Представление Лагранжа

Уравнения, описывающие одномерные нестационарные течения невязкого нетеплопроводного газа как в представлении Эйлера, так и в представлении Лагранжа, составляют квазилинейную систему гиперболического типа и могут быть представлены в следующем виде [c.96]

Представление (1.1.3) будем связывать с некоторой отсчетной, в большинстве случаев естественной (натуральной) конфигурацией, за которым сохраняется название представление Лагранжа . [c.12]

Предел серии см. Ионизация Представление Лагранжа 30 Представление Эйлера 30 Преобразование единиц времени 541 [c.548]

Если теперь Су мы выразим через какие-либо параметры, позволяющие выделить частицу (ими могут быть начальные значения координат, или некоторые функции этих начальных значений), то мы придем к представлению Лагранжа [c.27]

Обращаясь к уравнениям (45), мы устанавливаем также, что каждое из этих уравнений является уравнением второго порядка, число же их равно п. Следовательно, общий порядок системы уравнений Лагранжа (22) (легко видеть, что все это верно и для уравнений, представленных в форме (29)) равен 2п. Поэтому для того, чтобы определить движение, нужно задать 2п начальных данных. Этими начальными данными являются значения п координат qi, q и п скоростей (ji,. .., q в начальный момент t = t . [c.141]

Обратим внимание теперь на то, что справедливо и обратное утверждение если соответствующая а = 0 кривая из пучка, представленного на рис. VI 1.2, такова, что действие по Гамильтону достигает на этой кривой стационарного значения и при а = 0 вариация действия равна нулю, то эта кривая удовлетворяет уравнению Лагранжа, т. е. является прямым путем. Действительно, если положить равной нулю вариацию действия в левой части уравнения (61) и вспомнить затем, что вариации координат б<7у независимы и могут быть выбраны произвольно, то отсюда следует, что выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла, порознь равны нулю, т. е. что уравнения Лагранжа удовлетворяются всегда, когда в формуле (61) левая часть обращается в нуль. [c.280]

Доказательство. Когда II есть силовая функция, т.е. она зависит только от координат, то указанное представление функции Лагранжа следует из теоремы 8.1.1. Если Г — обобщенная силовая функция, то необходимо привлечь еще теорему 8.3.2.0 [c.556]

Эйлерова форма принципа Эйлера —Лагранжа, Геометрические представления, связанные с принципом Эйлера — Лагранжа [c.206]

Не следует смешивать понятие равномерного (или неравномерного) движения данной (одной) частицы жидкости с понятием одновременного равномерного (или неравномерного) движения множества жидких частиц . Кроме того, необходимо учитывать, что при определении рассматриваемых понятий применительно к случаю неустановившегося движения исходят из представлений Эйлера (а не Лагранжа см. 3-2). В связи с этим, рассматривая векторное поле скоростей, отвечающее данному моменту времени, считают, что если это поле является так сказать однородным в отношении скоростей (т. е. в пределах данного поля векторы скоростей всюду одинаковы и по их значению и по их направлению), то такое движение может быть названо равномерным в данный момент времени если же это поле скоростей является неоднородным, то отвечающее ему движение, естественно, должно быть названо неравномерным в данный момент времени. [c.92]

Положение колебательной системы, представленной на рис. 1.63, б, определяется положением звена (в рассматриваемом случае недеформируемого—допущение правомочное, так как деформация тела значительно меньше деформации пружин), т. е тремя координатами центра масс и тремя углами поворота. Для изучения колебаний такой системы можно использовать уравнения Лагранжа в обобщенных координатах ( 19), понимая под обобщенными координатами величины, позволяющие определить положение центра масс и поворот звена относительно координатных осей. Характер движения такой колебательной системы может быть установлен после решения системы указанных уравнений. При использовании электронно-счетных машин решение таких систем не вызывает затруднений. [c.99]

