Уравнение статики в напряжениях

В п. 1.5 гл. I уже говорилось, что задачей статики сплошной среды является разыскание во множестве статически возможных напряженных состояний (удовлетворяющих уравнениям статики в объеме и на поверхности) фактически реализуемого в принятой физической модели среды состояния. Эта модель определяется законом состояния для большого числа сред он состоит в задании связи между тензорами напряжения и деформации [c.101]

Решение в напряжениях. Зависимости Бельтрами. Тензор напряжений 7, удовлетворяющий уравнениям статики в. объеме, должен быть так выбран, чтобы вычисленный по нему тензор деформации удовлетворял условиям совместности (2.1.5) гл. II [c.131]

Уравнению статики в объеме тождественно удовлетворяет представление касательных напряжений через функцию Ф, называемую функцией напряжений [c.389]

По принципу минимума дополнительной работы (п. 2.5 гл. IV) напрял<енное состояние, реализуемое в упругом теле, отличается от всех статически возможных напряженных состояний (удовлетворяющих уравнениям статики в объеме и на поверхности) тем, что оно сообщает минимум функционалу — дополнительной работе. В задаче кручения по Сен-Венану отличны от нуля только касательные напряжения Ххх, Туг. поэтому F представляется в виде [c.412]

Напряжения < у, т у. Рассмотрению подлежат уравнения статики в объеме (5.1.13), на поверхности (5.1.16), зависимости (5.2.2), определяющие Ог, соотношения (5.2.6) и интегральные условия (5.1.10). [c.454]

Итак, функция напряжений Эри удовлетворяет этому дифференциальному уравнению четвертого порядка, называемому би-гармоническим. Оно однородно при выборе частного решения, удовлетворяющего уравнениям статики в объеме и зависимостям Бельтрами. [c.467]

Оно называется плоским напряженным состоянием. Конечно, однородные уравнения статики в объеме записываются в виде (1.2.1), и им можно удовлетворить введением функции напряжений Эри [c.467]

Замечания. 1. Дифференциальные уравнения и натуральные краевые условия вариационной задачи о стационарности функционала П представляют уравнения статики в объеме и на поверхности, в которых тензор напряжений заменен его представлением через закон состояния. [c.677]

Решение строится обратным методом и состоит из нескольких этапов 1) задаемся формой осуществляемого преобразования V- в V-объем, 2) составляется выражение меры (или тензора) деформации, 3) записывается закон состояния, и осуществляется проверка, что определяемый им тензор напряжений удовлетворяет уравнениям статики в У-объеме, 4) определяются поверхностные силы, требующиеся для поддержания этого напряженного состояния. Получаемые при этом порядке построения решения содержательны, если распределение так найденных поверхностных сил (массовые считаются отсутствующими или наперед заданными) достаточно просто реализуемо, а также если постановка задачи допускает замену найденного распределения статически эквивалентной системой поверхностных сил. [c.686]

При решении задач сопротивления материалов приходится применять и методы теоретической механики, и экспериментальные методы. При определении внешних сил приходится основываться на уравнениях статики в случае статически неопределимых конструкций необходимо производить, как это будет показано ниже ( 19), вычисление деформаций материала, что возможно лишь при наличии надёжных результатов лабораторных опытов, в которых определялись зависимости между деформациями и силами или напряжениями. [c.24]

Таким же образом составляются и дают аналогичные результаты уравнения статики в моментах относительно осей х я у.Ъ конечном итоге между касательными напряжениями устанавливаются такие связи [c.37]

Роль тензора напряжений Т в варьированном состоянии отходит к тензору 0. Через этот тензор выражаются уравнения статики в объеме и на поверхности. Конечно, напряженное состояние в актуальной конфигурации должно быть наперед известно. Краевая задача (2), (4) линейна относительно вектора Ее коэффициенты постоянны, если преобразование отсчетной конфигурации в актуальную аффинно, тогда Т—постоянный тензор. [c.115]

