Круги Мора

На АВ как на диаметре строим окружность с центром в точке С. Построенный круг носит название круга напряжений или круга Мора. [c.167]

Заметим, что одноосное напряженное состояние может рассматриваться как частный случай плоского. При этом круг напряжений будет проходить через начало координат (рис. 162). Наконец, в случае равномерного всестороннего растяжения (а = с ) или сжатия ((Та = 0з) в плоскости круг Мора превращается в точку. Тогда, как уже указывалось ранее, все площадки будут главными. [c.170]

И касательные напряжения на такой площадке не зависят от и целиком определяются величинами Стз и наклоном площадки. Напряженное состояние на таких площадках может быть изображено графически при помощи круга Мора L/ (рис. 166), построенного на главных напряжениях и 03. Совокупность всех точек этой окружности описывает напряженное состояние всех сечений, проведенных в элементе параллельно о . [c.173]

Критерий Мора основан на предположении, что прочность материалов в общем случае напряженного состояния зависит главным образом от величины и знака наибольшего Стх и наименьшего сгз главных напряжений. Среднее по величине главное напряжение, как указывалось выше, лишь незначительно влияет на прочность. Опыты с медными, никелевыми и чугунными трубками показывают, что погрешность, связанная с тем, что не учитывается а , не превышает 12—15%. Исходя из этого предположения, можно любое напряженное состояние изобразить одним кругом Мора, построенным на главных напряжениях Oj и Стз. [c.187]

Показанная на рис. 280 окружность построена для семейства площадок, параллельных вектору o . Аналогичным образом можно построить круги Мора и для семейств площадок, параллельных векторам и 93. В этих случаях круги строятся соответственно на отрезках 03 — 03 и oj — 0.3, как на диаметрах. Таким образом может быть построено три круга Мора. Поскольку знак т не оговаривается, ограничиваются обычно построением только верхней половины круга (рис. 281). [c.242]

Можно показать, что площадкам общего положения соответствуют на плоскости (а, х) точки, лежащие внутри заштрихованного криволинейного треугольника B D, образованного тремя совмещенными кругами Мора (рис. 282). Имеются также и методы определения напряжений в соответствующих площадках. [c.242]

В предложенном примере одна из главных площадок и одно из главных напряжений заданы. Следовательно, не прибегая к решению кубического уравнения (7.7), можно остальные главные напряжения определить из круга Мора для семейства площадок, параллельных оси X (рис. 284). [c.244]

Из сопоставления этих выражений с выражениями (7.7) и (7.8) видно, что аналогом нормального напряжения здесь является линейная деформация, а аналогом касательного напряжения—половина угла сдвига в соответствующей плоскости. Продолжая эту аналогию, можно, подобно кругам Мора в напряжениях, построить круги Мора в деформациях. [c.251]

Поступая таким образом и дальше, получим семейство кругов Мора для предельных напряженных состояний. Вычерчиваем их общую огибающую, Примем, что эта огибающая является единственной, независимо от величин промежуточных главных напряжений а . Это положение является основным допущением в излагаемой теории. [c.266]

Форма огибающей предельных кругов Мора зависит от свойств материала и является его механической характеристикой, такой же, как, например, диаграмма растяжения. Если огибающая предельных кругов для материала дана, можно при любом заданном напряженном [c.266]

Построим круг Мора для некоторого напряженного состояния, заданного наибольшим и наименьшим главными напряжениями 0[ и (рис. 302). Если все компоненты этого напряженного состояния увеличить в п раз (где п—коэффициент запаса), то круг станет предельным. Напряжения з и за примут значения з и з [c.267]

Для полученного напряженного состояния находим главные напряжения. Поскольку одна из главных площадок известна, пользуемся построением круга Мора (рис. 306), откуда получаем [c.271]

При растяжении Ti - а, а2 - = 0 и круг Мора касается начала координат слева. При сжатии Tj = 02 = О, V3 = -а и круг Мора касается начала координат справа. [c.48]

Построить круги Мора для трех случаев плоского напряженного состояния 1) 011 0, 033 =-0, 022 = 012 = 023 = 031 = 0 2) 011 022 = 033 = 012 = [c.62]

По аналогии с кругами Мора в теории напряжений можно построить крути Мора для деформаций и показать, что максимальный сдвиг [c.69]

Используя первое из уравнений (2.20), вытекающих из кругов Мора, построенных для случая двухосного нафужения (рис. 2.12) [c.115]

Здесь х = dx/dOQ — угол наклона предельной огибающей х = /( q) к предельным кругам Мора — соответственно для семейств и 2 [c.117]

