Форма равновесия предельная

Найти нагрузку соответствующую предельной форме равновесия г). Найти уменьшение fo вертикального и увеличение /t горизонтального диаметров кольца и наибольшее напряжение изгиба для всех форм равновесия кольца. Сравнить решение с обычным. [c.149]

Предельная форма равновесия г) (см. рисунок в условии задачи) спреде, ляется из условия t/i = 0 или [c.342]

В рассмотренных ранее видах деформаций величина деформации линейно зависела от нагрузки. При постепенном увеличении нагрузки деформация увеличивалась без резкого скачка, при этом характер напряженного состояния не изменялся. Однако встречаются случаи, когда при постепенном увеличении нагрузки резко изменяются форма равновесия тела и напряженное состояние, вследствие чего может произойти внезапное разрушение. Если сжимать продольными силами стержень до тех пор, пока сжимающие силы не превзойдут некоторой предельной величины, зависящей от длины стержня и жесткости его поперечного сечения, стержень будет испытывать обычное сжатие и ось его будет оставаться прямолинейной. Однако если сжимающие силы станут больше этой предельной величины, то стержень внезапно выпучится и ось его изогнется. [c.320]

Потеря устойчивости отождествляется с выполнением условий существования новых форм равновесия, сколь угодно близких к исходной. Нагрузки, при которых эти условия выполняются, называются, как известно, критическими. При расчете инженерных конструкций критическая нагрузка принимается за предельную, по которой и назначается запас устойчивости. [c.107]

Метод Эйлера применим к анализу таких типов потери устойчивости, т. е. таких явлений, которые характеризуются наличием возможности перехода от одной формы равновесия к другой, бесконечно близкой к ней, при фиксированной нагрузке (т. е. равенство нулю производной Р/й/ при некотором значении Р, где Р — сила, а [ — характерный параметр деформации системы). В то же время этот метод не может быть применен в тех случаях, когда потеря устойчивости формы равновесия состоит в переходе не к другой форме равновесия, а к колебательному движению. Остановимся на вопросе о применимости метода Эйлера в случае, если потеря устойчивости принадлежит типу перехода к новой устойчивой форме равновесия, но посредством скачка. Можно отметить два характерных варианта. Водном из них этот переход происходит в точке бифуркации, до которой (Р < Р ) зависимость Р — / линейна. В другом — переход происходит в предельной точке, до которой (Р < Р,) зависимость Р—[ нелинейна. В первом случае метод Эйлера позволяет найти Р, во втором же — этот метод неприменим. [c.372]

Рис. 18.76. Система, теряющая устойчивость з предельной точке а) схема б) диаграммы сила —перемещение при разных значениях жесткости с вертикальной пружины в) формы равновесия на разных этапах нагружения.

Потеря устойчивости, характеризуемая совпадением критической точки К с точкой бифуркации В на кривой Р — /, сопровождается возникновением в точке В новых по сравнению с первоначальной форм равновесия. Потеря же устойчивости, характеризуемая наличием на диаграмме Р — / критической точки типа предельной точки, не сопровождается возникновением новой в принципе формы равновесия. [c.465]

В предельной точке не пересекаются различные решения. Однако при переходе через нее устойчивое равновесие становится неустойчивым, причем предельная точка обычно соответствует неустойчивому равновесию. В соответствии с приведенным выше определением предельные точки исходной формы равновесия являются критическими. [c.18]

На рис. 1.12, в показан вид правых ветвей в окрестности точки бифуркации для нескольких различных значений начального угла отклонения фо. Вид кривых позволяет сделать два важных вывода о поведении рассматриваемой системы с начальными геометрическими несовершенствами. Во-первых, точка бифуркации первого типа существует только в случае предельно идеализированной системы, когда фо = 0. При любых не равных нулю значениях фо точка бифуркации исчезает и с ростом нагрузки угол ф монотонно увеличивается без качественных изменений форм равновесия. Во-вторых, если фо 1, то быстрый рост фп происходит только с приближением нагрузки к ее критическому значению, соответствующему точке бифуркации идеализированной системы при фо = 0. При малых нагрузках [c.19]