В линейной теории упругости, напомним, распространен вариант полуобратного метода, в котором исходным этапом служит задание статически возможного, иначе говоря, удовлетворяющего уравнениям статики в объеме и на поверхности, напряженного состояния. Далее проверяется, что это состояние согласуется с уравнениями Бельтрами — Мичелла этим гарантируется, что линейный тензор деформации, вычисляемый по принятому тензору напряжений, допускает определение вектора перемещения и. Перенесение этого приема в нелинейную теорию затруднено тем, что обращение уравнения состояния — разыскание меры деформации по тензору напряжений из нелинейного уравнения состояния практически неосуществимо (И, 8) и неоднозначно. Аналог уравнений Бельтрами —Мичелла в нелинейной теории может быть использован лишь в исключительных случаях ( 17). Поэтому вторым вариантом полуобратного метода здесь может служить исходное задание меры деформации, удовлетворяющее условиям обращения в нуль тензора Риччи (П1.10.21). По этой мере и по уравнению состояния составляется тензор напряжений. Он должен быть статически возможным его дивергенция должна быть нулем, если не учитываются массовые силы, а по его произведению на вектор нормали определяются поверхностные силы. Конечно, нет оснований ожидать, что такая процедура не потребует при выполнении уравнений статики в объеме конкретизации задания коэффициентов определяющего уравнения, как функций инвариантов меры деформаций (скажем, коэффициентов фг(/1, 2, /з) в (4.3.4)). Значит и формы представления поверхностных сил зависят от выражений этих коэффициентов, иначе говоря, их нельзя представить в единой записи, независящей от того, какой принят закон зависимости удельной потенциальной энергии э(/,, /2, /3) от ее аргументов. [c.135]

Задача о варьировании напряженного состояния, напомним, рассматривалась в гл. 4, 5. Как всегда, речь шла об отсчетной V- И актуальной -конфигурациях. Напряженное состояние задавалось или тензором Пиола Р, или тензором напряжений Коши т. Уравнения статики в объеме и на поверхности тела представлялись соотношениями [c.327]

Уравнения статики сплошной среды в напряжениях [c.137]

Пользуясь теоремой об изменении количества движения, можно вывести и общее уравнение динамики сплошной среды — так называемое уравнение в напряжениях . Уравнение это служит обобщением аналогичного уравнения статики сплошной среды, которое было выведено в 38. Приводимый далее вывод уравнения в напряжениях предполагает знакомство читателя с содержанием этого параграфа. [c.147]

Доказательство как рассматриваемой, так и остальных теорем не предусмотрено, но, пользуясь изображенным тетраэдром, можно сказать учащимся У нас пространственная система сходящихся сил, не известен вектор напряжения на наклонной грани тетраэдра, т. е. не известны три составляющие этого вектора по координатным осям. Статика для этого случая дает три уравнения равновесия, следовательно, напряжение на наклонной грани при любом ее положении может быть найдено. Таким образом, действительно, задание напряжений на трех исходных площадках определяет Н. С. в данной точке . [c.154]

При решении статически неопределимых стержневых систем рассматриваются их статическая, геометрическая и физическая стороны. В первом случае составляются уравнения статики, необходимые для решения данной системы, т. е. система рассматривается неизменяемой. При рассмотрении геометрической стороны задачи систему представляют в деформированном состоянии и составляют уравнения совместности деформаций для этого случая. Физическая сторона задачи состоит в том, что деформации элементов конструкции на основании закона Гука выражаются через неизвестные усилия. Синтезируя эти три задачи, т. е. решая совместно все полученные уравнения, находят неизвестные усилия в стержнях и напряжения в них. [c.64]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

На примере цилиндрической оболочки мы убедились в том, что при плавно меняющейся нагрузке в большей части оболочки можно пренебречь изгибом и напряжениями от изгибающих моментов но сравнению с равномерно распределенными по толщине напряжениями от усилий Гар. Моментное напряженное состояние реализуется только в зоне краевого эффекта, протяженность кото-рой оценивается характерным линейным размером к = УНк. Для оболочки положительной гауссовой кривизны этот результат носит совершенно общий характер, схема расчета таких оболочек строится следующим образом. Сначала находится усилие в оболочке, которую представляют как тонкую, нерастяжимую мембрану, совершенно не сопротивляющуюся изгибу. Эта задача решается с помощью одних только уравнений статики и, собственно говоря, не относится к теории упругости. Соответствующая теория называется безмоментной теорией оболочек. Решение, найденное по безмоментной теории, как правило, не позволяет удовлетворить всем граничным условиям, поэтому вблизи границы рассматривается краевой эффект, связанный с изгибом. Ввиду малости области краевого эффекта, уравнения теории оболочек для этой области принимают относительно простую форму. Для вывода уравнений безмоментной теории нам понадобятся некоторые сведения из теории поверхностей, которые предполагаются известными и сообщаются для справки. [c.423]

