Условия необходимые равновесия упругого теля

Необходимые условия равновесия упругого тела. [c.86]

Для равновесия рассматриваемого упругого тела в случае его отвердевания необходимо, чтобы были выполнены условия равновесия абсолютно твёрдого тела. Отсюда имеем шесть необходимых условий равновесия упругого тела [c.86]

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ УПРУГОГО ТЕЛА [c.87]

Однако для того, чтобы тело могло длительно находиться в состоянии равновесия, необходимо, чтобы это состояние равновесия было устойчивым. Для этого при небольших отклонениях от состояния равновесия упругие силы должны изменяться таким образом, чтобы / //////л они снова возвраш,али тело к состоянию равно-весия. Если это условие не будет соблюдено, Рис. 265. то состояние равновесия будет неустойчиво. [c.480]

Если бы с помощью упругих стержней было связано друг с другом большее количество тел, то уравнения, необходимые для равновесия этих тел, можно было бы найти, пользуясь тем же способом. И вообще наш метод дает всегда с одинаковой легкостью условия равновесия системы тел, связанных между [c.183]

Основным объектом исследования в механике деформирования является конструкция, т. е. неоднородно деформируемое тело. Исследование поведения материала (в условиях однородной по объему деформации) является необходимым этапом ему были посвящены первые главы данной книги. Задача расчета конструкции состоит в определении ее реакции (возникающих напряжений, деформаций и смещений) на заданные внешние воздействия — объемные и поверхностные силы Fqu F i, краевые смещения и, распределенные по объему деформации, в частности,тепловые. Для идеально упругого тела решение в принципе является простым, поскольку история изменения внешних воздействий несущественна и каждому значению определяющих их параметров однозначно соответствует некоторое состояние конструкции. Последнее может быть определено с помощью системы уравнений, включающих условия равновесия, совместности и закон Гука [c.143]

Выразив через перемещения дифференциальные уравнения равновесия или движения упругого тела, необходимо соответствующим образом преобразовать и условия на поверхности [c.53]

Единственность решения. Если известны силы, действующие на упругое тело, и необходимо найти напряжения, вызываемые этими силами, то используется система уравнений равновесия (П.28). Шесть составляющих напряжения, входящие в эти уравнения, должны удовлетворять условиям совместности деформаций и условиям на границе тела. Последнее означает, что выражения для составляющих напряжения должны быть такими, чтобы для элемента тела у границы приложенные поверхностные силы и напряжения находились бы в равновесии. [c.588]

Это есть необходимое условие того, что упругая энергия тела в действительном состоянии равновесия имеет максимум или минимум по сравнению со всеми возможными смежными состояниями равновесия в раскрытом виде это уравнение мы получим, приравняв нулю интеграл (11.49). Для суждения о том, имеет ли здесь место максимум или минимум, составим полную вариацию упругой энергии. Вариация, выраженная формулой (11.49), является первой вариацией видим, что она формально составлена как первый дифференциал функции от нескольких независимых переменных например, первый дифференциал функции г (л , у) имеет вид [c.346]

Необходимые и достаточные условия равновесия упруго деформируемых тел, а также жидкостей и газов рассматриваются соответственно ь упругости теории, гидростатике и аэростатике. [c.717]

Особенностью и преимуществом принципа возможных перемещений является то обстоятельство, что он выражает необходимые и достаточные условия равновесия, применимые не только к абсолютно твердому телу, но и к любой системе материальных точек, в частности, к сплошным деформируемым системам — жидким, упругим и другим, к системам сочлененных твердых тел. [c.335]

Определение напряженного состояния в теле, находящемся под действием заданных внешних сил, является одной из основных задач теории упругости. В двумерном случае необходимо решить дифференциальные уравнения равновесия (18), и решение это должно быть таким, чтобы удовлетворялись граничные условия (20). Эти уравнения, выведенные с применением статических условий равновесия и содержащие три компоненты напряжения а , G,j, недостаточны для определения указанных компонент. Задача является статически неопределимой чтобы получить ее решение, следует рассмотреть упругую деформацию тела. [c.47]

