Эйлера линеаризованная

Обратимся снова к классической задаче устойчивости шарнирно-опертого сжатого стержня (рис. 1.16). Как показано в 4, линеаризованное уравнение изгиба такого стержня приводит к классической формуле Эйлера [c.36]

Рассмотрим, следуя Эйлеру, смежные формы равновесия в процессе деформирования оболочки. Критическая нагрузка определяется как наименьшая из нагрузок, при достижении которых наряду с исходной формой равновесия становятся возможными смежные формы равновесия, близкие к исходной, но отличные от нее. С практической стороны использование критерия Эйлера сводится к нахождению собственных значений линеаризованных уравнений, полученных из нелинейных дифференциальных уравнений при рассмотрении двух смежных равновесных форм. [c.62]

Последнее равенство, выражающее пропорциональность коэффициента давления в линеаризованном сверхзвуковом потоке местному значению угла между касательной к контуру тонкого профиля и направлением невозмущенного потока — этот угол принято обычно называть местным углом атаки ,— напоминает известную ударную теорию Ньютона, против применения которой в теории обтекания тел несжимаемой жидкостью боролся Эйлер. Как вскоре будет выяснено, ударная теория Ньютона найдет свое применение [c.220]

Здесь, на основе концепции Эйлера о разветвлении форм равновесия и выведенных в предыдущих параграфах нелинейных уравнениях изгиба, устанавливаются линеаризованные дифференциальные уравнения устойчивости многослойных композитных анизотропных оболочек. Подробное изложение этой концепции и методики получения пространственных линеаризованных уравнений устойчивости из нелинейных уравнений теории упругости приведено в монографии [206 ]. Для однородных изотропных абсолютно жестких на поперечные сдвиги и обжатие оболочек эти вопросы достаточно полно рассмотрены, например, в монографиях [85, 104, 189], а для многослойных анизотропных оболочек с ограниченной поперечной сдвиговой жесткостью — в монографиях [52, 60, 116]. [c.59]

Установим линеаризованные уравнения динамической устойчивости. Процедура их вывода аналогична процедуре вывода линеаризованных уравнений устойчивости, основанных на статической концепции Эйлера о разветвлении равновесных форм. Пусть (3.3.1) — невозмущенное движение оболочки и (3.3.2) — бесконечно близкое к нему возмущенное движение. Каждая из систем величин [c.67]

Выпишем линеаризованные кинематические уравнения Эйлера [c.93]

Можно обобщить полученные выше уравнения ш случай движущейся среды. Начнем опять с линейной плоской волны в однородной движущейся среде. Скорость такой волны V может быть представлена в виде с1о + и, где и - скорость движения среды, с - скорость звука в среде, а 1о - направление распространения волны относительно среды. Здесь существенно, что скорость частиц у по-прежнему направлена вдоль V. Действительно, если записать линеаризованное уравнение Эйлера [c.79]

Уравнения (1,4) представляют компоненты уравнения движения по осям X, у г. Они являются укороченной формой общих нелинейных уравнений гидро- и аэродинамики (уравнений Эйлера). Эти линеаризованные уравнения движения мы применим далее для вывода волнового уравнения. Если условие (1,3) не выполнено, то уравнения движения становятся нелинейными. [c.11]

Предложенный метод Ы 1) идентичен методу Чепмена — Энскога вплоть до приближения Навье — Стокса. Дальнейшие приближения аналогичны разложению Гильберта существенными отличиями будут только следующие вместо линеаризованного оператора Эйлера входит линеаризованный оператор Навье — Стокса полная система уравнений сохранения выписывается на каждом втором (а не на каждом) шаге. [c.132]

Парадокс Даламбера нельзя распространить на сверхзвуковое течение даже без учета вязкости математические соображения приводят к существованию положительного лобового сопротивления. Ввиду парадокса обратимости это возможно только потому, что краевая задача (для стационарного движения), определяемая уравнениями Эйлера, не является корректной. Мы покажем сейчас это, начав с рассмотрения линеаризованного сверхзвукового течения (теория тонкого крыла ). [c.34]

Применительно к гравитации легко убедиться, что в ньютоновском приближении возбуждены лишь продольные моды. Это соответствует известному выводу о потенциальности малых колебаний жидкости и прямо видно из линеаризованного уравнения Эйлера [c.106]