Следовательно, уравнений статики недостаточно и задача теории упругости по определению напряжений в бесконечно малом является статически неопределимой. Недостающие уравнения можно получить, изучая деформации тела и учитывая его физические свойства. [c.17]

Зная компоненты напряжений Оу, в любой точке пластинки в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации, можно найти из уравнений статики напряжения на любой наклонной по отношению к осям X W у плоскости (площадке), проходящей через эту точку перпендикулярно пластинке. Обозначим через Р некоторую точку в напряженной пластинке и допустим, что компоненты напряжения a,j, х у известны (рис. 12). На малом расстоянии от Р проведем плоскость ВС, параллельную оси z, так, чтобы эта плоскость вместе с координатными плоскостями вырезала из пластинки очень малую треугольную призму РВС. Поскольку напряжения изменяются по объему тела непрерывно, то при уменьшении размеров вырезанного элемента напряжение, действующее на площадке ВС, будет стремиться к напряжению на параллельной площадке, проходящей через точку Р. [c.36]

При расчете простейших стержневых систем, в которых распределение усилий между стержнями не зависит от их жесткости и определяется по уравнениям статики (статически определимые системы), получаются одинаковые результаты при использовании любого метода расчета — по допускаемым напряжениям и по предельным нагрузкам, ибо несущая способность системы оказывается исчерпанной, когда усилие в одном (наиболее напряженном) стержне достигает предельного значения. [c.548]

Это уравнение равновесия устанавливает связь между напряжениями Ог и О/, однако одного его недостаточно для определения напряженного состояния (т. е. для определения о и порознь). Как всегда в статически неопределимых задачах, дополним уравнения статики уравнениями деформаций. [c.200]

Одному и тому же значению N формально, если исходить лишь из равновесия, может соответствовать бесчисленное множество различных по виду эпюр распределения по поперечному сечению внутренних сил. Во всех трех случаях, показанных на рис. 2,3, продольная сила, соответствующая эпюре а , одинакова N = Р. Таким образом, для того чтобы иметь возможность находить распределение внутренних сил, или, иначе, эпюру напряжений, по поперечному сечению бруса, нужно знать не только величину усилия N. Для отыскания закона распределения внутренних сил по поперечному сечению бруса одних уравнений статики недостаточно. Система относительно этого закона статически неопределима, в то время как относительно величины N, в зависимости от характера закрепления стержня, в одних случаях она может быть статически определимой, а в других — статически неопределимой. Все три эпюры, изображенные на рис. 2.3, а, б, в статически возможны — они удовлетворяют условиям равновесия. Количество таких статически возможных эпюр бесконечно. Но лишь одна из них является действительной. [c.93]

Прежде чем коснуться подбора сечений элементов в статически неопределимых системах, покажем, как выполняется эта операция в системах статически определимых, на примере фермы. В статически определимой системе все усилия находятся из одних уравнений статики и не зависят от соотношения жесткостей элементов. Поэтому после отыскания усилий сечение каждого из элементов можно подобрать так, чтобы наибольшее напряжение в нем было [c.184]

Из трех дифференциальных уравнений равновесия (уравнений статики) найти шесть неизвестных функций не представляется возможным. Имея в виду, что системы, в которых усилия или напряжения не могут быть найдены нз одних уравнений статики, называются статически неопределимыми, приходим к выводу, что напряжения в сплошной среде (за исключением так называемых простейших задач, о которых говорится в главе IX) статически неопределимы. Для выяснения картины распределения напряжений в теле приходится кроме уравнений статики использовать и так называемые уравнения совместности деформаций (см. гл. VI). Граничными условиями для функций, входящих в уравнения (5.59), являются (5.4), если при этом иметь в виду, что наклоненная грань тетраэдра [c.411]