Как для упругих твердых, так и для жидких тел важно знать напряженное состояние внутри тела, т. е. внутренние силы, действующие между мельчайшими частицами тела во всех направлениях и во всех точках тела. Однако в общем случае приходится ограничиваться указанием только среднего напряженного состояния. В самом деле, как бы ни была мала выделенная область около рассматриваемой точки тела, в ней все же содержится очень большое число частиц тела, находящихся к тому же в оживленном тепловом движении, и поэтому картина распределения сил взаимодействия между этими частицами имеет очень запутанный вид. Но как же вообще можно получить представление о внутренних силах, если наши теоремы об условиях равновесия говорят только о внешних силах Для этого, как мы сейчас увидим, необходимо сделать внутренние силы внешними. Это вполне возможно следующим образом. Вообразим некоторое тело, к которому приложены внешние силы (на рис. 1 они обозначены стрелками). Мысленно разрежем его на две части и одну из частей, например, часть I, примем за нашу систему масс. Тогда все силы, с которыми частицы части II действовали на частицы части I и которые раньше были внутренними силами, теперь будут внешними силами. Эти силы определенным образом распределены по площади сечения, и сумма их должна быть такова, чтобы выделенная часть тела продолжала оставаться в равновесии. Следовательно, результирующая этих сил должна быть равна и прямо противоположна результирующей внешних сил, действующих на выделенную часть тела (рис. 2). Таким образом, мы получили вполне определенное и однозначное представление о результирующей внутренних сил в проведенном сечении тела . [c.13]

Считая деформированное тело находящимся в состоянии устойчивого равновесия, предположим, что его точки смещаются на малые расстояния 6и, 6у, Ьш при невозмущенных граничных напряжениях 5 и внешних силах. На это возможное смещение 6у текущего материала должно быть наложено, однако, условие, что ни в каких элементах тела не имеют места неравенства /то<0 и йуо<0, т. е. не происходит разгрузки. Это необходимо для того, чтобы не нарушались равенства (3,64) и (3.65), поскольку мы не рассматриваем упругой части деформации. [c.171]

Пластические деформации в теле зуба могут появиться в том случае, когда максимальное периферийное нормальное напряжение для прямобочного зуба или приведенное (по П1 или IV теории прочности) для треугольного (эвольвентного) зуба достигнет предела текучести. При определении касательных напряжений т, входящих в выражение приведенного напряжения, необходимо учитывать граничные условия и определять т из первого уравнения равновесия плоской задачи теории упругости. [c.154]

Если на границе тела заданы напряжения, то три уравнения (9.5) и (9.6) позволяют определить компоненты напряжения независимо от деформаций (если использовать теорию упруго-пластических деформаций) или скоростей деформаций (если использовать теорию течения). Такие задачи называют статически определимыми. Статическая определимость напряжений является в некоторой степени условной, поскольку для определения напряжений к уравнениям равновесия необходимо присоединить условие пластичности. [c.173]

Во многих случаях (но не всегда) можно получить необходимый. ответ, изучая упруго-пластическую деформацию системы, имеющей начальные отклонения. Однако такой анализ приводит к нелинейным задачам и также связан с большими математическими трудностями. Обычно исходят из некоторого статического критерия, разыскивая нагрузку, для которой возможны различные близкие формы равновесия при тех или иных дополнительных условиях. Эти критерии, рассматриваемые в следующем параграфе, не имеют надежного теоретического обоснования их значение иллюстрируется анализом поведения очень простых моделей упруго-пластических тел и подтверждается экспериментальными данными. [c.350]

Сопоставление расчетной кривой (см, рис. 2.35) с экспериментальной подтверждает допустимость этого предположения. (Расчетная кривая для р 0,5% получена из кривой для р О смещением влево на величину е - p p/e ). Такой вид поверхности текучести позволяет объяснить, в частности, появление пластических деформаций в цикле испытаний на знакопеременную ползучесть при напряжениях, меньших предела упругости исходного материала. Выражения (2.56), (2.61) и (2.66), дополненные уравнениями равновесия и совместности деформации сплошной среды, а также необходимыми краевыми условиями, позволяют рассчитать напряженное и деформированное состояния тела при произвольной программе циклического нагружения и нагрева шаговым методом при этом соотношения (2.61) и (2.66) удовлетворяют требованиям, указанным выше. [c.127]