Твердое тело было определено нами как система материальных точек с наложенными голономными связями, благодаря которым расстояние между любой парой точек остается постоянным в течение всего движения. Хотя это и является в некоторой степени идеализацией, однако такое представление весьма полезно, и поэтому механика твердого тела заслуживает подробного рассмотрения. В этой главе мы рассмотрим кинематику твердого тела, т. е. получим ряд характеристик его движения. При этом мы уделим некоторое внимание развитию специального математического аппарата, имеющего значительный самостоятельный интерес и полезного в приложениях к другим областям физики. После изучения кинематики твердого тела мы в следующей главе рассмотрим с помощью лагранжиана движение твердого тела под действием приложенных сил и моментов. [c.109]

Наши лекции носят название Механика , а не Аналитическая механика , как это предпочитают делать математики. Последнее название заимствовано у Лагранжа из его фундаментального труда, вышедшего в 1788 г. Лагранж хотел облечь в единый язык формул всю систему механики и гордился тем, что в его труде нельзя будет найти ни одного чертежа . Напротив, в наших лекциях мы стремимся возможно больше обращаться к наглядным представлениям и будем рассматривать не только астрономические, но также физические и, в известной степени [c.11]

При рассмотрении приложений метода Лагранжа было видно, что существование циклических координат обусловливает постоянство величин, которые иногда, на основании предварительных сведений, можно отождествить с компонентами количества движения (компонентами импульсов). Однако надо особенно подчеркнуть, что выражение количества движения никогда не фигурирует в явном виде в связи с трактовкой Лагранжа. Основная черта метода Лагранжа состоит в том, что независимыми переменными являются время и обобщенные координаты. Производные по времени от обобщенных координат также явно входят в уравнения, но в конечном счете всегда будут зависимыми переменными. Это обстоятельство иллюстрируется использованием для представления движения системы понятия траектории в пространстве конфигураций. [c.56]

При выводе уравнений Лагранжа и Гамильтона значительное внимание было уделено тому, чтобы сделать одинаковой форму всех общих соотношений для всех систем координат. Любое преобразование координат, представленное уравнениями [c.86]

Отметим, что в интеграле (3) полностью исключено время, и принцип (4) содержит только геометрические элементы. В такой форме принцип Мопертюи-Лагранжа впервые был представлен Якоби. Поэтому приведенную выше формулировку принципа Мопертюи-Лагранжа часто называют принципом наименьшего действия Якоби. [c.484]

Почти во всех учебниках, даже и в лучших, как Пуассона, Лагранжа и Лапласа, этот принцип представлен так, что, по моему мнению, его нельзя понять. Именно, говорится, что интеграл [c.297]

Можно ли сказать, что Лагранж здесь разрешил проблему обоснования и построения системы анализа Ни в коем случае. Во-первых, определение функции, принимаемое Лагранжем, слишком узко ), во-вторых, отказ от старых методов не мешает тому, что в приложении своей теории к кривым и т. д. он сам постоянно нуждается в том или другом из этих метафизических представлений ). [c.799]

В механике Гамильтон является прямым продолжателем направления Лагранжа. Это выражается не только в его восхищении Аналитической механикой , которую он называл научной поэмой , и не только в том, что Гамильтон работал аналитически, не используя наглядных геометрических представлений даже там, где они могли бы оказать ему непосредственную помощь. Важнейшим обстоятельством здесь является точка зрения Гамильтона на задачи исследования в области механики, сближающая его с Лагран- [c.817]

В аналитический метод Лагранжа вполне можно ввести геометрические аналогии и представления. Это можно сделать, ибо свойства уравнений Лагранжа тесно связаны со свойствами некоторой квадратичной формы точно такого же вида, какой имеет в геометрии форма, выражающая дугу кривой. [c.818]

