Лагранжево представление

При лагранжевом представлении движения жидкости координаты центра тяжести каждой частицы являются функциями времени t и начального положения частицы а, Ь, с, т. е. [c.666]

Ниже мы коротко обсудим лагранжево представление движения и рассмотрим законы сохранения, которые вытекают из (2.76) в тех случаях, когда на это выражение накладывается требование сохранения инвариантности при различных преобразованиях, при этом учитывается наличие объемных сил [c.151]

Общие теоремы динамики системы материальных точек теоремы количеств движения и моментов количеств движения, а также теорема об изменении кинетической энергии имеют широкое применение при изучении движений сплошных сред и, в частности, жидкостей и газов. Они были уже применены в предыдущих параграфах при выводе основных уравнений механики сплошных сред, причем использовалось лагранжево представление движения. Остановимся на некотором своеобразии применения этих теорем, связанном с эйлеровым представлением движения. [c.75]

Ири лагранжевом представлении движения (31) ускорение индивидуальной частицы легко находится повторным дифференцированием по времени согласно формулам (32). Следуя Эйлеру, необходимо найти распределение в пространстве ускорений всех частиц жидкости, т. е. поле ускорений для этого надо объединить лагранжев и эйлеров. методы, иными словами, с одной стороны, следить за индивидуальной жилкой частицей, с другой, принять во внимание наличие заданного поля скоростей, т. е. распределение скоростей в пространстве, в котором движется точка. [c.53]

Следовательно, лагранжево представление в принципе может быть получено из эйлерова представления на основании уравнений (3). [c.68]

Лагранж, теорема — 89 Лагранжево представление 66 Лаплас, диференциальное уравнение — 140 [c.222]

Если любое скалярное, векторное или тензорное свойство сплошной среды описывается функцией координат и времени, и если в лагранжевом представлении R = R(a, ), то полная производная по времени от этой величины имеет вид [c.53]

Термины движение и течение используются при описании мгновенного или непрерывного изменения конфигурации сплошной среды. Иногда словом течение называют движение, приводяш,ее к остаточной деформации, как, например, в теории пластичности. Однако при изучении жидкостей это слово означает непрерывное движение. Как было указано в (3.14) и (3.15), движение некоторого объема сплошной среды можно выразить либо в материальных координатах (лагранжево представление) [c.157]

Вообще, если Р,-,-... — любое скалярное, векторное или тензорное свойство континуума, которое можно описать локальной функцией координат, и если в лагранжевом представлении [c.158]

Таким образом, принцип Д Аламбера в лагранжевом представлении имеет вид [c.445]

Чтобы получить принцип Гамильтона — Остроградского в лагранжевом представлении, проинтегрируем (2.218) по интервалу времени рр 2]> предполагая, что на концах интервала возможные смещения всех частиц обращаются в нуль, т. е 8х. = 5X. = 0. [c.445]

Чтобы сформулировать принцип Гамильтона — Остро градского в лагранжевом представлении для невязкой среды в поле потенциальных массовых сил, исходим из (2.218) и (2.219). Имеем [c.455]

Здесь - скорость разрыва (лагранжева) в направлении нормали, Пк - компоненты вектора нормали (в лагранжевом представлении), Ф = Ф щк,8) - упругий потенциал среды, Щк = дю /дхк, гу, - компоненты вектора перемещения. Последняя группа соотнощений выражает непрерывность производных вектора перемещения, взятых вдоль направлений касательных к поверхности разрыва, поэтому г принимает все три значения, но только для двух значений к эти соотнощения независимы. [c.131]

Дифференциальное уравнение движения элемента тела в лагранжевом представлении имеет вид [c.368]

Решение Исходные уравнения гидродинамики в лагранжевом представлении имеют ви 1 [c.125]