Поскольку уравнений равновесия недостаточно для определения из пнх напрялу-енпй Ох, о , а Хху, Ху г,х, то задача теории упругости является статически неопределимой, и для ее решения помимо уравнений равновесия внутри тела и условий на поверхности необходимо иметь еще дополнительные уравнения, устанавливающие зависимость между дефор- [c.24]

Упругое равновесие твердых тел описывается уравнениями плоской задачи теории упругости в случае плоской деформации цилии-дрических тел постоянного поперечного сечения, когда на тело действуют внешние силы, нормальные к его оси и одинаковые для всех поперечных сечений указанного тела, либо в случае обобщенного плоского напряженного состояния, т. е. при деформации тонкой пластины силами, действующими в ее плоскости. При этом для определения напряженно-деформированного состояния в произвольной точке деформируемого упругого изотропного тела необходимо найти три компоненты тензора напряжений —Оу, х у (рис. 1) и две составляющие вектора перемещений — и, v. Если система декартовых координат выбрана так, что плоскость xOi/ совпадает или с поперечным сечением стержня, или со срединной плоскостью пластины, указанные компоненты в условиях плоской задачи теории упругости являются функциями двух переменных (х и i/). [c.7]

Первой теорией практической прочности и единственной количественной теорией до настоящего времени является теория [11]. В своих рассуждениях Гриффитс оперирует с абсолютно хрупким телом, подчиняющимся вплоть до момента разрыва закону Гука. Согласно Гриффитсу, низкая практическая прочность обусловлена существованием в испытуемых образцах субьгакроскопических трещин. На концах трещин существует концентрация напряжений, величина которых значительно превышает средние значения, которые мы непосредственно] наблюдаем на опыте. Условие разрыва тела Гриффитс определяет как возможность роста трещины, находящейся на поверхности или внутри его. В момент разрыва тело находится в состоянии неустойчивого равновесия, следовательно, его потенциальная энергия имеет максимум. При вычислении потенциальной энергии необходимо принимать во внимание дополнительную энергию, зависящую от присутствия трещин. В случае идеального упругого тела только эта дополнительная энергия и вызывает существование максимума. [c.24]

Необходимо в заключение подчеркнуть, что ни одна из перечисленных трех систем не является достаточной для определения перемещений и напряжений, поскольку число неизвестных в этих системах превосходит число уравнений налицо шесть уравнений (три —выражающих равенство нулю главного вектора и три — выражающих равенство нулю главного момента всех сил, действующих на бесконечно малый объемный элемент сплошного тела), в которые входят 12 неизвестных — девять компонентов напряжения и три компонента перемещения. Поэтому, для того чтобы задача о равновесии сплошного тела под действием заданных внешних сил и при заданн(,1х условиях закрепления стала вполне определенной, необходимо дополнить полученные выше уравнения еще шестью соотношениями, связывающими напряжения с деформациями и выражающими тот закон, по которому материал рассматриваемого тела сопротивляется всевозможным видам деформации. Общие формы такого рода соотношений для идеально упругих тел будут даны в следующей главе. [c.91]

Декартова идея сохранения количества движения имеет свои истоки в единстве Бога и золотом правиле механики, определяющем условия равновесия рычага. Лейбниц апеллирует к галилеевым законам падения тел и гюйгенсовой теореме о сохранении до и после удара абсолютно упругих тел. Гюйгенс, естественно, откликнулся на публикацию Лейбница, но его оценка была весьма осторожной. Оспаривая мнение Лейбница о том, что Декарт вывел свой принцип из эквива-лентности количества движения движущим силам, Гюйгенс считает, что ... если допустить эту эквивалентность и таким способом получить его (Декарта) природный закон количества движения, то отсюда не следует, что закон недостаточно доказан или вовсе не доказан. Для утверждения его ошибочности господину Лейбницу необходимы другие доказательства [187, с. 475]. И далее считает, что Лейбниц может претендовать только на формулировку своего принципа сохранения движущих сил (без доказательства его справедливости). [c.114]