Для случаев, представленных на рис. 3.12,а,б, согласно /77/, предельная огибающая является касательной к кругам Мора в точках Aj, положение которых на контуре круга определяется видом напряженного состояния п , а следовательно, и характером нагружения я (так как По = 2и - 1). Например, для случая плоской деформации По = О, = 0,5 имеем т = О (огибающая параллельна оси s), и выражение (3.23) преобразуется в известное соотношение, полученное в работе /84/. При п <0,5, когда точка Л, находится левее точки 5, при > 0,5, когда А/ правее Лд 5, характеристическое соотношение имеет вид [c.118]

Используя полученные характеристические соотношения (3. 25), параметрические уравнения линий скольжения (3.21) и (3.22), а также соотношения (3.20), вытекающие из кругов Мора, были получены выражения для определения напряжений и О . в мягкой прослойке в условиях ее двухосного нагружения [c.119]

К. О. Мор (1835—1918) — немецкий ученый в области сопротивления материалов и строительной механики, создатель одной из теорий прочности, графических методов определения напряжений при сложном напряженном состоянии (круг Мора) и т. д. [c.272]

Экстремальные касательные напряжения. Круг Мора [c.12]

Приведем теперь геометрическую интерпретацию зависимостей (6), предложенную Отто Мором и называемую кругом напряжений или кругом Мора. Будем рассматривать напряжения а , т как координаты точки М, которую назовем изображающей точкой площадки, определяемой углом а. [c.13]

Каждой наклонной площадке соответствует своя точка М. на окружности. Их взаимосвязь удобно установить с помощью точки А, условно называемой полюсом круга Мора. Луч, проведенный из точки А под углом а, в пересечении с окружностью дает изображающую точку М (ст , т ). В частности, точки 1 а 2 соответствуют главным площадкам и напряжениям Oi и 02- [c.14]

На рис. 13 показано построение круга Мора по заданным неглавным напряжениям. В осях а, т строятся точки Ki т ху) и /< 2(сту,Тузе), отвечающие, соответственно, вертикальной и горизонтальной площадкам с заданными напряжениями ху, у, Т ух (при этом считается, что Худ. = —Тд-у). Соединив точки Ki и /Сг, получаем центр О круга. Соответствие между любой наклонной площадкой и ее изобра- [c.14]

В процессе нагружения напряженное состояние меняется и, соответственно, меняются круги Мора. Допустим, что мы можем задавать произвольные напряженные состояния и испытательная машина позволяет, например, увеличивать пропорционально главные напряжения. Пусть некото- [c.66]

Если известна предельная кривая, то произвести проверку прочности можно следуюш,им образом. В наиболее опасной области детали определяются главные напряжения Oi и Од. Для этих напряжений строится круг Мора. Прочность обеспечена в том случае, когда этот круг не пересе- [c.67]

Для практических расчетов небольшой участок огибающей заменяют прямой, касающейся предельных кругов Мора для растяжения и сжатия. Покажем, что для всевозможных кругов -Мора, касающихся прямолинейной огибаю- [c.68]

Плош,адке А соответствует точка А круга, а площадке В — точка В. По двум точкам строится круг Мора. Главным плош,адкам соответствуют точки круга 1 и 3, а соответствующие им главные напряжения будут [c.82]

Для каждого материала, по Мору, можно указать некоторую предельную характеристику, которая представляет собой огибающую предельных кругов Мора в системе осей а, т. Напряжение Стг, по Мору, в учет не принимается, и условия прочности характе- [c.87]

Возникает вопрос взаимного расположения этих предельных кривых. Для материалов, которые мы традиционно относим к категории пластичных, горизонтальная прямая (рис. 57, а) в правой части диаграммы располагается ниже предельной огибающей по разрушению. И это легко понять. Обычное испытание образца на растяжение отображается кругом Мора. По мере увеличения напряжения а круг увеличивается, как это показано на рис. 57, а, и -когда напряжение а достигнет предела текучести, круг Мора касается предельной прямой, отражающей возникновение пластических деформаций. Дальнейшее увеличение напряжения а приводит к разрушению образца. На диаграмме это отмечается тем, что круг Мора соприкасается с предельной огибающей по разрушению. Все это — для материала пластичного. [c.89]

На рис. 57, 6 показана та же самая картина, но для материала, который мы по обычным представлениям считаем хрупким. Для него предельная огибающая по разрушению располагается в правой части диаграммы ниже прямой пластичности. И при увеличении напряжения ст круг Мора [c.90]

Посмотрим теперь, что будет, если на растягивающее напряжение мы наложим всестороннее сжатие. Пластич -ный материал, как легко увидеть из диаграммы (см. рис. 57, а), полностью сохраняет при этом свойство пластичности. Сдвиг круга Мора влево ничего не меняет. При увеличении диаметра круг касается горизонтальной ограничивающей прямой. [c.91]