Краевая задача для моделирования развитой динамической деформации и разрушения металлов включает решение классических уравнений механики деформируемого твердого тела (динамических и кинематических уравнений, а также определяющих соотношений), дополненных неклассическими соотношениями, описывающими процесс разрушения металла. Предлагается приближенное решение указанной краевой задачи в два этапа. На первом этапе для произвольного и фиксированного момента времени применяются изохронные вариационные принципы и прямые методы вариационного исчисления. Находятся с точностью до варьируемых параметров поля скоростей течения, напряжений и температур. На втором этапе решается система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно варьируемых параметров. Процесс решения выполняется до момента образования макротрещины. Решение возобновляется после введения новых граничных условий на поверхностях трещины. Обоснованность этого метода приближенного решения установлена соответствующими теоремами. При решении подразумевается лагранжево представление о движении. [c.4]

Попытавшись изобразить все множество траекторий в лагранжевом пространстве конфигураций, мы получим безнадежно запутанное переплетение линий. Движение может начинаться из любой точки пространства конфигураций в произвольном направлении и с произвольной начальной скоростью. Невозможно получить какое-либо упорядоченное представление всех этих линий. Обратимся теперь к фазовому пространству уравнений Гамильтона — уравнений не второго, а первого порядка. При заданном положении С-точкн эти уравнения определяют значение ее скорости. Движение может начаться в любой точке фазового пространства, но задание одной точки Р однозначно определяет всю траекторию. Выражаясь аналитическим языком, можно сказать, что для полного решения канонических уравнений [c.203]

Лагранжева форма уравнений движения в теории удара. Уравнения движения можно получить из функции кинетической энергии Т, выраженной через oi, (О27 > й, вместо того чтобы выводить их из функции SR, представленной через разности ( oi — сою), (сог — < 2о)> > м)-Функцию Т, равную [c.257]

Отметим, что при решении задач, связанных с упругонласти-ческим течением, необходимо следить за историей частицы, чтобы выявить переход из упругого в пластический режим деформации. С этой точки зрения лагранжево представление обладает определенным преимуществом. Кроме того, при решении задач в лагранжевых переменных проще задание граничных условий на [c.145]

Далее используются следующие основные упрощающие предположения 1) параметр = го/А, мал в сравнении с единицей 2) число Рейнольдса, посчитанное по размеру го и характерной скорости Го/Т, по порядку величины не превосходит единицы 3) жидкость ньютоновская 4) функции и известны (например, из прямых наблюдений над биологическими объектами) в эйлеровом или лагранжевом представлении. [c.643]

Как в эйлеровом, так и в лагранжевом представлении движения справедлива теорема Коши — Гельмгольца скорость в малой окрестности выбранной точки складывается из суммы скоростей поступательного и вращательного движения как жесткого целого, а также скорости, связанной с деформацией окрестности рассматриваемой точки. [c.16]

Рассматриваемый здесь прршцип виртуальных скоростей эквивалентен принципу виртуальных работ или виртуальных перемещений, но для больших деформаций использование принципа виртуальных скоростей является более удобным, так как, во-первых, компоненты тензора скоростей деформаций линейно зависят от компонент вектора скорости, а компоненты тензора деформаций нелинейно зависят от перемещений, во-вторых, принцип виртуальных скоростей позволяет характеризовать движение в произвольный момент времени t в терминах как лагранжевых, так и эйлеровых переменных, а принцип виртуальных перемещений всегда предполагает лагранжево представление движения относптельно некоторого начального состояния. [c.19]

Лагранжево представление (66). 34. Эйлерово представление и его связь с методом Лагранжа (68). 35. Линии тока и траектории установившиеся- явления движения (69). 36. Линии отмеченных частиц (69). [c.7]

Если теперь же1ательно перейти опять к лагранжеву представлению и определить судьбу отдельных частиц жидкости, то следует взять для каждой отдельной частицы равенства [c.68]

ЖИДКОСТИ, подчиняющиеся этому условлю, должны удовлетворять, согласно лагранжеву представлению, уравнению [c.70]

Значительно сложнее будут соотношения в сдучае неоднородных жидкостей, например при мвлениях колебания расположенных друг над другом растворов соли неодинаковой концентрации. Здесь в качестве новой переменной появляется степень концентрации, которая к тому же связана с определенной частицей р = /(р , а, 6, с). Рассмотрение таких движений жидкостей приводит к основному гидродинамическому уравнению в лагранжевом представлении. Для полноты выведем и это уравнение. Замечая, что субстанциальная производная скорости в ла-гранжевом представлении имеет вид получаем из основного урав- [c.100]