Теория толстых плит, основанная на уравнениях равновесия и неразрывности упругого изотропного тела, на которое действуют только поверхностные силы, была построена Мичеллом [143] и подробно рассмотрена Лявом [58, 299]. С помощью ее были решены только некоторые частные задачи, а поэтому встала необходимость создания технических теорий расчета. Большинство этих теорий связано с учетом касательных напряжений и и использованием трех граничных условий Пуассона для каждого края. Укажем некоторые из этих теорий. [c.131]

Из системы (2.78) видно, что задача определения внутренних сил упругости является статически неопределимой, поскольку в каждой точке три уравнения равновесия связывают шесть неизвестных компонентов напряжения. Для ее решения к уравнениям (2.78) необходимо добавить уравнения, отражающие условия деформации и учитьгвающие физические свойства данного тела. [c.168]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Здесь, конечно, нам не удается выбрать выражение для а, таким образом, чтобы при x = h по формулам (20) и (24) получалось одно и то же значение. Но внезапный скачок напряжения в этом месте не нарушает ни одного из необходимых условий равновесия, а они только и должны быть удовлетворены при решении задачи по рассматриваемому методу. Конечно, было бы лучше избежать скачка, если бы это было возможно, не вводя в наши формулы других дефектов, так как скачок, очевидно, находится в противоречии с упругими свойствами тела. Чем точнее мы удовлетворим действительным условиям еще при первонз- [c.153]

Во-первых, общие уравнения нелинейной теории упругости используются для обоснованного вывода уравнений устойчивости для тонких и тонкостенных тел. Работы этого направления (В. В. Новожилов, 1940, 1948 В. В. Болотин, 1956, 1965 А. И. Лурье, 1966, и др.) уже обсуждались в 3. Во-вторых, решения задач, полученные на основе теории упругости, могут быть использованы для оценки точности и установления границ применения известных приближенных решений. К этому направлению относятся работы Л. С. Лейбензона (1917) и А. Ю. Ишлинского (1954). Заметим, что в этих работах в качестве уравнений для описания форм равновесия, смежных с невозмущенной формой, предлагалось использовать классические уравнения теории упругости внешние силы входили при этом только в возмущенные граничные условия. Этот подход обсуждался недавно А. Н. Гузем (1967). В-третьих, необходимость в привлечении уравнений теории упругости возникает в задачах об устойчивости пластин и оболочек, находящихся в контакте с упругим материалом пониженной жесткости. Применительно к слоистым пластинам с мягким наполнителем этот подход развивался А. П. Вороновичем (1948), В. Н. Москаленко (1964) и другими. Устойчивость цилиндрических оболочек с мягким упругим ядром рассматривалась А. П. Варваком (1966). Типичным для этих задач является применение теории пластин и оболочек к несущим слоям и трехмерной теории упругости — к заполнителю. [c.346]

Во всех тех случаях, когда в конструкциях применяются тонкие стержни или пластинки, необходимо считаться с возможностью потери устойчивости деформации таким образом ставится общая проблема устойчивости упругих систем. Мы уже видели, что первые исследования, относящиеся к проблемам этого типа, были сделаны Эйлером и Лагранжем, которыми был решен ряд отдельных, не связанных между собою задач. Во всех этих задача % при одних и тех же внешних силах возможны два вида равновесия и обычное доказательство 134) однозначности решений уравнений теории упругости оказывается неприменимым. Общая теория устойчивости была предложена Брайаном (G. Н. Вгуап) Он пришел к выводу, что исключения из теоремы об единственности возможны лишь тогда, когда большие относительные смещения разных частей тела сопровождаются малыми деформациями в отдельных точках, как это имеет место в случае тонких стержней и пластинок, или же тогда, когда возникают смещения, мало отличающиеся от тех, которые возможны для неизменяемого твердого тела последнее обстоятельство имеет место, например, в случае сферы, сдавливаемой круглым кольцом несколько меньшего диаметра. Во всех случаях, когда возможны две формы равновесия, критерий для определения той формы, которая будет иметь место, состоит в условии, что энергия должна иметь наименьшее значение. [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...