Проанализировав знак второй производной полной потенциальной энергии по углу отклонения системы, можно установить, какие из ветвей полученного решения соответствуют устойчивым положениям равновесия. Для фп <я результат такого анализа изображен на рис. 1.13, 6. Как видим, поведение этой системы при Фо = О качественно отличается от поведения рассмотренной выше системы. При фо О критическая точка бифуркации второго типа трансформируется в критическую предельную точку l. При достижении этой предельной точки происходит потеря устойчивости исходной формы равновесия системы, причем поскольку в окрестности предельной точки нет новых устойчивых положений равновесия, система вынуждена скачком перейти в новое устойчивое положение, удаленное от исходного на конечное расстояние. [c.20]

При условии состояния равновесия предельная растворимость олова в меди при нормальной температуре составляет 16в/о- Однако в обычных условиях отливки бронзовых деталей затвердевание бронзы в форме происходит со скоростью, значительно превышающей скорость диффузии олова в меди. [c.303]

Два других случая показаны на рис. 7.3.5, где точки бифуркаций одновременно являются предельными. В случае а при Р>Р осуществляется одна из устойчивых форм равновесия, в слз/чае б в окрестности точки ветвления вообще нет устойчивых форм. [c.475]

Итак, система уравнений динамической устойчивости тонкостенных слоистых анизотропных оболочек сформулирована в системе координат, связанной с линиями кривизн поверхности приведения. Статические уравнения устойчивости, основанные на концепции Эйлера о разветвлении форм равновесия, получаются из этих уравнений, если отбросить в них инерционные слагаемые. Для этой системы остаются справедливыми все те предельные переходы и упрощения, какие были указаны ранее для тензорной формы уравнений задачи устойчивости. [c.74]

Подходящим примером может служить приведенная выше задача об изгибе трубки под действием внешнего гидростатического давления. Полученные нами выражения для перемещений совершенно не зависят от давления ро, следовательно, при равномерном всестороннем давлении трубка не испытывает изгиба. Это заключение правильно, пока Ро не превосходит некоторого предельного значения. За этими пределами неизогнутая форма равновесия сжатой трубки перестает быть устойчивой, малейшая причина может вызвать большие перемещения трубка под действием равномерного всестороннего давления может сплющиться. Решение, полученное нами в предыдущем параграфе для трубки, испытывающей гидростатическое давление, может дать результаты, близкие к действительности, лишь в том случае, если давление ро мало по сравнению с тем критическим значением равномерного всестороннего давления, при котором трубка может сплющиться. С возрастанием равномерного всестороннего давления влияние его на перемещения, вызываемые какими-либо внешними силами, все возрастает. [c.216]

В задаче устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого стержня в условиях ползучести рассматриваются возмущенные движения стержня при действии воз лущений, в качестве которых обычно принимают начальные искривления стержня. В возмущенных движениях зависимостях прогиба от времени) (рис. 1) каждому из значений амплитуды начального прогиба Wi соответствует конечное значение времени при котором скорость роста прогиба становится сколь угодно большой (или значение прогиба превосходит заданное значение, или достигается некоторое предельное значение напряжений,или выполняется некоторый иной критерий). Существует [c.264]

Практически обычно приходится встречаться с задачей, когда одно из усилий Р задано и нужно разыскать то наименьшее значение для другого сжимающего усилия, при котором плоская форма равновесия пластинки перестает быть устойчивой. Это предельное значение сжимающих усилий будем называть критическим. Для его определения мы можем использовать те же приемы, которые применялись при изучении устойчивости сжатых стержней. Можно исходить из общего дифференциального уравнения (226) для искривленной поверхности пластинки и определить из [c.423]