Покажем, что в рассматриваемом случае решение исходных уравнений при лагранжевом представлении совпадает с решением в эйлеровом представлении [1. [c.182]

Поскольку классическая теория деформаций, напряжений и уравнений движения Коши—Навье—Пуассона, а также эйлерово и лагранжево представления движения сплошной среды сохраняются в основах МСС и в наше время и в будущем, в гл. I учебника приводится статистическое физическое обоснование П0НЯТ41Я материального континуума п функции поля в нем, причем на наиболее далекой от непрерывной сплошной среды статистической механической системе материальных точек. Излагаемые позже в гл. II и III основы МСС аксиоматические понятия скорости движения, плотностей массы и энергии, энтропии и количества тепла в гл. I возникают как статистические понятия, получают естественную статистическую трактовку. Этот результат служит еще одним основанием для применения методов МСС к весьма сложным системам тел. [c.4]

Дано пространственное (эйлерово) описание движения континуума XI = Х1б + Хз (е — 1), лгг = Хз (е — е ) + Х , х = = Хз- Доказать, что якобиан J для такого движения отличен от нуля, и найти материальное (лагранжево) представление этого движения, обращая уравнения для перемещений. [c.167]

Согласно (4.14), г,= aiii/di =. 0Х//Й, и компоненты скорости в лагранжевом представлении будут равны v, = О, а = (Ха + Хд)/2 — (Х — Хд), 2, Vg — e (Ха -Ь Хз)/2 + (Ха — Хз)/2. С учетом соотношений Ха -f- Х = = е (ха + Хз) и Ха — Х3 = (Ха — Хд), эти выражения для компонент сводятся к = О, Га = Хз, ug = Ха. С другой стороны, если движение задано в эйлеровых переменных, то из формулы (4-15) находим [c.168]

Описание деформаций можно проводить в эйлеровом и в лагранжевом представлении, которые непосредственно связаны с методами Эйлера и Лагранжа описания движения среды. [c.60]

Для изучения одномерных движений можно с успехом использовать и лагранжево представление. При этом искомыми функциями являются координата частицы х и две термодинамические переменные, например и р, а независимыми переменными служат время 1 и лаг-ранжева координата частицы за которую можно принягь, в частности, начальную координату частицы х . Скорость частицы и определяется при этом формулой [c.151]

Аналогично плоскости течения х, t при эйлеровом подходе, при лагранжевом представлении можно ввести плоскость течения t. Траекториями частиц в этой плоскости будут прямые 5 = onst. [c.152]

Однотемпературная среда. Уравнения сохранения. Система уравнений сохранения, записанная в лагранжевом представлении, имеет следующий вид [c.161]

В теории устойчивости трехмерных твердых тел, в отличие от постановки Саусвелла, которая предполагает лагранжево представление о деформировании при потере устойчивости, определилась постановка Лейбензона — Ишлинского, в которой компоненты возмущенного состояния относятся к первоначальным координатам. Рассматриваемые в настоящей монографии методы линеаризации по параметру также относят возмущенное состояние к первоначальным координатам, поэтому различные решения, полученные в теории устойчивости в постановке Лейбензона — Ишлинского, могут быть использованы для решения упругопластических задач и наоборот. В связи с этим отметим цикл работ по теории устойчивости [1,21-28, 31, 33, 40]. [c.9]

Легко написать уравнение Лиувилля для системы (1.26), которое будет определять плотность вероятностей в лагранжевом представлении. Можно показать, что и в общем случае удается непосредственно получить уравнение Лиувилля для плотности вероятностей W (д, р. Pit, X, t) в эйлеровых переменных [68]. При этом необходимо ввести п п 1)/2 дополнительных переменных Piii = p ti = d q/dxidxit, описывающих кривизну поверхности, ортогональной к характеристикам ас, р. Схема вывода такова. [c.161]

