Лапласа уравнение для несжимаемой жидкости

Для несжимаемой жидкости из уравнения неразрывности (11у V - - о следует, что потенциал скоростей ф (х, у, г, 1) удовлетворяет уравнению Лапласа [c.155]

Для несжимаемой жидкости функции Ф и Ч удовлетворяют уравнению Лапласа [c.121]

При этом уравнение отсутствия завихренности удовлетвори ется, не накладывая никаких условий на выбор функции ф. Так как потенциал скорости можно ввести только для безвихревого движения, то такие течения называют также потенциальными. Подставив выражения (4.16) в уравнение неразрывности (4.13), найдем, что потенциал скорости для несжимаемой жидкости должен удовлетворять уравнению Лапласа [c.59]

В случае плоского потенциального движения уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости (уравнение Лапласа) примет вид [c.56]

Для потенциальных движений несжимаемых жидкостей уравнение неразрывности обращается в уравнение Лапласа [c.256]

Таким образом, потенциал ф скорости любого безвихревого потока несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению (7.1) Лапласа, т. е. является гармонической функцией. В связи с этим задачу определения поля скоростей, т. е. нахождения функций Wj., Uy и Uj для безвихревых течений, можно заменить задачей определения одной функции ф, удовлетворяющей уравнению Лапласа. Для получения решения этого уравнения необходимо сформулировать граничные условия. Граничное условие на твердой непроницаемой стенке имеет вид (см. п. 5.6) [c.210]

Методы аналогий являются экспериментальными методами, основанными на идентичности уравнений, описывающих потенциальные плоские течения и некоторые другие физические явления. Из числа этих методов в первую очередь мы рассмотрим метод электрогидродинамической аналогии (ЭГДА). Он основан на том, что поле плоского безвихревого течения несжимаемой жидкости и поле электрического тока в плоском проводнике являются потенциальными полями с нулевой дивергенцией. Такие поля описываются уравнением Лапласа. В табл. 4 приведен перечень аналогичных величин (аналогов) и уравнений, которым они удовлетворяют для этих двух физических явлений. [c.296]

Теоретический анализ волновых движений чаше всего проводится при оговоренных выше двух допущениях. Первое из них предполагает, что соприкасающиеся фазы — невязкие жидкости. Это предположение оправдано тем, что в наиболее часто используемых жидкостях с малой вязкостью (прежде всего вода) эффекты вязкости существенны вблизи твердых поверхностей, тогда как в анализе волновых движений основное внимание сосредоточено на малой окрестности границы текучих сред, как правило, далеко отстоящих от твердых стенок. Поле скоростей при безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости определяется уравнением сохранения массы, принимающим формулу уравнения Лапласа для потенциала скорости ф (см. [3, 24, 26, 34]). Уравнение сохранения импульса упрощается до уравнения Эйлера. Условия однозначности, помимо обычного условия непроницаемости на твердых поверхностях, включают условия совместности для потоков массы и импульса на межфазной границе. [c.126]

Самый простой способ построения плоского потенциального течения несжимаемой жидкости заключается в численном решении краевых задач для уравнения Лапласа относительно различных гармонических функций, связанных с течением. Решение находится во всей области течения (для решетки — в полосе одного периода) путем последовательных приближений с применением различных вариантов известного метода сеток [57]. [c.41]

Далее будут рассматриваться в основном установившиеся течения несжимаемых жидкостей, удовлетворяющие уравнениям движения и неразрывности для медленных течений (2.6.1) и (2.6.2). Как уже отмечалось, исследование некоторых одномерных течений (например, течений в канале с плоскими параллельными стенками) может быть сведено к решению уравнения Лапласа (2.5.12), причем имеются решения для ряда течений такого типа. [c.76]

