ЭНЕРГИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

Если принять классическое представление об основной частоте, го колебательной энергии гармонического осциллятора можно придать вид [c.88]

Пример 2. Колебательная составляющая внутренней энергии гармонического осциллятора определяется выражением [c.122]

Так как средняя кинетическая энергия гармонического осциллятора равна средней потенциальной, т. е. [c.33]

Следовательно, энергия гармонического осциллятора уменьшается со временем по экспоненциальному закону. Как видно из [c.34]

Элементарная порция энергии гармонического осциллятора прямо пропорциональна частоте колебания. [c.337]

Таким образом, <(/> = , и полная энергия гармонического осциллятора равна [c.216]

Из (145) мы видим, что восстанавливающая сила больше для отрицательных значений X, чем для положительных. Поэтому неудивительно, что перемещение, соответствующее (155) и выражающее среднее положение колеблющейся частицы, будет соответствовать положительному направлению оси х, в котором восстанавливающая сила слабее. Смещение (155) пропорционально постоянной ангармоничности S и квадрату амплитуды колебания. Мы знаем из полученных ранее результатов, что энергия гармонического осциллятора пропорциональна А . Из статистической физики (т. V) следует, что средняя энергия классического гармонического осциллятора в тепловом равновесии равна kl ), где k— постоянная Больцмана и Т—абсолютная температура. Если это верно, то приближенно мы можем считать, что [c.239]

По классической теории колебательная энергия молекулы может принимать любые значения. Квантовая теория приводит к другому выводу энергия гармонического осциллятора квантована и определяется следующей формулой [c.239]

Получить выражение для свободной энергии гармонических осцилляторов. [c.227]

Переходя к квантовомеханическому описанию, представим полную энергию кристалла как сумму энергий гармонических осцилляторов с частотами V > равных [c.261]

Плотность излучения черного тела в единичном частотном интервале p(v) можно записать как произведение плотности энергии электромагнитных мод свободного пространства (с множителем 2, учитывающим случайную поляризацию) на среднюю энергию гармонического осциллятора [c.228]

Для точки плавления потенциальную энергию гармонического осциллятора можно представить так [c.67]

Исходя из распределения Максвелла — Больцмана для чисел заполнения [формула (9.3.16)], покажите, что если уровни энергии гармонического осциллятора могут принимать только значения пЛу, то распределение чисел заполнения является распределением Бозе — Эйнштейна, и определите среднее значение числа заполнения. [c.495]

Непосредственным вычислением показать, что в соответствии с теоремой о вириале средние за период значения кинетической и потенциальной энергии гармонического осциллятора равны. [c.65]

Рис. 8.1. Траектория, соответствующая ш-му состоянию данной энергии гармонического осциллятора, в подходящим образом выбранном масштабе пред-ставляется в фазовом пространстве окружностью с радиусом 1/2).

В данном вычислении мы не предполагаем какой-либо конкретной формы резонатора. Оно справедливо для любого резонатора, допускающего такое модовое разложение. Мы покажем, что полная энергия поля в резонаторе является суммой энергий гармонических осцилляторов, отвечающих отдельным модам. Квантование этих осцилляторов проводится точно так же, как это делается для механических осцилляторов. Такая процедура ведёт к квантованию поля излучения. Ещё раз подчеркнём, что квантование возникает в зависящей от времени части векторного потенциала. [c.303]

Квантование поля излучения. Энергия поля излучения в резонаторе записывается как сумма энергий отдельных мод. Энергия отдельной моды имеет вид энергии гармонического осциллятора, который описывается обобщённой координатой д/. Вопрос теперь в том, что определяет амплитуду д/ [c.306]

Собственное состояние данной энергии гармонический осциллятор, Вигнера функция 131 ---— — —, контурный интеграл 125 [c.755]

Первый член в (1.8) представляет собой энергию невозмущенной жидкости, второй — распадается на сумму членов, каждый из которых есть не что иное, как энергия гармонического осциллятора с частотой где [c.18]