Рассмотрим получение вариационно-матричным способом канонической системы дифференциальных уравнений для решения задач устойчивости н колебаний. При получении разрешающих уравнений будем считать, что в исходном невозмущенном состоянии оболочка напряжена, но не деформирована. Исходное напряженное состояние определяется решением- задачи статики в линейной постановке. При составлении уравнений движения в окрестности исходного состояния будем учитывать начальное напряженное состояние. В деформационных соотношениях кроме линейных составляющих будем учитывать нелинейные слагаемые, связанные с дополнительными углами поворота нормалей. При решении задач рассмотрим только осесимметричное начальное напряженное состояние. Будем считать, что действующие на конструкцию внешние нагрузки при движении системы не изменяются ни по величине, ни по направлению. В целом систему, включая внешние нагрузки и условия связи, будем считать консервативной. Исследование движения системы относительно начального состояния проведем без учета демпфирующих свойств. [c.156]

Дифференциальные уравнения равновесия устанавливают законы изменения напряжений при переходе от точки к точке. С учетом закона парности касательных напряжений (4.4) эти уравнения содержат шесть неизвестных напряжений. Поскольку количество уравнений статики меньше количества неизвестных, то в общем случае задача определения напряжений Рис. 4.6 является статически неопределимой. [c.82]

В. Уравнения статики не дают возможности довести до конца решение задачи определения напряжений по сечению 1—1. Задача оказывается статически неопределимой, и для окончания ее решения нам придется обратиться к рассмотрению деформаций стержня, показанных на рис. 102 и 104. [c.166]

В каждой точке поперечного сечения действуют нормальные напряжения <г. Выделив вокруг любой точки с координатами у и Z элементарную площадку dF, обозначим действующую на нее силу dN adF. Отмеченная часть балки находится в равновесии под действием внешних сил, образующих пару М, и нормальных усилий dN, заменяющих отброшенную часть балки. Для равновесия эта система сил должна удовлетворять шести уравнениям статики. Напишем сначала уравнения проекций на 3 координатные оси х, у, г. [c.218]

Однако полученных трех уравнений статики недостаточно для определения величины нормальных напряжений, так как а изменяется в зависимости от расстояния z площадки dF до нейтральной оси по неизвестному пока закону. Это расстояние (г) тоже неизвестно, так как неизвестно положение нейтральной оси у. [c.219]

Для дорезонансного балансировочного станка в плоскости измерения можно составить пять уравнений статики одно — равновесия сил и четыре — равновесия моментов относительно опор А, В и точек /, II (рис. 16). При этом вместо сил можно записать пропорциональные им напряжения / , и1 11ц электрической цепи разделения плоскостей коррекции [c.55]

Дифференциальные уравнения теории упругости в перемещениях. Основываясь на перечисленных в п. 1.1 исходных соотношениях, легко получить дифференциальные уравнения для вектора и. Достаточно для этого в уравнение статики подставить выражение тензора напряжений через этот вектор. Приходим к равенству [c.126]

Здесь, как выше, 1 = - Ь . Эти выражения, конечно, удовлетворяют уравнениям статики в объеме и краевым условиям на продольных сторонах балки, тогда как зависимости Бельтрами не выполнены, так как функции напряжений (2.5.1) при произвольном задании поверхностных сил не являются бигармониче-скими. Заметим еще, что в представленном решении (2.5.2) торец д = О свободен (в смысле Сен-Венана) от нагружения — на нем продольная и поперечная силы и изгибающий момент равны нулю [см. формулы (2.4.5)]. [c.491]

Аналогичный подход можно найти у Треффца, который, рассматривая решение задач статики упругого тела в напряжениях, рекомендует пользоваться уравнениями равновесия в напряжениях как дополнительными краевыми условиями [105]. [c.46]

Далее рассматривается статически возможное напряженное состо5юие в нем тензор Пиола Р удовлетворяет уравнениям статики в объеме у и на той части поверхности о , на которой задано мертвое поверхностное нагружение [c.142]