Подстановка разложений (3.135) в уравнения Навье-Стокса и совершение предельного перехода при е О показывают, что в первом приближении течение в области I описывается линеаризованными уравнениями Эйлера [c.125]

Здесь опять индексом 20 отмечены распределения функций течения в невозмущенном пограничном слое в точке, где находится неровность. Подстановка разложений (8.105) и (8 Л 06) в уравнения Навье-Стокса и совершение предельного перехода при Моо оо, 6 О, X Ои(5 <С > (5 показывают, что в первом приближении течение в области 3 описывается линеаризованными уравнениями пограничного слоя Прандтля, а в области 2 — линеаризованными уравнениями Эйлера [c.406]

При Ь линеаризованная система уравнений Эйлера, описывающая течение в области 2, допускает частичное интегрирование [c.415]

Подстановка разложений (8.146) в уравнения Навье-Стокса и совершение предельного перехода при е О и <С 6 показывают, что в первом приближении течение в области 2 опять будет описываться линеаризованными уравнениями Эйлера, из которых получается [c.415]

Линеаризованные уравнения устойчивости. Стержневые и тонкостенные композитные элементы конструкций при некоторых условиях нагружения могут терять устойчивость. Наиболее распространенным критерием, дающим конструктивное определение критической нагрузке, при которой покоящаяся упругая система теряет устойчивость, является статический критерий Эйлера. Согласно этому критерию под критическим понимается наименьшее значение нагрузки, при котором кроме исходного состояния равновесия существует близкое к нему возмущенное состояние. [c.328]

Существенно, что уравнения (1.65) и соответствующие им граничные условия являются однородными, поскольку заданные поверхностные и краевые нагрузки учитываются уравнениями (1.64), устанавливающими связь между этими нагрузками и до-критическими усилиями, В связи с эт ш линеаризованные уравнения устойчивости всегда допускают кулевое решение, соответствующее исходному состоянию равновесия, т. е. уравнениям (1.64). Согласно критерию Эйлера критической является первая (по мере развития нагружения) комбинация усилий Л , Л при которой система уравнений ( .65), а также .2 ,1 и (1.26)—(1.28) будет иметь ненулевое решение, т. е. будет существовать равновесное состояние, соответствующее дополнительным перемещениям и, V, Ы . Знаки в уравнениях (1.65) соответствуют растягивающим докритическим усилиям и N 1,. [c.329]

При решении проблемы числа форм равновесия системы в основном стараются выяснить пределы изменения параметров нагрузки, при которых данная упругая система имеет единственную форму равновесия. Можно было бы предполагать, что эти пределы определяются первой точкой ветвления решений тех нелинейных уравнений, которые описывают деформацию упругой системы, а сама первая точка ветвления определяется как наименьшее собственное значение соответствующей линеаризованной краевой задачи. На пути отождествления этих трех понятий точки, определяющей область существования единственной формы равновесия упругой системы точки ветвления решений уравнений деформированного состояния упругой системы и наименьшего собственного числа линеаризованной задачи — и решались задачи устойчивости еще со времени Эйлера [27]. В некоторых случаях такая концепция получила теоретическое обоснование. Эти вопросы рассматривались в известной работе Ф. С. Ясинского [28] и окончательно решены для шарнирно-опертого стержня в работе [1]. Вместе с этим совершенно очевидно, что отождествление всех трех указанных понятий далеко не всегда правомерно, и этот вопрос должен быть рассмотрен в первую очередь. [c.257]

Тензоры Гц и ец — (антисимметричный) тензор бесконечно малого поворота и линеаризованный эйлеров тензор деформации соответственно. Последний — симметричный тензор деформации из классической линейной теории упругости. [c.87]

Коэффициент К 8) в уравнении (2.42) в точности совпадает с коэффициентом /С( ) в линеаризованном уравнении Эйлера, [c.201]

Возникает еще вопрос обоснованности этих уравнений с вычислительной точки зрения. Отметим, что решение линейных задач с такими уравнениями не сложнее решения уравнений Эйлера, т.е. менее трудоемкое, чем решение линеаризованных уравнений Навье-Стокса. Численное решение нелинейных уравнений также не намного сложнее, чем решение нелинейных уравнений Навье-Стокса, из-за того, что интегральные ядра являются достаточно сосредоточенными. [c.254]

Уравнения (2.7) суть линеаризованные уравнения Эйлера, неразрывности и состояния баротропного газа. Далее найдем [c.259]