Уравнение (9-31) есть уравнение Лапласа, и его решение при заданных граничных условиях дает распределение p+yh) в пространстве. В 6-6 уравнение Лапласа было получено для безвихревого движения несжимаемой жидкости, а функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, была названа потенциалом окорости. В дополнение к этому мы увидим ниже, что для некоторых потоков вязкой жидкости величина р+уК) будет служить потенциалом скорости. [c.196]

Определяющим для последующего развития теории упругости и всей механики сплошной среды явился континуальный подход Коши, разработанный им в 20-х годах. Однако еще раньше толчок для развития теории упругости и гидродинамики вязкой жидкости дали два мемуара Навье, представленные им Парижской академии наук в 1821 и в 1822 гг. В них Навье, следуя П. С. Лапласу и используя феноменологическую молекулярную модель среды, впервые вывел уравнения теории упругости изотропного тела (в смещениях) и уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости (так называемые уравнения Навье — Стокса). [c.48]

Теперь рассмотрим те вопросы теории волн на поверхности воды, для решения которых мы желаем применить метод ГИУ. Характерная особенность теории волн на воде заключается в наличии свободной поверхности или границы раздела с другой жидкостью (например, с атмосферой), на которой может поддерживаться волновое движение (где восстанавливающим механизмом является гравитация), даже если основное дифференциальное уравнение, описывающее движение внутри жидкости, будет эллиптическим, например уравнение Лапласа для потенциала скорости ф (v = УФ) в случае безвихревого течения невязкой и несжимаемой жидкости. Такие предположения обычно применяются в задачах о волнах на поверхности воды они существенно нарушаются тогда, когда происходят некоторые особые физические явления, например разрушение волн. Исключая эти явления и некоторые другие эффекты, например поверхностное натяжение и т. д., мы получим [2] для Ф следующее линейное дифференциальное уравнение в частных производных внутри области D, занятой жидкостью [c.19]

В случае несжимаемой жидкости ему соответствует уравнение Лапласа, которое поЛучается из (16), если в последнем положить скорость звука с = оо (для этого надо разделить обе части уравнения на и положить [c.26]

Для дальнейшего особый интерес представит безвихревое движение несжимаемой жидкости. В этом случае неизвестные функции разделяются уравнение неразрывности (16) превращается в уравнение Лапласа для определения потенциала скоростей [c.220]

ЖИДКОСТИ во многих случаях становится линейной, благодаря чему предоставляется возможным получать новые, более сложные течения с помощью линейной комбинации простейших течений, отвечающих частным решениям дифференциального уравнения Лапласа. Для вязкой же жидкости предположение о наличии потенциала скоростей, как это будет показано ниже, становится совершенно невозможным. Вследствие этого всякая конкретная задача о движении вязкой несжимаемой жидкости почти всегда нелинейна. Благодаря этому новые случаи течения вязкой несжимаемой жидкости нельзя получать с помощью простого наложения уже известных течений. [c.99]

Рассмотрим сначала случай дозвукового потока (М, <1). В этом случае уравнение (10) путем замены переменных можно привести к уравнению Лапласа, т. е., иными словами, определение поля скоростей по уравнению (10) для дозвукового потока газа можно привести к определению поля скоростей некоторого потока несжимаемой жидкости. Введем вместо независимых переменных х, у новые независимые переменные х , связанные й х, у следующими формулами [c.362]

Удар и проникание оболочек в несжимаемую жидкость. При небольших скоростях погружения (V q) деформируемых тел (оболочек) в жидкость через ее свободную поверхность влияние сжимаемости жидкости сказывается только в самый начальный момент времени (пока волна сжатия не вышла за пределы тела). Для тел вращения, которые не имеют плоских границ, этот период очень мал. В этом случае движение жидкости будет описываться уравнением Лапласа [c.400]

Следовательно, для несжимаемой, обладающей постоянной вязкостью жидкости, фильтрующейся в однородном грунте, скорость фильтрации обладает потенциалом, который удовлетворяет уравнению Лапласа. [c.268]