Предельная нагрузка не зависит от величины остаточных напряжений, которые могут возникнуть в ненагруженной конструкции в результате сварки ее элементов, неточности монтажа, осадки опор или предварительного ндгружения. Это объясняется тем, что предельная нагрузка определяется из уравнений статики, в которые самоуравновешенные силы не входят. [c.216]

Стержни, работающие на растяжение и сжатие, часто соединяются в стержневые системы более или менее сложного строения. Соответствующий пример был приведен на рис. 2.1.2. Для того чтобы обеспечить воэникновение только растягивающих и сжимающих напряжений, необходимо, как уже было оговорено, чтобы соединения стержней в узле допускали свободный взаимный поворот стержней и чтобы силы прикладывались только в узлах. Заклепочное соединение узлов или сварка их, строго говоря, не дает возможности свободного поворота, поэтому в стержнях, кроме напряжений растяжения — сжатия, возникают напряжения изгиба, о которых будет идти речь в следующей главе. Однако эти напряжения невелики и при расчетах ими обычно пренебрегают. Если ферма статически определима, а это значит, что уравнения статики, составленные для каждого из [c.48]

Но часть того же примера связана с определением деформации е через удлинение Д/, которое можно рассматривать как продольное перемещение одного из концов стержня, если другой конец считать неподвижным. Эта часть задачи чисто геометрическая (кинематическая) и решается независимо от уравнений статики. Для полноты формулировки задачи пока недостает информации о механических свойствах материала, т. е. о его способности сопротивляться силовому воздействию. Эту информацию в механике твердого тела получают из эксперимента, с помощью которого устанавливают зависимость (1.4) деформации б от напряжения а. Эксперимент осуществляют на специальных испытательных машинах, в которых испытаниям подвергают стандартные образцы, и получают зависимость а —г в виде графика, показанного на рис. 1.5. Эта условная диаграмма растяжения a = FlAa, в = = AIIIq), на которой отмечены ряд характерных участков и точек Спи — предел пропорциональности, [c.12]

Задачи о напряженно-деформированном состоянии тел решают существенно различными методами в зависимости от того, можно ли определить напряженное состояние независимо от деформированного состояния или 41апряжения и деформации необходимо определить е их взаимосвязи. Задача называется статически определимой, если напряженное состояние может быть определено на основе лишь уравнений статики. Задача называется статически неопределимой, если для ее решения наряду с уравнениями статики необходимо использовать кинематические и физические соотношения. [c.23]

Проход к вазистационарного температурного поля при соответствующих температурных градиентах приведет к равномерному (подлине) обжатию оболочки,при этом размеры вдоль образующей и толщина должны соответственно возрасти. В данных условиях невозможно возникновение остаточных напряжений, которые приводились бы к осевому или окружному усилиям, так как они не удовлетворяли бы уравнениям статики. Могут возникнуть лишь напряжения, приводящиеся к изгибающим моментам, что явилось бы результатом неравномерной пластической деформации по толщине оболочки (в рассмотренном идеализированном случае, рис. 123, для этого нет причин). Однако эти напряжения, даже если бы они существовали, не способны привести к прекращению односторонней деформации и приспособляемости. Поэтому можно считать, что результаты каждого последующего прохода температурного поля не будут отличаться от предыдущего. [c.224]

Уравнения статики (6) — (8) позволяют определить все напряжения в слое, кроме Oz, с точностью до одной постоянной интегрирования независимо от деформаций слоя, т. е. при наличии проскальзыва ния по всей его толщине слой является статически определимылг. Для этого достаточно знать нагрузки на его поверхностях. Поскольку решения для напряжений содержат лишь одну постоянную интегрирования, то эти нагрузки не могут задаваться произвольно, между ними должно существовать определенное соотношение. [c.67]

Компоненты тензора деформации распались на две группы — группу относительных удлинений и сдвига и группу двух компонент Yi r, 72ф- Распадаются также и уравнения статики — на два уравнения, в которые входят напряжения оь сгг, Т12, Oq, [c.140]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...