Анализ деформаций связан с установлением зависимостей между положениями каждой Частицы сплошной среды в текущем и в начальном состояниях. Он является общим для всех моделей сплошных сред. Однако наиболее удобные формулировки его для разных сред различны. Если среда такова, что начальные относительные положения частиц мало влияют или вообще не влияют на возникающие в дальнейшем усилия внутри тела, то удобно исцоль-зовать текущие координаты для каждой частицы. Если же среда такова, что начальные относительные положения частиц влияют на внутренние усилия всюду в т ле в более поздние моменты времени, то удобно применять начальные координаты., каждой частицы. Эти два подхода называются соответственно эйлеровым и лагранжевым. Упругие среды относятся к последней категории, потому что добавочные усилия, возникающие между любыми частицами, зависят от разности между их начальным и текущим относительными расстояниями. Поэтому цочти всюду в этой, книге мы будем использовать лагранжево представление. Независимыми переменными будут начальные координаты каждой частицы и время. [c.11]

Бреди [1967] рассчитал невязкое течение со свободной поверхностью. Бреннен [1971] рассматривал волны на свободной поверхности в лагранжевом представлении. [c.458]

С помощью денспто.метра из.мерялось продольное распределение интенсивности света, проходящего через центры отверстий в системе, изображенной на фиг. 2.27. Полученные кривые распределения интенсивности имеют вид, представленный на фиг. 2.28. После вычитания интенсивности фона площадь под такой кривой, отнесенная к площади под кривой, отвечающей центральному пятну (т = 0), дает лагранжеву корреляционную кривую для продольного направления, показанную на фиг. 2.29. [c.96]

Отсюда следует, что две материальные системы совершенно различной материальной структуры с точки зрения аналитнческогв представления движения динамически эквивалентны, т. е. при подходящих силах имеют одни и те же уравнения движения, если только при надлежащем выборе лагранжевых координат они допускают одно и то же выражение для живой силы. Очень простор пример такой динамической эквивалентности материальных систем, физически различных между собой, мы будем иметь (как это будет видно в п. 49), рассматривая, с одной стороны, одну свободную материальную точку в пространстве (отнесенную к декартовым координатам), а с другой стороны, материальный диск, свободно дви-мсущиНся II своей плоскости (если за его лагранжевы координаты примем декартовы координаты какой-нибудь неизменно связанной с ним точки, а третий параметр выберем пропорциональным углу, определяющему его ориентировку в плоскости относительно непо движных осей). [c.294]

Мы можем всегда разрешить s линейных независимых уравнений (76 ) относительно s лагранжевых скоростей q или, для большей симметрии, обратиться к параметрическому представлению, выражая все лагранжевы скорости ij, удовлетворяющие уравнениям (76 ), в виде линейных функций (вообш,е говоря, неоднородных) от некоторых = п — S произвольных параметров е,,, е,. Тем самым мы придадим уравнениям, выражающим кинематические связи, следующий вид [c.322]

При изучении канонических систем прибегают к геометрическому представлению, аналогичному тому представлению, которое дается прострайством состояний движения для решений лагранжевой системы (гл. VI. п. 2). 2 п канонических переменных р, q истолковываются как декартовы прямоугольные координаты линейного пространства Фдп 2/г измерений, которое, следуя Джиббсу ), называют фазовым пространством. [c.244]

Для постановки динамической задачи о движении Земли около ее центра тяжести под действием притяжения отдаленной точки Р необходимо, помимо потенциала (фиктивного), еще и выражение для живой силы. Здесь нам пригодится замечание п. 2 гл. VIII, на осно--вании которого (поскольку действие силы зависит только от ориентировки Земли относительно неподвижных осей) вращательное движение определяется уравнениями (лагранжевыми и, следовательно, каноническими), составляемыми в предположении, что центр тяжести неподвижен. Следовательно, для живой силы Земли здесь надо принять выражение (Г) в канонических переменных, приведенное в предыдущем пункте. При помощи выражений (Г) для живой силы и (101) для потенциала U мы можем получить явное представление характеристической функции Н= Т) — и. [c.321]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...