При изменении Я различные линейные серии остаются отличными друг от друга, пока дискриминант А квадратичной формы (2) не исчезает, т. е. пока не исчезает ни один из главных коэфициентов устойчивости. Если же в то время, когда пробегается некоторая линейная серия, дискриминант А при некотором частном значении А исчезает и меняет знак, то соответствующая конфигурация оказывается формою бифуркации , т. е. эта конфигурация представляет точку пересечения рассматриваемой линейной серии с другой. Может даже случиться, что при некотором значении А две линейные серии совпадают, а после этого становятся мнимыми. Если рассматриваемая конфигурация не принадлежит ни к какой другой линейной серии, то мы имеем так называемую предельную форму равновесия, и можно показать, что А в обеих сериях вблизи от точки соединения имеет различные знаки. Особенно важным оказывается тот случай, когда две серии соединяются и после этого делаются мнимыми, в то время как третья серия непрерывно переходит через эту общую точку. [c.897]

Упругая устойчивость сжатых стержней. Нетрудно убедиться, что нарушение устойчивости первого рода в случае растянутых стержней невозможно. Такие стержни, получив случайное искривление или закручивание, должны возвратиться к первоначальной форме равновесия. Таким образом, для растянутых стержней возможна лишь потеря устойчивости второго рода при достижении напряжениями предела текучести или временного сопротивления. Напряжения, равные временному сопротивлению, никогда не допускаются, пластическая же деформация растянутого стержня не снижает его предельной грузоподъемности. Поэтому вопрос об устойчивости деформиро -1 ° ванного состояния растянутого стержня не имеет [c.344]

Исследование свойств функционала потенциальной энергии можно заменить систематическим рассмотрением смены форм равновесия при изменении параметров системы. Соображения, близкие к известной теории бифуркаций А. Пуанкаре (1884 г.), приводят к статическому методу в теории устойчивости упругих систем. Этот метод позволяет свести исследование устойчивости к отысканию точек разветвления и предельных точек. В окрестности точки разветвления наряду с исследуемой формой равновесия сущ ествуют некоторые смежные формы. При переходе через эту точку может происходить потеря устойчивости по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной формы равновесия к другой. Анализ типов предельных точек и смен равновесных состояний упругих систем можно найти в работах Г. Ю. Джанелидзе (1955), И. И. Гольденблата (1965) и др. Основную трудность в применении метода бифуркаций упругих систем составляет выбор параметров, характеризуюш их состояние системы. Строго говоря, наличие точек бифуркации не является ни необходимым, ни достаточным условием смены устойчивости. Достоверность выводов, основанных на бифуркационных соображениях, можно повысить, если увеличить число параметров. Но при этом утрачивается главное преимущество бифуркационного метода — геометрическая наглядность. [c.336]

В учебной и технической литературе обычно утверждается, что этот метод годится только для тех задач, в которых потеря устойчивости происходит по типу разветвления форм равновесия. В действительности уравнения нейтрального равновесия могут описывать поведение системы в окрестности предельных точек. Однако при этом необходимо учитывать перемещения и деформации невозмущенного состояния, т. е. исходить [c.336]

В упрощенном виде механизм наводороживания стали заключается в следующем. Образующийся при указанных видах коррозии атомарный водород адсорбируется поверхностью металла, а затем диффундирует. Водород, адсорбирующийся в любых несплошностях кристаллов, может рекомбинировать в молекулярную форму. Чем меньше плотность металла, тем большее количество водорода адсорбируется металлом и тем большая часть его находится в молекулярной форме. Равновесие между атомарным и молекулярным водородом зависит от предельной истинной растворимости водорода в данном металле, фактической его концентрации в кристаллической решетке и парциального давления атомарного водорода в порах. [c.114]