Равенства (10.3.16) идентичны с равенствами (10.3.9). Следовательно, граничные условия на твердых стенках, на границах свободной жидкости и на границах раздела областей с различными проницаемостями, записанные для потенциала скорости в случае несжимаемой жидкости и для потенциала массовой скорости в случае сжимаемой жидкости при к1 и к постоянных, будут идентичны. Отсюда следует, что рассмотренные в настоящем параграфе вопросы фильтрации сводятся к решению уравнения Лапласа вида [c.271]

Для потенциального течения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности сводится к уравнению Лапласа [c.235]

Уравнение импульса показывает тогда, что переменная часть давления Ар О ). При этом граница О В области О в первом приближении должна оставаться прямой. Теория малых возмуш ений, применяемая к сверхзвуковому потоку 1, показывает, что отклонение наклона О В от прямой О (е ). Для получения стационарного решения температура газа То в области О в первом приближении равна температуре стенки Т . Плотность ро тогда в первом приближении постоянна и соответствует значениям р = Ро, Т = То. Подстановка приведенных оценок в уравнения Навье-Стокса и совершение предельного перехода е О показывает, что течение в области О описывается полными уравнениями Эйлера для невязкой несжимаемой жидкости. Движение остается безвихревым, так как все струйки тока начинаются при хд +оо из состояния покоя (втекая затем в зону смешения). Для функции тока можно написать уравнение Лапласа [c.39]

В случае удара тела, плавающего на поверхности идеальной несжимаемой жидкости, задача сводится к решению уравнения Лапласа для потенциала скоростей, когда на поверхности тела задана нормальная составляющая скорости, а на свободной поверхности задан потенциал, который остается неизменным в период удара. В этом случае движение жидкости непосредственно после удара однозначно определяется движением тела и ве ь эффект сводится к присоединенным массам (инерциям), [c.46]

Другой подход к построению обтекания тел вращения в несжимаемой жидкости связан с представлением решения уравнения Лапласа в форме ряда частных решений. Каждый член этого ряда является произведением функций Лежандра первого и второго рода. Для удлиненных тел вращения удобно использовать эллиптическую систему координат. В частности. [c.90]

При исследовании действия взрыва в грунтах и горных породах широко использовалась модель идеальной несжимаемой жидкости (сам взрыв считался мгновенным). При этом распределение импульсов давления и скоростей в пространстве сразу после взрыва определяется из решения некоторой краевой задачи для уравнения Лапласа и может быть построено достаточно эффективно. Такой подход развивали М. А. Лаврентьев, а также О. Е. Власов (1945). Он имеет определенное физическое обоснование, так как давление в камере взрывания от взрыва обычных ВБ достигает десятков и сотен тысяч атмосфер, что намного превышает прочность горных пород. В рамках этого направления О. Е. Власов и С. А. Смирнов (1962) разработали теоретическую схему дробления горных пород взрывом сосредоточенных и удлиненных зарядов, нашли границы и объем зоны дробления, распределение крупности дробления, вероятностный гранулометрический состав раздробленной части горного массива, оценили продолжительность процесса дробления. При этом было существенно использовано введенное О. Е. Власовым представление о критической скорости разрушения. Согласно этому представлению размер кусков породы, образующихся вследствие взрыва, таков, что разность двух соседних кусков равна некоторой критической величине (своей для каждого материала). Эти расчеты позволили получить общее описание характера дробления породы при взрыве. Отметим, что проблема равномерного дробления (чтобы в результате взрыва не оставались куски породы, размер которых превышает некоторый предельный объем, допускаемый из технологических условий) чрезвычайно важна в горнодобывающей промышленности и решению ее было посвящено много экспериментальных и теоретических работ. [c.450]

