Тензор бесконечно малых

При изучении течения сплошного тела в переменных Эйлера часто используют тензор бесконечно малых деформаций за время d . В этом случае бесконечно малый вектор перемещения [c.73]

Соответствующий тензор бесконечно малых деформаций получим на основании формулы (3.68) [c.73]

При изучении движений сплошной среды в переменных Эйлера используется тензор бесконечно малых деформаций среды за время di, когда вводится вектор относительных перемещений точки и за время At, равный [c.9]

Соответствующий этому вектору тензор бесконечно малых деформаций получается ио формуле (1.37) (за состояние отсчета берется состояние среды в момент времени I) [c.9]

Тензор бесконечно малых деформаций. В рассматриваемой точке тела деформация является бесконечно малой, если начальное и конечное состояния сопутствующей системы координат в этой точке разнятся бесконечно мало, так что длины векторов базиса и углы между ними за время деформации изменились на бесконечно малые величины. Следовательно, компоненты деформации = [c.85]

Главные компоненты тензора бесконечно малых деформаций, или главные деформации 8t 3 63 являются корнями кубического уравнения (1.82), если заменить в нем /j на /j (Те) [c.87]

Положение главных осей tie, t] , т] , тензора бесконечно малых [c.87]

Выразить физические компоненты тензора бесконечно малых деформаций через физические компоненты Uj-, а, г вектора перемещения. [c.88]

Вторые ковариантные производные тензора бесконечно малых деформаций найдем по формуле (1.137). Учитывая равенство нулю смешанных компонент [c.90]

Интенсивность деформаций и интенсивность деформаций сдвига. Как и любой симметричный тензор второго ранга, тензор бесконечно малых деформаций Tt. можно разложить на шаровой тензор Ре и девиатор D = Ре. Л- De, или в матричной форме в прямоугольной декартовой системе координат [c.91]

Интенсивность деформаций — скалярная величина, характеризующая деформацию в точке. С точностью до постоянного множителя 2/т/3 она равна интенсивности r (Те) тензора бесконечно малых деформаций. Получим, заменяя в (1.100) на е [c.91]

Поясните геометрический смысл компонент тензора бесконечно малых деформаций. [c.92]

Что такое плоское деформированное состояние Запишите для него матрицы тензоров бесконечно малых деформаций, скоростей деформаций и на- [c.133]

В кинематике сплошных сред, наряду с принятыми в кинематике дискретной системы точек понятиями перемещений, скоростей и ускорений, появляется характерное для сплошной среды представление о бесконечно малой деформации среды, определяемой тензором деформаций. Если рассматривается непрерывное движение текучей среды, то основное значение приобретает тензор скоростей деформаций, равный отношению тензора бесконечно малых деформаций к бесконечно малому промежутку времени, в течение которого деформация осуществилась. Как с динамической, так и с термодинамической стороны модель сплошной среды отличается от дискретной системы материальных точек тем, что вместо физических величин, сосредоточенных в отдельных ее точках, приходится иметь-дело с непрерывными распределениями этих величин в пространстве — скалярными, векторными и тензорными полями. Так, распределение массы в сплошной среде определяется заданием в каждой ее точке плотности среды, объемное силовое действие — плотностью распределения объемных сил, а действие поверхностных сил — напряжениями, определяемыми отношением главного вектора поверхностных сил, приложенных к ориентированной в пространстве бесконечно малой площадке, к величине этой площадки. Характеристикой внутреннего напряженного состояния среды в данной точке служит тензор напряжений, знание которого позволяет определять напряжения, приложенные к любой произвольно ориентированной площадке. Перенос тепла или вещества задается соответствующими им векторами потоков. [c.9]

Чтобы получить уравнения равновесия конечного элемента оболочки в классической линейной постановке, необходимо в исходном равенстве (29) вместо тензора конечных деформаций (14) использовать тензор бесконечно малых деформаций [c.287]

В случае классической линейной теории потери устойчивости оболочек поиск нагрузок бифуркации существенно упрощается вместо тензора конечных деформаций (14) в уравнениях устойчивости используется тензор бесконечно малых деформаций (38). В этом случае для конечного элемента оболочки вместо уравнения (41) получаем матричное уравнение устойчивости [c.289]

Чтобы полнее развить этот подход, важно начать с точного описания деформации, для чего в некоторых примерах используется тензор конечных деформаций. Однако чтобы сохранить связь с обычным подходом, в других примерах используется тензор бесконечно малых деформаций. Задачи этой главы выявляют различие между этими двумя подходами и показывают, при каких условиях можно с достаточной точностью использовать более простое описание через тензор малых деформаций. [c.26]

Тензор бесконечно малых деформаций. Компоненты этого (симметричного) тензора [c.26]

Показать, что если а,у — бесконечно малые такого порядка, что их произведениями можно пренебречь, то компоненты тензора бесконечно малых деформаций задаются следующим образом [c.27]

Компоненты тензора бесконечно малой деформации по определению равны [c.140]

Определим тензор бесконечно малой деформации в виде [c.123]

Тензор бесконечно малого смещения (3.3) является тензором порядка 0,(6). При выполнении условия (3.4) тензор напряжения Коши Т и тензор напряжения Пиолы — Кирхгофа Tr друг другу эквивалентны [c.124]