Получившая развитие теория приспособляемости тесно связана с теорией предельного равновесия и использует допущения последней (гипотеза идеальной пластичности, устойчивость первоначальной формы равновесия). Принимается также, что диаграмма деформирования при повторных нагружениях остается неизменной. Основные положения и теоремы теории приспособляемости в наиболее законченной форме изложены в работе В. Т. Койтера [9]. Приспособляемости неравномерно нагретых тел посвящено пока сравнительно мало исследований первыми в этой области, по-видимому, являются работы [И], [12], [15], [16]. [c.211]

В общем случае неравных жесткостей изгиба В ФВ , определяющее уравнение (28), при произвольном значении угла ф не распадается на отдельные уравнения. Это соответствует возникновению пространственных форм равновесия и осложняет вычисление критического значения сжимающих сил. Начнем с рассмотрения двух предельных случаев ф=0 и ф = 90 определяющего уравнения (28), соответствующих плоским формам равновесия. [c.290]

В общем случае неравных жесткостей изгиба определяющее уравнение (39), при произвольном значении угла не распадается на отдельные уравнения. Это соответствует возникновению пространственных форм равновесия. Начнем с рассмотрения предельных случаев ф = 0 и 1)5 = 90°, соответствующих плоским формам равновесия. [c.296]

Б. Формы равновесия с двумя точками перегиба. Фиксируем длину стержня X и находим П из уравнения (26). Для каждого П > П выполняем следующие действия. Решаем систему уравнений (11) — (13) с граничными значениями уо = 0 фо = фтах-При этом фтах подбираем так, чтобы при 5о = Я г/х = О и фл = = фтах- Определяем разность Хх — Xq и находим предельное значение угла 0 = 0. Для каждого 0 0 методом хорд определяем фо из уравнения (25). Наконец, находим значение уо, соответствующее значению фо, и вычисляем Xq из условия (27). Изложенные алгоритмы позволяют определить деформированное состояние стержня (очертание изогнутой оси) и построить их характеристики. [c.59]

Теорема 37.2. Пусть выполнены 2—6 13 и условия существования б.м.н.д.с. (37.1). В этом случае каждому уровню с>0 потенциальной энергии пластины после потери устойчивости соответствует не менее счетного числа форм равновесия, на которых этот уровень достигается. При этом для соответствующих собственных элементов имеют место предельные соотношения [c.333]

Отметим еще одно обстоятельство. Подбор безопасных размеров поперечных сечений стержней будем осуществлять здесь по условию прочности, отвечающему состоянию предельной упругости. Согласно этому условию растянутые и сжатые стержни рассчитываются на прочность одинаковым образом. В действительности длинные тонкие сжатые стержни могут под нагрузкой выпучиваться (изгибаться). Выход из строя по такому предельному состоянию называют потерей устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого стержня. Соответствующие методики расчета предполагается рассмотреть в дальнейшем. [c.79]

Применим теперь (2.23) и (2.24) и исходное уравнение гидростатического равновесия (2.18а) в предельных случаях 0, л/2 — для капель и пузырьков на плоской поверхности и Rq — для капель и пузырьков на срезе капилляра радиусом. Как следует из анализа рис, 2.32, равновесная форма таких тел близка к сферической и отличается большими значениями кривизны (Сд 1). [c.122]

При очень медленном увеличении объема парового пузырька (Ja < 1) форма его поверхности в любой стадии роста определяется уравнением гидростатического равновесия (2.9). По классификации, введенной нами в гл. 2, задача о паровом пузырьке на твердой поверхности относится к задачам типа II (отрицательные перегрузки). Это означает, что существует некоторый предельный объем парового пузырька, при котором граница раздела теряет устойчивость, пузырь отрывается от стенки. [c.274]

Обозначим qt и соответственно г — кинематически возможное поле скоростей, определенное с точностью до постоянного множителя. Пусть Qi — истинные, неизвестные значения сил в предельном состоянии. Составим уравнение равновесия в форме [c.173]

Форму равновесия однородной идеальной нити будем определять как предельное положение формы равновесия стержневого многоугольница, когда число стержней 2т неограниченно возрастает, а длина каждого из стержней Ijm стремится к пулю. Отбросим левую часть стержневого многоугольника и заменим ее действие натяжением (рис. 17.9). Для тангенса [c.320]