Все вышесказанное относилось только к изучению двумерных течений, т. е. к крылу бесконечного размаха . Для изучения же реальных самолетов требуется решение задачи трехмерного обтекания, в постановке которой еще нет полной ясности даже в рамках модели несжимаемой жидкости. Имеется в виду следующее. При изучении трехмерного обтекания несжимаемой жидкостью ограниченного тела, которое производится в классе непрерывных решений уравнения Лапласа для потенциала скорости (задача Неймана), имеет место, как известно, парадокс Даламбера-Эйлера, состоящий в том, что жидкость не оказывает силового воздействия на обтекаемое тело. [c.170]

Указанное уравнение носит название уравнения Лапласа, а функция , удовлетворяющая этому уравнению,— гармонической функции. Таким образом, для потенциального потока несжимаемой жидкости потенциал скорости будет являться гармонической функцией координат X, у, z. [c.55]

Прандтль и Глауэрт показали, что обтекание профиля при 1 > М1 > о можно свести к случаю М1 = 0, деформируя течение по одной координате, т. е. введя вместо координат х, у координаты X, ув = ку, где к слабо отличается от единицы. В этом случае обтекание должно удовлетворять уравнению Лапласа для несжимаемой жидкости [c.33]

Линии тока F= onst и линии равного потенциала Ф= onst образуют сетку взаимно ортогональных линий. Для несжимаемой жидкости функции Ф и F удовлетворяют уравнению Лапласа [c.16]

Уравнение, которому должна удовлетворять введенная функция ф(д , у), непосредственно следует из дифференциального уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости (2.10) duldx- -dv 1ду=0. Подставив сюда значения скоростей, определяемых соотношениями (4.2), найдем, что функция ф(л , у) удовлетворяет уравнению Лапласа [c.79]

Эти основные диференциальные уравнения мы примем как основу для решения разнообразных проблем течения в [ ористой среде, имеющих промышленное значение. Следует тут же заметить, что для несжимаемых жидкостей отпадает изменчивость во времени, так что в системе не может быть переходного или неустановившегося состояния, если только граничные условия не изменяются во времени. Давление подчиняется так называемому уравнению Лапласа , которое встречается также в других разделах физики 1. [c.117]

Таким образом, задача о движении несжимаемого гелия II сводится к двум задачам обычной гидродинамики для идеальной и для вязкой жидкостей. Сверхтекучее движение определяется уравнением Лапласа с граничным условием для нормальной производной dtpsldn, как в обычной задаче [c.722]

Если несколько явлений, различных по своей физической природе, могут быть выражены одними и темн же дифференциальными уравнениями при одних и тех же условиях однозначности, то такие явления называются аналогичными, а метод их исследования — аналогией. В технической механике жидкости часто используются электрогидродинамическая аналогия (ЭГДА), газогидравлическая аналогия (ГАГА), гидромагнитная аналогия (МАГА) и другие аналогии. Приведенные аналогии относятся к безвихревому (потенциальному) движению невязкой несжимаемой жидкости, которое, как известно, оп-исывается уравнениями Лапласа для потенциала скорости и функции тока д Ф 3 ф [c.395]

Примем вначале, для простоты, что Q — аналитическая функция своего аргумента. Нетрудно усмотреть, что потенциал скоростей (17.5), удовлетворяюш,ий волновому уравнению, можно рассматривать как обобш,ение соответствуюш его потенциала от источника в несжимаемой жидкости ф = —Q (1)/4яг, удовлет-воряюш,его уравнению Лапласа. Действительно, при малых г, разложив Q в ряд Тейлора, получим выражение [c.214]

Анализируя уравнение (4.39), можно отметить, что при очень малых отношениях составляющих скоростей к скорости звука (u /a d uvlaP-< когда этими отношениями можно пренебречь, мы приходим к случаю несжимаемой жидкости, для которой потенциал скорости удовлетворяет линейному уравнению Лапласа (4.3). [c.102]