Течение в окрестности передней кромки. В этой области основное течение является потенциальным, а возмущения описываются линеаризованными уравнениями Эйлера с условиями непротекания на стенке. В связи с малым размером рассматривае- [c.112]

В результате подстановки (2.1) в уравнения Навье-Стокса и совершения предельного перехода в области 2 получим систему линеаризованных уравнений Эйлера [c.61]

V os ср это ясно из того, что невозмущеиная скорость входит в исходное линеаризованное уравнение Эйлера только в комбинации (vV). Очевидно, что и такие возмущения будут неустойчивы. [c.155]

О —ku)v = k 2p /p, которое следует из линеаризованного уравнения Эйлера + (uv)v= -yVp. [c.370]

От сделанного выше предположения о направлении скорости v можно изба-вшься, заметив, что невозмущенная скорость входит в ис.ходные линеаризованные уравнение непрерывности п уравнение Эйлера только п комбинации (vV) (соответственно в членах (vV)p и (vV)v ). Поэтому для перехода к произвольному направлению v (в плоскости ху) достаточно заменить в (1) — [c.453]

Проблема отыскания критической силы при потере устойчивости рассматриваемого типа (потеря устойчивости в смысле Эйлера) сводится к отысканию нетривиального реиления линеаризованной задачи о равновесии системы в отклоненном от первоначальной формы возможном положении равновесия. [c.325]

Сначала покажем, что из этого условия следут основное линеаризованное уравнение (4.33). Уравнение Эйлера для функционала (5.4) имеет вид (см. приложение II) [c.180]

Некоторые модификации явных схем интегрирования началыюй задачи. по параметру, связанные с уточнеююм традиционной схемы метода последовательных нагружений, предложены в работах [231, 256,321]. В первый из них, по существу, предлагается процесс интегрирования по методу Эйлера дополнить одной итерацией метода Ныотона-Рафсона. Позже такая модификация шагового процесса использовалась в [290]. В статье [256] обратнзпо матрицу Якоби линеаризованной пошаговой задачи предлагается строить также путем продолжения на основе разложения ее в ряд Тейлора в окрестности предыдущего значения параметра. Такой подход позволяет не обращать матрицу Якоби на каждом шаге интегрирования. [c.185]

Центральное место в монографии занимает третья глава, в которой на основе единой кинематической гипотезы, позволяющей учесть поперечные сдвиговые деформации, удовлетворить условиям межслоевого контакта и условиям на граничных поверхностях, из принципа возможных перемещений получены нелинейные тензорные уравнения статики упругих анизотропных слоистых оболочек и сформулированы соответствующие им краевые условия. Указаны предельные переходы к уравнениям классической теории оболочек и ортотропной оболочки, предоставляющим возможность учета эффектов сдвига в одном направлении ортотропии (армирования) и неучета — в другом. Приведены упрощенные уравнения, пригодные для расчета пологих оболочек. Линеаризованные уравнения статической устойчивости слоистых оболочек, основанные на концепции Эйлера о разветвлении форм равновесия, сформулированы в параграфе 3.4, а в параграфе 3.5 из принципа виртуальных работ эластокинетики выведены нелинейные уравнения динамики. Здесь же приведены линеаризованные уравнения динамической устойчивости слоистых оболочек и пластин, обсуждены предельные переходы и упрощения, подобные тем, какие были сделаны в задаче статики. Параграф 3.5 посвящен формулировке неклассических уравнений многослойных оболочек в системе координат, связанной с линиями кривизн поверхности приведения. В этой же системе координат составлены уравнения, описывающие осесимметричную деформацию слоистой ортотропной оболочки вращения. В параграфе 3.7 описаны [c.12]

Рассмотрим задачу об устойчивости равновесия упругой слоистой анизотропной оболочки вращения, нагруженной осесимметричной системой внешних сил, интенсивности которых пропорциональны одному параметру. Докритическое равновесное состояние оболочки определяем на основе линеаризованных уравнений статики, а его устойчивость исследуем в рамках статической концепции Эйлера о разветвлении фop равновесия, позволяющей трактовать (см. параграф 3.3) задачу устойчивости как линейную краевую задачу на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными. Решение этой задачи строим в форме тригонометрических рядов Фурье по угловой координате (см. параграф 3.6) с коэффициентами, зависящими от меридиональной координаты. Отделяя угловую координату и вводя 2х-мерный вектор j>(x) вариаций безразмерных кинематических и силовых характеристик напряженно-деформированного состояния оболочки (см. параграф 3.6), приходим к линейной краеюй задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которую запишем в векторной форме [c.205]