Соотношение (9.28) не учитывает, например, такие эффекты, как влияние колебания на вращение. В результате этого предположения мы можем рассматривать энергию различных форм движения двухатомной молекулы отдельно, то есть энергии поступательного движения, вращений, колебаний и электронных уровней двухатомной молекулы представляют собой кинетическую энергию точечной массы, кинетическую и потенциальную энергии гармонического осциллятора, энергию жесткого ротатора и энергию распределения орбитальных электронов неподвижной молекулы, причем все частицы имеют массы, связанные, конечно, с массой двухатомной молекулы. Как будет показано ниже, каждая из этих форм энергии при использовании квантовой теории может рассматриваться отдельно для получения функций распределения. Подставляя (9.28) в (9.26), получаем [c.333]

Правилами отбора разрешены переходы между уровнями энергии гармонического осциллятора, удовлетворяющими условию Д1/=Чг1, причем для молекулы, представленной набором гармонических осцилляторов, может происходить одновременно переход только в одном из осцилляторов. [c.10]

Оценим очень грубо частоту колебаний юо. Потенциальная энергия, действующая между соседними ионами кристалла, порядка еУ№о). гое е — заряд иона, а <1 — расстояние между соседними ионами в кристалле (так называемая постоянная решетки). При изменении на малую величину характеризующую отклонение иона от положения равновесия, потенциальная энергия приобретает вид е /[ е1+1)ео. Разлагая эту величину по степеням учтем, что линейный по член выпадает вследствие равновесия ионов в кристаллической решетке (он характеризует силу в положении равновесия, равную нулю). Следующий, квадратичный по член имеет порядок величины Приравнивая его к колебательной энергии гармонического осциллятора по порядку величины, мы получаем оценку для характерной частоты, (Оо колебаний ионов в узлах решетки [c.71]

Наполните прямоугольный сосуд водой и слегка толкните его. Еще лучше поместить сосуд на горизонтальную поверхность, наполнить его до краев и затем долить так, чтобы вода вздулась (поднялась) над краями. Слегка толкните сосуд. После того, как более высокие моды затухнут, можно наблюдать моду омывания , которая затухает очень медленно. (Это — гравитационная мода, несмотря на то что мы используем поверхностное натяжение, чтобы удержать воду над стенками этим затухание сводится к минимуму.) Поверхность воды остается практически плоской (после того как более высокие моды затухнут). Предположим, что мода все время плоская горизонтальная — в положении равновесия и наклонная — в крайних положениях. Пусть ось х совпадает с горизонтальным направлением, а ось у направлена вверх. Пусть х и у — горизонтальная и вертикальная координаты центра тяжести воды в сосуде с равновесными значениями х и i/o- Найдите зависимость у—i/o) от х—х ). (Удобной переменной может служить уровень воды на одном конце сосуда, отсчитанный от равновесного уровня.) Увеличение потенциальной энергии всего объема воды равно mg (у—yd). Вы обнаружите, что (у—i/o) пропорционально (х—Хо) . Таким образом, потенциальная энергия центра тяжести, подобно потенциальной энергии гармонического осциллятора, пропорциональна квадрату смещения от равновесного положения. Используйте второй закон Ньютона, предполагая, что вся масса воды от сосредоточена в центре тяжести. Найдите формулу для частоты. [c.56]

Энергия гармонического осциллятора с частотой определяется формулой [c.243]

Квантованная энергия гармонического осциллятора равна [c.384]

Гипотеза Планка состоит в том, что излучение и поглощение света веществом происходит не непрерывно, а конечными порциями, называемыми квантами света или квантами энергии. Получим формулу Планка тем же методом, который применялся при выводе формулы Рэлея — Джинса. Тогда гипотезу Планка удобно взять в следующей форме энергия гармонического осциллятора может принимать не произвольные, а только избранные значения, образующие дискретный ряд О, Й о> 2й о, З о. где определенная величина, зависящая только от собственной частоты ю осциллятора. Здесь под осциллятором понимается не только частица, могущая совершать гармонические свободные колебания, но, например, и стоячая волна определенной частоты в полости. [c.698]

Сравнение этого гамильтониана с хорошо известным выражением для энергии гармонического осциллятора позволяет заключить, что а Од есть число фононов, принадлежащих я-й моде. [c.459]