Предельное значение силы, при которой прямолинейная форма равновесия из устойчивой переходит в неустойчивую, называется критической силой. Если нагрузка меньше критической величины, то возможна только одна прямолинейная формам устойчивого равнрвесия. В ранее [c.321]

Первые шаги в области нелинейной устойчивости были весьма мпогообеш.аюш,ими. В частности, для цилиндрической и сферической оболочек нияшяя критическая нагрузка при первых же расчетах оказалась близко совпадающей с теми значениями предельных нагрузок, которые определяются из опыта. Это вначале дало повод думать, что в реальных условиях начальные несовершенства и случайные возмущения таковы, что переход к новым найденным формам равновесия практически реализуется уя е тогда, когда нагрузка достигает нижнего критического значения. [c.144]

Из этой диаграммы видно, что первоначальная форма равновесия становится неустойчивой в точке В], до этого в точке А начались пластические деформации. Новая форма равновесия возникает в точке В[ и является устойчивой до тех пор, пока пластические деформации в связи с ростом нагрузки не вызовут появления предельной точки Пр, после которой перестает быть устойчивой и возникщая в точке Вх форма равновесия. [c.468]

На рис. 7.5.1, а к б представлены типичные зависимости параметра нагрузки р от характерного перемещения / для упругих систем. Здесь значение параметра р, отвечает точке бифуркации форм равновесия, значение р - предельной точке. На рис. 7.5.1, в показана аналогичная зависимость для упругопластической системы (зависимость критического параметра р ОТ характерного перемещения f). Послебифуркаци-онное поведение упругопластических систем в корне отличается от поведения упругих. Здесь имеется целый спектр нагрузок бифуркагщи с устойчивым либо неустойчивым послебифурка-ционным поведением одной и той же системы. [c.496]

Я = 2л/3(1 - v2)(Я//г) " реализуется осесимметричная форма потери устойчивости. При больших значениях Я наблюдается бифуркация форм равновесия. Неосесимметричные формы равновесия п — 3, 4, 5) ответвляются от осесимметричных при малых значениях давления. Такое трех-, четырех- и пятидольное деформирование поверхности панели наблюдалось в экспериментах [24.9]. Критическое давление при этом трудно зафиксировать деформирование происходит мягко, без хлопков при возрастающей нагрузке. По-видимому, при таком случае нагружения панель будет нечувствительной к начальным несовершенствам. В предельном случае (большие Л) можно предполог жить, что для сферы, нагруженной диаметрально приложенными сосредоточенными силами, параметр Р = И. [c.300]

Дальнейшее интегрирование уравнения (2.8) производится различно для перегибных и бесперегибных форм равновесия упругой линии. При этом форму переходную можно рассматривать как предельный случай двух предыдущих. [c.31]

Центральное место в монографии занимает третья глава, в которой на основе единой кинематической гипотезы, позволяющей учесть поперечные сдвиговые деформации, удовлетворить условиям межслоевого контакта и условиям на граничных поверхностях, из принципа возможных перемещений получены нелинейные тензорные уравнения статики упругих анизотропных слоистых оболочек и сформулированы соответствующие им краевые условия. Указаны предельные переходы к уравнениям классической теории оболочек и ортотропной оболочки, предоставляющим возможность учета эффектов сдвига в одном направлении ортотропии (армирования) и неучета — в другом. Приведены упрощенные уравнения, пригодные для расчета пологих оболочек. Линеаризованные уравнения статической устойчивости слоистых оболочек, основанные на концепции Эйлера о разветвлении форм равновесия, сформулированы в параграфе 3.4, а в параграфе 3.5 из принципа виртуальных работ эластокинетики выведены нелинейные уравнения динамики. Здесь же приведены линеаризованные уравнения динамической устойчивости слоистых оболочек и пластин, обсуждены предельные переходы и упрощения, подобные тем, какие были сделаны в задаче статики. Параграф 3.5 посвящен формулировке неклассических уравнений многослойных оболочек в системе координат, связанной с линиями кривизн поверхности приведения. В этой же системе координат составлены уравнения, описывающие осесимметричную деформацию слоистой ортотропной оболочки вращения. В параграфе 3.7 описаны [c.12]