Так как мы остаемся в рамках необратимой термодинамики, используем принцип локального состояния. Мы предполагаем, что состояние некоторого малого элемента модельного тела элементарной подсистемы) полностью характеризуется тензором бесконечно малых упругих деформаций е , плотностью энтропии т) и скалярным внутренним переменным и, смысл которого пока еще не определен. Некоторые предположения относительно этого параметра будут даны, в разд. 5. Предполагается, что величины е и х исчезают в исходном состоянии при температуре Г = Го. [c.209]

Тензоры бесконечно малых деформаций [c.120]

Так называемая теория малых деформаций в механике сплошных сред имеет своим основным условием требование малости градиентов перемещения по сравнению с единицей. Основной мерой деформации служит разность [йх) — (йХ) , которую можно выразить через градиенты перемещения, подставляя (3.40) и (3.41) в (3.36) и (3.38) соответственно. Если градиенты перемещения малы, то тензоры конечных деформаций в (3.36) и (3.38) сводятся к тензорам бесконечно малых деформаций, а результирующие соотношения представляют малые деформации. [c.120]

Аналогично если ди дх 1, то в (3.41) произведением можно пренебречь и мы придем к эйлерову тензору бесконечно малых дв формаций, который по определению равен [c.120]

При расчете элементов конструкций за пределами упругости очень часто пользуются приращениями деформаций и соответственно скоростями деформаций. Тензор бесконечно малых приращений деформаций имеет вид [c.46]

Поскольку разложение (1.23) относится к бесконечно малым перемещениям, то и о тензоре обычно говорят как о тензоре бесконечно малых деформаций или просто — тензоре малых деформаций (иногда — линейном тензоре деформаций). [c.59]

Здесь а , а — базисные векторы выбранной фиксированной пространственной системы координат. Выделим в и.., тензор бесконечно малых деформаций [c.81]

Этот важнейший вывод из теоремы Гельмгольца, конечно, относится к бесконечно малым деформациям и мог быть сделан уже после введения понятия о тензоре бесконечно малых деформаций ( 2). Более ого, поскольку этот тензор по структуре и физическому смыслу сходен с тензором скоростей деформаций, то и физическая интерпретация компонент тензора скоростей деформаций может быть получена путем процедуры, аналогичной относительно компонент U.J ( 2), Диагональные компоненты тензора представляют собой скорости относительных удлинений по координатным осям, а недиагональные — половину скоростей угловой деформации в соответствующих координатных плоскостях, так что в криволинейных координатах имеем [c.187]

Температурные напряжения 386 Тензор — бесконечно малых — потенциалы 274, 276 — потоки 287 — силы 287 Термостат 274 [c.507]

Теперь мы рассмотрим следствия, которые имели бы место, если бы это неравенство было принято. Прежде всего рассмотрим бесконечно малую деформацию из отсчетной конфигурации. Тогда Р = 1, То = (1) и 8 = 1 + Ё, Где Ё —тензор бесконечно малой меры деформации, Е 0. Условие (5) принимает вид [c.322]

Только что проведенные рассуждения без труда распространяются на Од в самом деле, они остаются пригодными во всех отношениях, если Тд заменяется на 0 - , р на р и если интерпретируется как тензор бесконечно малых деформаций. В частности, скорость изменения работы диссипации принимает вид [c.87]

Тензоры Гц и ец — (антисимметричный) тензор бесконечно малого поворота и линеаризованный эйлеров тензор деформации соответственно. Последний — симметричный тензор деформации из классической линейной теории упругости. [c.87]

Тензоры деформаций и скоростей деформаций являются разными тензорами, но e.jAt являются компонентами тензора бесконечно малых деформаций, соответствующего перемещению за время At, т. е. [c.97]

Теперь сосредоточим внимание без существенной потери общности на бесконечно малых деформациях неугынеыно-упругнх тел с трещинами, подвернутых неравномерному нагреву. В этом случае тензор бесконечно малых деформаций е,/ можно разложить на составляющие [c.136]

Показать, что багу = Рг/ +Показать также, что если начальное деформированное состояние можно достаточно точно описать тензором бесконечно малой деформации еу, то его изменение при дальнейшей деформации будет 2беу = [c.29]

Введенный в рассмотрение тензор скоростей дает возможность получить еще одну характеристику сплошной среды — тензор бесконечно малой деформации. Так как вектор скорости V в эйлеровых координатах имеет компоненты Ук = с1хк/сН, к = 1,2,3, то компоненты вектора перемещения за время при переходе от одной актуальной (в момент времени t) конфигурации сплошной среды к последующей (в момент времени t + А ) будут 11к УкА1. [c.55]

В пределах интервала dt при данном t(xu Х2, лсз) будет лагранжевой ортогональной системой координат в репере i. Тензор бесконечно малых деформаций среды за время dt обозначим Vijdt= e ih причем Vij называется тензором скоростей деформаций среды в эйлеровом пространстве. [c.85]

Если как градиент перемещения, так и само перемещение малы, то разница между материальными и пространственными координатами частицы среды очень мала. Поэтому компоненты материального градиента ди дХ и компоненты пространственного градиента ди 1дх1 почти равны и эйлеров и лагранжев тензоры бесконечно малых деформаций можно принять равными. Таким образом, если и перемещения, и их градиенты достаточно малы, то [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...