательных энергетических уровней частицы в ящике (или потенциальной яме), вращательных энергетических уровней жесткого ротатора и колебательных уровней гармонического осциллятора. Так как поступательные энергетические уровни вычисляются [c.115]

Теплоемкость какого-либо вещества может быть вычислена прямой подстановкой значений энергетических уровней в уравнение (4-12). В настоящее время наиболее точным методом определения теплоемкости является метод, основанный на определении энергетических уровней с помощью спектроскопических данных. При отсутствии достаточного количества спектроскопических данных теплоемкость идеального газа можно вычислить, прибегая к приближенным допущениям о жесткости ротатора и гармоническом осцилляторе путем использования выражений (2-29) и (2-38) квантовой механики для энергетических уровней соответственно. [c.119]

Уподобление движения электрона (атома) под действием светового поля гармоническому осциллятору, как это мы делали при рассмотрении явления дисперсии света, имеет место только при относительно малых смещениях г. Так как смешение электрона связано с действующим полем, то такое приближение верно длл слабых полей. При действии сильного светового поля, т. е. при распространении через среду мощного пучка лазерных лучей действующая на электрон сила зависит не только от г, но также от его более высоких степеней, например [c.395]

Для малых значений угла р (у <С 1) можно принять sin р. Оказывается, что при малых углах движение математического маятника приближенно описывается уравнением гармонического осциллятора. Если V = к + х, где х <С 1, то sin р —х, и для переменной х [c.226]

При изменении t внутри пределов постоянства функции /(<) будет справедливо уравнение колебаний математического маятника, которое для малых амплитуд можно приближенно представить в виде уравнения гармонического осциллятора [c.251]

Сложная задача взаимодействия электромагнитного поля с веществом может решаться методами как классической, так и квантовой физики. Следует учитывать, что при использовании гармонического осциллятора в качестве модели излучающего атома результаты квантовой и классической теории дисперсии совпадают При применении другой модели (например, атома водорода, где нужно учитывать кулоновское взаимодействие, а не квазиупругую силу) результаты квантового и классического описания будут существенно различны. В последующем изложении, проводимом в приближении классической физики, фак- [c.138]

Колебание гармонического осциллятора является очень важным примером периодического движения и может служить точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. К числу классических систем, аналогичных гармоническому осциллятору, могут быть отнесены любые системы, которые, будучи слегка выведены из положения равновесия, совершают устойчивые колебания. К ним относятся [c.206]

Из (145) мы видим, что восстанавливающая сила больше для отрицательных значений X, чем для положительных. Поэтому неудивительно, что перемещение, соответствующее (155) и выражающее среднее положение колеблющейся частицы, будет соответствовать положительному направлению оси х, в котором восстанавливающая сила слабее. Смещение (155) пропорционально постоянной ангармоничности S и квадрату амплитуды колебания. Мы знаем из полученных ранее результатов, что энергия гармонического осциллятора пропорциональна А . Из статистической физики (т. V) следует, что средняя энергия классического гармонического осциллятора в тепловом равновесии равна kl ), где k— постоянная Больцмана и Т—абсолютная температура. Если это верно, то приближенно мы можем считать, что [c.239]

Так как каждый осциллятор в случае гармонического приближения колеблется независимо от других, то полная энергия колебаний кристалла (тепловая энергия), в общем случае при температуре Т, равна сумме энергий ЪгЫ не взаимодействующих между собой гармонических осцилляторов [отдельных мод колебаний, формула (5.71)] [c.169]

Вращательно-колебательные спектры. В гармоническом приближении правило отбора для переходов между колебательными состояниями дается правилом отбора для гармонического осциллятора Аи = +1 [см. (27.28)]. Для ангармонического осциллятора правила отбора имеют вид Аи = = I, 2, однако вероятность переходов с увеличением Аи сильно уменьшается, в результате чего переходы с Аи = 1 возникают наиболее часто и являются обычно доминирующими. [c.322]

В простейшем приближении каждому нормальному колебанию М. V сопоставляется гармонический осциллятор с энергией [c.187]

Идеально-газовые функции рассчитаны в приближении жесткий ротатор — гармонический осциллятор [2.31, 0.42, 0.43, 0.45, [c.101]