Энергия гармонического осциллятора [c.121]

Решение. Так как средняя энергия гармонического осциллятора (без учета энергии нулевых колебаний) в случае б > йи) (классический предел, соответствующий случаю малых частот) и в случае б < йо> (случай высоких частот — существенно квантовый случай) равна [c.281]

Пример, Энтропия гармонического осциллятора. Тепловое среднее значение энергии гармонического осциллятора было рассмотрено в гл. 6, На нашем теперешнем языке величина, определенная соотношением (6.72), равна произведению заселенности (я(е)) на энергию е в случае заселенности, равной единице / = е(га(е)), где е = Йсо. Заселенность (/г(е)) выражается через распределение Планка, так что, как и в (6,72), [c.210]

В приближении т > е мы получаем классический результат С/ т, в котором Угт обусловливается кинетической энергией и /гТ — потенциальной. Такое точное разделение энергии гармонического осциллятора служит примером равного распределения энергии. Оно не осуществляется в случае ангармонического осциллятора. [c.210]

Задача 18.4. Свободная энергия гармонического осциллятора. [c.248]

Умножая это выражение на среднюю энергию гармонического осциллятора [c.178]

Представим себе замкнутую полость объемом V с идеально отражающими стенками, нагретыми до температуры Т, в которой создан вакуум. Внутри полости существует электромагнитное поле. В результате отражений от стенок в полости образуется система бесконечно большого числа стоячих волн различной частоты и разного направления. Каждая такая стоячая волна представляет собой элементарное состояние электромагнитного поля. Теорема о равномерном распределении энергии утверждает, что и в этом случае при равновесии между стенками полости и электромагнитным излучением на каждую стоячую волну должна приходиться средняя энергия, равная 1гТ, где к — постоянная Больцмана. При этом, подобно то.му как средняя энергия гармонического осциллятора складывается из средней кинетической энергии, равной кТ 2, и средней потенциальной энергии, также равной кТ12, в случае электромагнитных стоячих волн полная средняя энергия кТ складывается из средних энергий электрического и магнитного полей, равных в отдельности кТ 2 каждая. [c.138]

Пример 27.1. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии гармонического осциллятора, находящегося в однородном электрическом поле напряжен-Н0С1И i. [c.173]

Если адиабатический гамильтониан описьтается выражением (6.8), то собственными функциями и собственными значениями (6.10) будут функции и энергии гармонического осциллятора. [c.71]

Это и есть зависимость иотенциальной энергии гармонического осциллятора от межъядериого расстояния на рис. 1.9 она обозначена точками. Если обозначить смещение атомов двухатомной молекулы из положения равновесия через д = г—Ге, уравнение [c.31]

Современиая квантовая механика дает для уровней энергии гармонического осциллятора значения е =(л- - /г) йы. [c.430]

Следовательно, энергия рещетки является просто суммой энергий гармонических осцилляторов. Сумма по всем п означает суммирование по всем наборам колебательных квантовых чисел рещетки. [c.360]

В 26 было показано, что энергия свободного движения электрона в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, квантуется подобно энергии гармонического осциллятора с ларморовской частотой Юв = еВ1тс. При некоторых условиях такое квантование должно наблюдаться и для эл тро-нов проводимости, имеющих энергию, близкую к энергии Ферми, в кристалле, находящемся в сильном однородном постоянном магнитном поле. [c.173]

Прежде чем обсуждать формулу Рэлея — Джинса, заметим, что в случае полости, заполненной изотропной средой, число стоячих волн будет определяться прежними формулами (П7.5) и (117.6), если только в них величину с заменить скоростью света и в рассматриваемой среде (предполагается, что среда изотропная). Отсюда следует, что числа ХяйХъ одном и том же интервале частоты, а с ними и функция и пропорциональны с /о , т. е. кубу показателя преломления среды п. Но это есть закон Кирхгофа — Клаузиуса, доказанный в 114. Вывод справедлив при более общих предположениях, чем это сделано в тексте. Нет необходимости ссылаться на классическую теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Достаточно, чтобы средняя энергия гармонического осциллятора была функцией только частоты со, как это имеет место в квантовой теории. [c.696]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...