В общем случае изучение механических процессов в начально-деформированных телах необходимо проводить в рамках нелинейной теории упругости. Однако, множество процессов, происходящих в начально-деформированных телах, можно рассматривать в рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (возмущений) на конечные деформации (начальное состояние) в предположении, что возмущения малы. Традиционно [30, 41, 42] различают три состояния тела естественное (ненапряженное) состояние (ЕС), начально-деформированное состояние (НДС) и актуальное (возмущенное по отношению к НДС) состояние. При этом особое значение приобретает выбор системы координат, которая может быть связана либо с естественной конфигурацией (система координат Лагранжа или материальная система координат), либо с актуальной конфигурацией (система координат Эйлера) [30, 41, 42]. Линеаризованные уравнения движения существенным образом зависят как от выбора системы координат, так и от выбора определяющих соотношений, поскольку имеет место возможность определения напряженного состояния различными тензорами (Коши, Пиола, Кирхгофа и т.д.) и множественность их представления через меры деформации (Коши-Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Более детально с особенностями постановки задач для преднапряженных тел можно ознакомиться в монографиях А. И. Лурье [41], А. Лява [42] и А. Н. Гузя [30]. [c.290]

В случае -малых возмущений линеаризованное у)эавнение Эйлера запишется как [c.173]

Задача об эволюции начальных возмущений решается Arendt et al. [1997J на основе линеаризованных уравнений Эйлера и условий сопряжения па вихревой пелене (типа выписанных в п. 4.4.1) с применением преобразования Лапласа. Рассмотрим случаи т = О, -1, -2 с соответствующими начальными условиями. [c.206]

Подстановка разложений (8.119) и (8.120) в уравнения Навье-Стокса и совершение предельного перехода при сх), <5 О, х О, <5 <С > <С показывают, что в первом приближении течение в области 3 описывается линеаризованными уравнениями пограничного слоя Прандтля (8.107), а в области 2 — линеаризованными уравнениями Эйлера, которые при условии затухания возмупдений вверх по потоку при Ж2 могут быть преобразованы к следуюпдему виду [c.409]

Подстановка разложений (8.140) или (8 Л 41) в уравнения Навье-Стокса и соверше-ние предельного перехода при е 0ие / <Сб<С1 показывают, что в обоих случаях течение в области 2 в первом приближении будет описываться линеаризованными относительно набегающего потока и = Ъ/ )Ау2 или и = 1 20(1/2)) уравнениями Эйлера, причем при <С 6 <С использование разложений (8Л40) или (8Л41) приводит к одному и тому же основному результату [c.415]

Подстановка разложений (8 Л 63) или (8.164) в уравнения Навье-Стокса и совершение предельного перехода при е Оие / <С 1 показывают, что в обоих случаях течение в области 2 в первом приближении будет описываться линеаризованными относительно набегаюпдего потока (г = с/е)Ау2 илиг = 1 20(1/2)) уравнениями Эйлера без члена др/дх в уравнении сохранения продольного импульса, причем при <С <С с <С <С 6 1 использование разложений (8Л62) или (8Л64) приводит к [c.419]

В работе [25] предложена простая теория усилителя, близкая по форме построения к теории неустойчивости Гельмгольца. Суть ее в следующем. Рассматривается односкоростной цилиндрический ламинарный поток несжимаемой жидкости с плотностью ро, который описывается гидродинамическими уравнениями Эйлера для радиальной vr) и продольной (г>г) компонент скорости. Возмущениями по азимутальной координате (р пренебрегают. В предположении, что под действием начального возмущения возникающие переменные величины изменяются по закону ex]) iuit — ikz), где ш — действительная величина, линеаризованные уравнения движения имеют вид [c.174]

Несмотря на то, что выше мы не налагали никаких ограничений на функции и , такие ограничения возникают из-за особенностей, Щ)исущих сферическим волнам, В частности, если рассматривать расходящуюся сферическую лну, представляющую наибольший интерес для приложений, то нетрудно убедиться, о в случае ограниченного во времени волнового оцесса звуковое давление должно удовлетворять соотношению J (з оИ-О. В самом деле, проинтегрируем линеаризованное уравнение Эйлера (1,4) по времени в пределах от - до .В результате полу- [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...