Рид 1206) вычислил для кластеров азота, содержащих от 2 до 8 атомов, в приближении гармонического осциллятора — жесткого ротатора, предполагая взаимодействие только ближайших соседей в равновесной конфигурации, имеющей наинизшую энергию и наивысшую симметрию. Его результаты для К , определяемого формулой (212), хорошо согласовались с более точными расчетами Стогрина и Хиршфельдера [274] при низких температурах, но значительно разошлись с последними при высоких температурах (рис. 19) [202]. Численные значения с (см ) для разных температур насыщенного пара азота, принимая во внимание только одну конфигурацию для каждого п, приведены в табл. 2. Чтобы найти ввг личину Сп при любом пересыщении пара s = 1п(/ /р ), нужно к табличным значениям прибавить член 0,434res. Грубое определение вклада других допустимых конфигураций кластера можно получить, подсчитывая все изомеры, имеющие приблизительно такое же, как у стабильной конфигурации, число связей с ближайшими соседями, и приписывая каждому изомеру одинаковое значение с , взятое из таблицы. Например, полная концентрация кластеров Ne и Ng соответственно равна 2ск и 8с . По мере увеличения п количество изомеров резко возрастает [275], что существенно усложняет расчеты. [c.85]

Сравнение величин работы образования AG ГЦК-кластеров, вычисленных, с одной стороны, в приближении гармонического осциллятора — жесткого ротатора статистическим методом (точный расчет), а с другой — по формуле (53), используя капиллярное приближение, показано на рис. 31 [285, 167]. На основании подобных результатов была составлена табл. 3 и вычерчены графики (рис. 32), позволяющие скорректировать предсказания классической теории нуклеации ФВБД для скорости образования зародышей и критического пересыщения s = р р по формулам ]285, 167] [c.96]

Расчет энергии каждого колебания, отнесенного к минимуму потенциальной кривой, т. е. с учетом нулевой энергии, проводился в приближении гармонического осциллятора но функциям Эйнштейна, как описано в [ ]. Не принималось во внимание возмуш,ение валентного колебания О—Н внутримолекулярной водородной связью (для ГПи-ПБ). Согласно расчету (табл. 3), замеш,ение атома водорода гидроперекисной группы дейтерием в мономерном состоянии вызывает уменьшение энергии колебаний, в которых участвует этот атом, на 1805 кал./моль для ГПи-ПБ и 1735 кал./моль для ГПт-Б. В ассоциированном состоянии это уменьшение составляет 2005 и 1985 кал./моль соответственно. Это равносильно увеличению энергии ассоциации дейтерогидроперекисей относительно обычных на 200 кал./моль для ГПи-ПБ и 250 кал./моль для ГПт-Б. [c.196]

Следует подчеркнуть, что возмущение обусловлено теми же ангармоническими членами в выражении потенциальной функции, от которых зависят члены в сериальной формуле для уровней энергии. Эти последние члены связаны с суммарным эффектом от возмущения данного уровня большим числом других колебательных уровней, причем каждый из них дает, по формуле (2,292), добавочную энергию ] 1 /S. С другой стороны, резонансное возмущение обусловлено воздействием только одного особенно близко расположенного уровня. Далее, при вычислении членов xntViVf, всегда используют значения энергии и собственные функции, полученные в приближении гармонического осциллятора. В противоположность этому для вычисления возмущений по формулам (2,289) и (2,291) можно также использовать значения энергии уровней с учетом ангармоничности по (2,271) и (2,281) и соответствующие им собственные функции. [c.236]

Используя частоты молекулы С Н и применяя простое приближение гармонического осциллятора, Колби [225] предсказал значения основных частот oHD и aD и получил хорошее совпадение. Мы не будем приводить его результатов, а вместо этого-для проверки интерпретации основных частот применим правило произведений Теллера—Редлиха. Сравнивая молекулы jHu и aHD и учитывая, что для них общей яи-ляется точечная группа С ,, из (2,313) получаем [c.316]

Точный расчет колебательной и вращательной частей статистической суммы с учето.м всех исправлений и уточнений (особенно влияния ангармоничности и центробежного растяжения) является чрезвычайно громоздкой операцией и требует знания многих параметров, известных в настоящее время только для очешз ограниченного числа молекул. К счастью, приближение гармонического осциллятора и приближение (классическое) жесткого ротатора вполне удовлетворительны, пока температура не очень высока. Так как в большинстве практических применений используется именно это приближение гармонического осциллятора и жесткого ротатора, то мы получаем следующий основной [c.539]