Известные методы решения линейного уравнения Лапласа для потока несжимаемой жидкости, такие, например, как построение гидродинамической сетки, уже неприменимы для нелинейного уравнения в частных производных (14-21), описывающего движение сжимаемой жидкости. Поэтому, даже если ограничиться изэнтропи-ческим движением идеального газа, анализ становится чрезвычайно сложным. Существующие способы решения нелинейного уравнения многомерного движения сжимаемой жидкости можно разделить на две группы. Обе они выходят за рамки настоящей книги, и в эту главу включено лишь краткое их описание. Подробное рассмотрение можно найти в различных курсах по газовой динамике [Л. 11, 23 ]. [c.353]

Наиболее замечате-ньные результаты были получены в XIX в. в области исследования плоских установившихся потенциальных течений несжимаемой жидкости. Еще Ж. Лагранж (1781) ввел функцию тока для плоских течений удовлетворяющую для безвихревых течений, как и потенциал скорости, уравнению Лапласа. Кинематическое истолкование функции тока было дано В. Ренкином Разработка аппарата теории функций комплексного переменного дала возможность широко развить методы исследования плоских задач движения несжимаемой жидкости, которые в самом начале развивались совместно со смежными исследованиями задач электростатики. Первые работы, в которых при помощи теории аналитических функций исследуются простейшие задачи электростатики и гидродинамики, относятся к 60-м годам. Существенное развитие области применения теории функций в гидродинамике связано с изучением открытого Г. Гельмгольцем класса так называемых струйных течений жидкости — течений со свободными ли-78 ниями тока, на которых давление сохраняется постоянным. Интерес к этим течениям возник в связи с попытками получить на основе модели идеальной жидкости реальные картины обтекания тел с образованием силы лобового сопротивления и без бесконечных скоростей. [c.78]

При такой замене рассматриваемая задача о прямолинейно-паралг лельном движении вязкой несжимаемой жидкости будет сводиться К решению уравнения Лапласа для функции ф [c.118]

Этому уравнению должен удовлетворять потенциал скоросте1[ для установившегося течения газа в случае, когда р зависит тблько от р, в частности, при адиабатическом процессе. Из этого уравнения получается, как частный случай (при а = оо), уравнение Лапласа, которому удовлетворяет потенциал скоростей для движения несжимаемой жидкости. В отличие от уравнения Лапласа последнее уравнение — нелинейно, и это обстоятельство значительно усложняет его решение. [c.356]

Последнее уравнение является уравнением Лапласа и определяет некоторое потенциальное движение несжимаемой жидкости. Таким образом, каждому иотенциальному дозвуковому потоку газа на плоскости х, у, определяемому уравнением (10), соответствует на плоскости х , у некоторый потенциальный поток несжимаемой жидкости. Выясним, каковы граничные условия для потока несжимаемой жидкости, если поток газа имеет заданную скорость в бесконечности F и обтекает заданный контур Ь (фиг. 148). [c.362]

Большое значение для изучения плоских течений несжимаемой жидкости с помощью теории функций комплексного переменного сыграли монографии В, В. Голубева Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке (1927) и Л. И. Седова Теория плоских течений идеальной жидкости (1939), Л. И. Седов в этой монографии ввел в теорию обтекания тонкого профиля метод выделения особенностей на кромках профиля, позволивший ему найти в замкнутом виде решение задачи об отыскании интегральных характеристик тонкого профиля, подъемной силы, момента сил. Решение задачи обтекания профиля может быть получено также в виде рядов, составленных из фундаментальных функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа. Такое решение для симметричного профиля было получено Я. М. Серебрийским (1945), причем решение уравнения Лапласа находилось в Эллиптической системе координат в виде ряда для потенциала скорости. [c.86]

ЗЛ. Плоское установившееся движение (метод конформных отобрая -ний). Следующее закону Дарси движение несжимаемой жидкости в однородной недеформируемой пористой среде описывается уравнением Лапласа для потенциала скорости фильтрации [c.601]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...