На рисунке изображен круг Мора. Известно, что каждая точка, лежащая на его окружности, соответствует некоторой наклонной площадке. Например, точка / соответствует главной площадке с напряжением Oj = Омакс- Точка К соответствует вертикальной исходной площадке, точка Ki — горизонтальной. Построить площадку и указать действующие на ней напряжения, соответствующие полюсной точке А ау, т). [c.49]

Построенный круг Мора полностью описывает напряженное состояние элемента, изображенного на рис. 159. Если менять угол а в пределах от —90 до +90°, то наклонные площадки (а) и (Р) займут последовательно все возможные положения, а точки и Оц опишут полный круг. В частности, при а = О, когда грани е/ и ет станут главными площадками и по ним будут действовать те же напряжения, что и на гранях элемента abed, точка D совпадет с А (рис. 160), а Dji — с В. [c.169]

Выберем iiej OTopoe напряженное состояние и будем одновременно увеличивать его компоненты. Рано или поздно это напряженное сосюяние станет предельным. Образец либо разрушится, либо в нем появятся пластические. деформации. Вычертим для предельного состояния на плоскости а, т наибольший из трех кругов Мора (круг / рис. 300). Будем считать, что предельное состояние не зависит от величины a.j. Далее, на образце того же материала производим испытание при другом напряженном состоянии. (]нова путем увеличения компонентов добиваемся того, что напряженное состояние станет предельным. На диаграмме (рис. 300) вычерчиваем соответствующий круг (круг 2). [c.265]

Этот увеличенный (предельный) круг Мора касается предельной оги-бак 1щей в точке С. Кроме того, согласно условию пропорционального увеличения компонентов он будет касаться продолжения луча ОА в точке В. Из точки С проводим горизонтальную прямую С ЕО н составляем пропорцию [c.267]

Допустим, что в образце задано другое напряженное состояние (круг 2). Снова, увеличивая компоненты напряжения, мы в конечном итоге получим круг 2, который будет соответствовать разрушению. Проводя такие эксперимен1ы при произвольных напряженных состояниях, мы получим семейство кругов Мора для предельных состояний, при которых происходит разрушение. Проведем огибаюш,ую этих кругов. Уравнение огибаюш,ей т = / (а) представляет собой условие разрушения. [c.67]

При выводе условий (2) и (3) мы заменили небольшой участок огибающей прямой линией, касающейся предельных кругов Мора для растяжения и сжатия. Для некоторых материалов такая замена является хорошей аппроксимацией эксиериментальных данных для более широкого диапазона напряженных состояний. Для сталей и некоторых магниевых сплавов коэффициент k близок к 1, Для серого чугуна k = 0,25. (Для большинства горных пород йредел прочности при сжатии в 10—50 раз превышает значение предела прочности при растяжении и поэтому для них k мало—от 1/10 до 1/50. [c.70]

Мы имеем двухосное напряженное состояние. Одна из главных плош,адок нам известна. Соответствуюш,ее ей главное напряжение равно нулю (рис. 52). Чтобы найти два других главных напряжения, мы построим круг Мора. [c.82]

Если для некоторого напряженного состояния мы построим наибольший круг Мора (рис. 56), то, сопоставляя его положение по отношению к предельной огибаюш,ей, мы можем вынести суждение о степени опасности этого напряженного состояния. Если круг Мора располагается ниже предельной огибаюш,ей, мы считаем, что условие прочности соблюдается если же круг пересекает кривую, условие прочности не соблюдается. Предельная огибающая обычно аппроксимируется прямой, касательной к двум предельным кругам растяжения и сжатия. А условие касания этой прямой записывается для круга Мора в виде Oj — k s = [c.87]

Теперь представим себе, что мы ведем испытание не при одноосном, а при трехосном напряженном состоянии. Примем для простоты, что насбычное растяжение у нас накладывается равномерное всестороннее растяжение, либо всестороннее сжатие, т. е. наложена шаровая составляющая тензора. Тогда для пластичного материала картина будет выглядеть следующим образом. При наложении всестороннего растяжения круг Мора (рис. 57, а), не меняя своего диаметра, сместится вправо и при дополнительном увеличении напряжения а он сначала коснется предельной кривой разрушения. Это означает, что произойдет хрупкий разрыв. Пластичный материал проявляет свойство хрупкости. [c.90]

Сопротивление материалов (1970) -- [ c.241 ]

Машиностроение Энциклопедия Т I-3 Кн 2 (1995) -- [ c.176 , c.177 ]

Теория упругости (1970) -- [ c.30 ]

Механические свойства металлов Издание 3 (1974) -- [ c.134 ]

Курс теории упругости Изд2 (1947) -- [ c.59 , c.62 , c.416 ]

Пластичность Ч.1 (1948) -- [ c.23 , c.41 ]

Сопротивление материалов (1962) -- [ c.75 , c.215 , c.403 , c.404 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...