Статистические суммы 531 внутренние 532 в приближении гармонического осциллятора и жесткого ротатора 539, 540 вращательные 533, 535 колебательные 533, 534 молеку.т с внутренним вращением 540 постоянные равновесич химических реакций, выраженные через статистические суммы 556 поступательные 532 Статистический вес влияние инверсионного удвоения 442, 495 внутренний и полный 532 вращательных уровней асимметричных волчков 67 линейных молекул 28, 400 симметричных волчков 38, 439 сферических волчков 51, 474, 477 полный, включая ядерный спин для несимметричных молекул 28, 39, 539 Степень вырождения 93, 94, 118 Степень деполяризации комбинационного рассеяния 264, 291 релеевского рассеяния 266, 291 способы, позволяющие отличать полносимметричные и неполносимметричные комбинационные линии 269, 292, 521, 522 [c.623]

Мы использовали классическое приближение для поступательного и вращательного движений и приближение гармонического осциллятора для колебаний.) При этом для молярной свободной энергии Гиббса С = Р-]-рУ, Р = — кТ1п ZI получаем [c.240]

Сложное Движение частиц, образующих твердое Тело, можно в определенном приближении разложить на сумму нормальных колебаний, каждое из которых обычно характеризует собой волну, расгфостраняющуюся в системе. С этой точки зрения система 1предста1вляет собой совокупность гармонических осцилляторов, причем каждому нормальному колебанию соответствует свой собственный осциллятор. Такого рода колеблющиеся осцилляторы можно рассматривать как квантовую систему диполей, возбуждающих элементарные порции энергии — фононы. [c.42]

В терминах электронной теории можно следующим образом охарактеризовать механизм процесса. Электрическое поле падающей волны раскачивает заряженные частицы (электроны), и возникает рассеянное излучение, которое в грубом приближении можно описать полученными ранее соотношениями для гармонического осциллятора, излучающего под действием вынуждающей силы (см. 1.5). В частности, сразу понятно, почему наиболее интенсивно рассеивается коротковолновое излучение. Известно, что интегральная интенсивность излучения диполя пропорциональна четвертой степени частоты (ш lA ). Следовательно, голубой свет рассеивается значительно сильнее красного (Хкр/ гол = 1,6). Индикатриса рассеяния похожа на распределение потока электромагнитной энергии в пространстве (см. 1.5), полученное на основе очевидного положения об отсутствии излучения в направлении движения осциллирующего электрона. [c.353]

В связи с обсуждением опытов Вавилова м ы обращали внимание на изменение числа поглощающих частиц под влиянием мощного падающего излучения. Однако это не единственный эффект, имеющий место при больших интенсивностях света. В 156 подчеркивалась тесная связь законов поглощения и дисперсии с представлением об атоме как о гармоническом осцилляторе, заряды которого возвращаются в положение равновесия квазиупругой силой. Если интенсивность света, а следовательно, и амплитуда колебаний зарядов достаточно велика, то возвращающая сила уже не будет иметь квазиупругий характер, и атом можно представить себе как ангармонический осциллятор. Из курса механики известно, что при раскачивании такого осциллятора синусоидальной внешней силой (частота ш) в его движении появляются составляющие, изменяющиеся с частотами, кратными со, — двойными, тройными и т. д. Пусть теперь собственная частота осциллятора соо. подсчитанная в гармоническом приближении, совпадает, например, с частотой 2ш. Энергия колебаний зарядов в этом случае особенно велика, она передается окружающей среде, т. е. возникает селективное поглощение света с частотой, равной со = /2 0o. Таким образом, спектр поглощения вещества, помимо линии с частотой о),,, должен содержать линии с частотами, равными /гСОо, а также /зй)(, и т. д. Коэффициент поглощения для этих линий, как легко понять, будет увеличиваться с ростом интенсивности света. [c.570]

Если амплитуды колебаний достаточно большие, то двухатомную молекулу уже нельзя моделировать гармоническим осциллятором. Колебания реальных молекул в большей или меньшей степени ангармоничны. Поэтому в данных условиях надо рассматривать общий вид потенциальной кривой Еп г) для щирокой области значений г (см. рис. 33.4,6). Хорошим приближением, описывающим такую потенциальную кривую, является формула Морзе [c.239]