Итак, установлена замкнутая система линейных однородных уравнений устойчивости слоистых композитных оболочек. Записанная в вариациях обобщенных перемещений система состоит из пяти дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными j S относительно пяти искомых функций и , и . И", TTj. Ее порядок от числа слоев оболочки не зависит и равен 12, что соответствует количеству задаваемых для нее краевых условий (3.3.6). Зависимость коффициентов этих уравнений от параметра внешних нагрузок проявляется через характеристики основного состояния (перемещения, деформации, усилия) и в общем случае нелинейна. Задача заключается в определении таких значений этого параметра, при которых линейная однородная система уравнений устойчивости, подчиненная надлежащим однородным краевым условиям, допускает нетривиальное решение. Этими значениями параметра нагрузок определяются критические точки, которые, согласно существующей классификации [45, 51 ], могут быть двух типов — точки бифуркации и предельные точки. При переходе через точку бифуркации может теряться устойчивость по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной равновесой формы к другой [45, 51 ]. [c.61]

С тем же вопросом устойчивости мы встречаемся при исследовании изгиба тонкой полосы, имеющей форму линейки. Если такую линейку изгибать в плоскости ее наибольшей жесткости, то легко можно убедиться, что при некотором значении изгибаюпщх сил плоская форма изгиба перестает быть устойчивой й полоса выпучивается в направлении наименьшей жесткости. В настоящее время имеются решения для целого ряда задач этого рода. Особый интерес в этих решениях представляют те предельные значения внешних сил, при которых становится возможным появление нескольких форм равновесия. Эти предельные значения в дальнейшем будем называть критическими нагрузками. Они играют весьма важную роль во всех технических вопросах, так как безусловно необходимо, чтобы те формы равновесия, которые кладутся в основание расчетов на прочность, были устойчивы. [c.258]

Для оценки устойчивости прямолинейной формы стержня воспользуемся теоремой Лагранжа-Дирихле. Достаточно, как известно, чтобы потенциальная энергия (6) в равновесном состоянии имела строгий минимум. В окрестности устойчивого положения (в котором потенциальная энергия равна нулю) должно выполняться неравенство П > 0. Это неравенство выполняется на кривых (19), рассматриваемых как уравнения формы стержня в варьированном состоянии, при условии Р < Ро1 Ро1 = 7r k /f). Таким образом, при п = 1 появление смежной формы равновесия происходит при меньшей сжимающей силе, чем потеря устойчивости (в отличие от предельного случая бесконечно большой сдвиговой жёсткости к2 оо (см. (20)). [c.174]

При нек-рых ограничениях возможны более простые подходы. Исследование устойчивости равновесия упругих систем, загруженных потенциальными силами, может быть проведено энергетич. методом, основанном па теореме Лагранжа—Дирихле, согласно к-рой в ноложении устойчивого равновесия суммарная потенц. энергия упругой системы и внешних сил принимает минимальное значение, а в по-ло-кении неустойчивого равновесия — максимальное. Т. о., задача сводится к исследованию свойств функционала суммарной потенциальной энергии, что можпо заменить последовательным рассмотрением смены форм равновесия при и шенении параметров системы. В окрестности точки разветвления, наряду с исследуемой формой равновесия, существуют нек-рые смежные формы. При переходе через эту точку происходит потеря устойчивости. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной формы равновесия к другой. Типичный пример — нрощелкивание топкой упругой оболочки, сжатой осевыми силами. Метод в теории У. у. с., основанный на рассмотрении точек разветвления и предельных точек, наз. статическим [I, 2]. [c.276]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...