Представление (1.1.3) принято называть материальным или представлением Лагранжа, представление (1.1.4) — пространственным или представлением Эйлера. Однако эти названия (Лагранжа и Эйлера) не оправданы исторически, поскольку, как отмечал Терстон [116] ссылаясь на Лэмба, "Эйлер раньше Лагранжа использовал оба вида представлений". [c.12]

Найдем выражение для Лагранжиана нустого пространства для случая, когда нространство-время четырехмерно, а число т физических полевых величии (/9 может быть произвольным. Нри этом будем считать, что Лагранжиан С и векторное ноле в самом обгцем представлении Лагранжиана нустого пространства ( ) зависят от градиентов нолей порядка пе выгпе первого. [c.160]

Исходя из представления Лагранжиана ( ) и учитывая условия совмест- [c.167]

До сих пор в основе всех наших рассуждений лежали некоторые исходные представления, играющие во всем последующем построении роль аксиом. Мы постулировали, в частности, второй закон Ньютона и при гыводе основ ых законов и теорем механики всегда исходили из него. В настоящей главе, выводя уравнения движения в форме, ковариантной по отношению к любым точечным преобразованиям координат, мы также положили в основу рассуждений второй закон Ньютона и в конечном результате придали ему форму уравнений Лагранжа. В этом смысле второй закон Ньютона оказывается эквивалентным утверждению о том, что движение может быть описано уравнениями (22), а движение в потенциальном поле — уравнениями (29), где L = T—К. [c.164]

Для итегрирования уравнений движе (ия с помощью Программы, приведенной в 3.4, необходимо подготовить текст подпрограммы TUQ, позволяющей но. заданным значениям q , <7/, Т вычиащть значения кинетической энергии, функции Лагранжа TU = Т П и обобщенных сил Q . Подпрограмма должна быть офорьшена в виде, представленном на рис. 10. [c.73]

Исходя из указанного представления об устойчивости равновесия, в этом параграфе было рассмотрено второе доказательство теоремы Лагранжа — Дирихле об устойчивости равновесия. [c.227]

До конца XIX в. случаи движения твердого тела, исследованные Эйлером и Лагранжем, были единственными, в которых было проведено полное интегрирование системы дифференциальных уравнений (III. 12) и (III. 14). На протяжении большей части минувшего столетия изучались разные свойства движений в указанных двух классических случаях. При этом были найдены результаты, о характере которых дает представление интерпретация Пуансо движения по инерции твердого тела вокруг закрепленной точки. В этом направлении работали Максвелл, Сильвестр, Мак-Куллах, Якоби, Сомов, Дарбу и др. [c.448]

Движение жидкостей и газов можно изучать двумя методами. В первол из них прослеживают двияге ние отдельных частиц жидкости в пространстве со временем и определяют кинематические характеристики их движения (перемещение, скорость, ускорение). Зная кинематические характеристики различных частиц жидкости, можно составить представление о движении конечных объемов жидкости способ Лагранжа). Но можно поступить иначе — сле-дитг> ие за частицами жидкости, а за отде.чьнымм неподвижными точками пространства, определяя скорости проходящих через них частиц жидкости (способ Эйлера). [c.134]

Впервые уравнение изгиба пластин, но содержащее ошибку, было получено Софи Жермен на основе вариационного принципа Лагранжа в работе, представленной на конкурс, объявленный французской [c.156]

Известно, что Лагранж в своей знаменитой книге, озаглавленной им Аналитическая механика , поставил себе целью свести механику к общим формулам, выведенным из единственного принципа виртуальных скоростей, или, вернее, из дифференциальной формулы, выражающей этот принцип. Для придания своему труду большего совершенства автор при разрешении исследуемых им проблем старается избегать применения каких бы то ни было чертежей или аргументов, основанных на геометрических или механических соображениях все операции производятся у него путем исчисления и с помощью простых преобразовании координат даже столь есте-ствепный и простой вопрос, как вопрос о сложении сил, приложенных в одной точке, мы видим представленным в чисто аналитическом виде. [c.525]