Принцип действия СО2-Л. можно объяснить с помощью известной в квантовой электронике 4-уровневой схемы с учётом особенностей кинетики колебат. уровней молекул. Ниж. уровни колебат. мод в первом приближении можно рассматривать как расположенные эквидистантно по энергии состояния гармонических осцилляторов. При столкновениях одинаковых молекул переходы между уровнями одной моды имеют резонансный характер и происходят с частотой, как правило, значительно превышающей частоты накачки и столкновительной дезактивации. Вследствие этого устанавливается больцмановское распределение населённостей этих уровлей, характеризуемое колебат. темп-рой моды. Термодинамически неравновесный характер состояния молекул проявляется в отличии темп-р мод друг от друга и от темп-ры поступательных и вращат. степеней свободы молекул. Процессы преобразования энергии, в ходе к-рых образуется инверсна населённость, происходят между блоками уровней, принадлежащих к отд. модам. Энергии переходов между компонентами мультиплетов с отличающимся на единицу числом квантов деформационной моды не равны кванту этой моды, но различаются не слишком сильно. При темп-рах, характерных для большинства режимов работы СО -л., распределение населённостей уровней смешанных мод, пренебрегая неэквидистантностью, можно считать больцмановским с общей темп-рой. [c.442]

Заметим, что оригинальные таблицы термодинамических свойств в идеально-газовом состоянии фреонов-10, 11, 12, 13 и 14 опубликованы во многих работах, причем в подавляющем большинстве случаев расчеты выполняли в приближении к модели жесткий ротатор — гармонический осциллятор (ЖРГО), но по отличающимся спектроскопическим данным и фундаментальным постоянным [0.28, 0.29, 0.43, 0.45, 1.88, 2.31, 2.44 и др.]. Подробный аналитический обзор работ, опубликованных до 1978 г., сделан в [0.29]. Там же приведены таблицы Ср, Нт — [c.12]

Теплоемкость газообразного фреона-10 была измерена в 40-х годах (см. табл. 6), но в узком интервале температур. В некоторых случаях измерения оказались неточными (рис. 3). Поэтому при расчетах термодинамических свойств ССЦ предпочтение следует отдать калорическим данным, полученньш на основании обработки спектроскопических измерений. Термодинамические функции фреона-10 в идеально-газовом состоянии табулировали в нескольких работах [0.28 0.29 0.42 0.45 0.50 1 88 2.43]. В большинстве их расчет выполнен в приближении к модели жесткий ротатор — гармонический осциллятор, при- [c.28]

Хванг, Мартин [5.58] измеряли теплоемкость фреона-14 чистотой 99,7% в интервале 303—473 К при о) = 0,06—0,15 и оценили максимальную погрешность опытных данных в 1 %. Их результаты для с/ несколько выше рассчитанных в приближении к модели жесткий ротатор — гармонический осциллятор (см. рис. 50). [c.198]

В данной работе для исследования неравновесных эффектов и определения переносных свойств в многоатомных газах типа СОа использовался аппарат кинетической теории многотемпературной релаксации на основе обобщенного уравнения Больцмана с учетом поступательных, вращательных и колебательных степеней свободы, развитый ранее для двухатомных газов Ц]. Преимуществом такого подхода является то, что релаксационные уравнения для заселенностей колебательных уровней во всех приближениях получаются вместе с гидродинамической системой, структура которой зависит только от принятых предположений о расположении по порядку величины соответствующих времен или длин релаксации. Предполагалось, что поступательные и вращательные степени свободы релаксируют быстро, а колебательные — медленно, но с различными скоростями для разных мод колебаний, причем передача колебательной энергии в процессе соударений происходила по законам гармонического осциллятора. [c.105]

Полная статистическая сумма клатрата вычислялась в при-блилчении гармонического осциллятора—жесткого ротатора, причем предполагалось, что вибрационные движения молекул, их внутренние возбуждения и заторможенные вращения (либрации) описываются нормальнми колебаниями около положений равновесия. Результаты расчета свободной энергии образования клатратов представлены на рис. 28 [281]. Как и ожидалось, расчетные точки не ложатся на гладкую кривую, а выявляют максимумы и минилгумы, характеризующие относительную стабильность клатратов разного размера. Сплошной кривой показана зависимость работы образования капли воды от ее размера согласно капиллярному приближению. Для температуры вблизи точки замерзания воды видно удовлетворительное согласие клатратных данных с результатами классической теории. [c.93]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...