Для того чтобы более ясно показать, что действие или накопленную живую силу системы или, другими словами, интеграл произведения живой силы на элемент времени можно рассматривать как функцию упомянутых выше бл -Ь 1 величин, а именно начальных и конечных координат и величины Я, следует отметить, что все, что зависит от способа и времени движения системы, может рассматриваться как такая функция. В самом деле, закон живой силы в первоначальном виде в сочетании с известными или неизвестными Зп зависимостями между временем, начальными данными и переменными координатами всегда дает известные или неизвестные Зп -р 1 зависимости, связывающие время и начальные компоненты скоростей с начальными и конечными координатами и с Я. Однако благодаря тому, что Лагранж не пришел к представлению о действии как функции такого рода, те следствия, которые были выведены здесь из формулы (А) для изменения этого определенного интеграла, не были замечены ни им, ни другими блестящими аналитиками, занимавшимися вопросами теоретической механики, несмотря на то, что в их распоряжении была формула для вариации этого интеграла, не очень отличающаяся от нашей. Дело в том, что Лагранж и другие, рассматривая движение системы, показали, что вариация этого определенного интеграла исчезает, когда даны крайние координаты и постоянная Я. Они, по-видимому, вывели из этого результата только хорошо известный закон наименьшего действия, а именно 1) если представить точки или тела системы движущимися от данной группы начальных к заданной группе конечных положений не так, как это в действительности происходит, и даже не так, как они могли бы двигаться в соответствии с общими законами динамики, или с дифференциальными уравнениями движения, но так, чтобы не нарушать какие-либо предполагаемые геометрические связи, а также ту единственную динамическую зависимость между скоростями и конфигурациями, которая составляет закон живой силы 2) если, кроме того, это геометрически мыслимое, но динамически невозможное движение заставить отличаться бесконечно мало от действительного способа движения системы между заданными крайними положениями, то варьированное значение определенного интеграла, называемого действием или накопленной живой силой системы, находящейся в представленном таким образом движении, будет отличаться бесконечно мало от действительного значения этого интеграла. Но когда этот закон наименьшего, или, как его лучше было бы назвать, стационарного действия, применяется к определению фактического движения системы, он служит только для того, чтобы по правилам вариацион- [c.180]

Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Me anique Analytique, но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным и даже необходимым), что п точек системы не являются целиком свободными и подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен исключать) накопленная живая сила, или действие V системы, представляет собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш метод также неприменим однако среди людей, наиболее глубоко занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным пониманием взаимодействия тел. [c.189]

Простейший пример к теореме II — без обращения — представляет вейер-штрассовское параметрическое представление здесь интеграл при однородности первого порядка является, понятно, инвариантным, если заменить независимую переменную х произвольной функцией х, которая оставляет функцию и неизменной [у = р(х), ,(у) = н, (х)]. Таким образом, появляется одна произвольная функция, но без производных этому соответствует известная линейная зависимость между самими выражениями Лагранжа [c.614]

Аналитической механике ставит вопрос о физическом смысле принципа наименьшего действия. В самом деле, Лагранж отнюдь не так безразличен к физической стороне механических проблем, как это обычно полагают. Да и трудно было бы ожидать, чтобы Лагранж, живший в кругу людей, которые не только живо интересовались философией, но иногда сами являлись крупными философами (например Гольбах, Д Аламбер и др.), остался совершенно в стороне от проблемы обоснования механики и анализа содержания ее понятий. Исторической легендой является обычное представление о Лагранже, как об ученом, который равнодушно и даже презрительно относился к философским проблемам. Мало кому известно, что в жизни Лагранжа был период, когда он временно потерял интерес к математике и усиленно занимался философией, химией, медициной и другими науками. Все современники, знавшие его лично, указывают, что он хотя и не писал ничего на специально философские темы, но с большим интересом принимал участие в философских беседах и спорах. [c.798]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...