Эйлера градиент

Во внешнем потоке 2 (см. рис. 7.1) градиент скорости dW ldy в реальных условиях не равен нулю, но мал по сравнению с градиентом скорости dw ldy в пограничном слое 1 и поэтому касательные напряжения (1.15) также малы, и силами трения можно пренебречь. Здесь течение можно считать потенциальным (без вязкости) и для расчета такого течения пользоваться вместо сложных уравнений Навье — Стокса (2.29), (2.30) и (2.31) более прост>ши уравнениями Эйлера (2.32). [c.104]

Рассмотрим вначале систему координат Эйлера. Выделим элемент жидкости длиной dx, движущийся в канале (рис. 4). На выделенный элемент жидкости действуют силы во-первых, сила, обусловленная градиентом давления, во-вторых, сила трения, обусловленная градиентом скорости. Тогда, согласно законам сохранения количества движения и массы, уравнения 34 [c.34]

Таковы уравнения Эйлера динамики идеальных жидкости или газа. По тем же соображениям, что и в 11, вывод уравнений Эйлера в прямоугольных криволинейных координатах не составляет труда. Для этой цели, в частных случаях цилиндрической и сферической систем координат, достаточно вспомнить формулы (48) и (49) гл. I для проекций ускорения на оси прямоугольных криволинейных координат и соответствующие этим координатам формулы проекций градиента скалярной функции (III.18) и (III.19). Уравнениям Эйлера можно придать иной, полезный для дальнейших выводов вид, указанный И. С. Громека и Г. Ламбом. Для вывода этого [c.89]

Последнее слагаемое уравнения Эйлера содержит произведение удельного объема 1/р на компоненту градиента давления. Его можно записать с помощью термодинамических соотношений (см. приложение IV) в виде [c.158]

Что касается градиентов давления, то здесь надо воспользоваться уравнением Эйлера и условием (VII. 1.3) [c.180]

На основании предположения 3 можно использовать одномерное уравнение Эйлера для замены градиента скорости в уравнении (30). Таким образом, используя (31) и (32), можно записать уравнение (30) в виде [c.54]

Для записи уравнений Эйлера в произвольной ортогональной системе координат необходимо добавить представление для градиента по направлению от вектора а Л/Ь, а для уравнений Навье - Стокса - еще и представление для оператора Лапласа, действующего на векторную функцию. Компоненты лапласиана могут быть вычислены путем замены скалярной функции в приве- [c.37]

Для широкого класса задач механики сплошной среды — задач механики деформируемого твердого тела — характерна малость не только градиентов перемеш,ения, но и модуля и (или U ) по сравнению с характерным размером тела h, т.е. и //г <С 1 (или U /h <С 1). В этом случае различие между пространственными и материальными координатами мало, а лагранжев и эйлеров тензоры малой деформации можно полагать равными, т. е. [c.45]

В третьей зоне градиенты скорости конечны или малы, а поэтому при малых ц малы и касательные напряжения, обусловленные вязкостью, и ими можно пренебречь. Эту зону обычно называют внешним потоком-, для описания движения жидкости в ней можно пользоваться уравнениями идеальной жидкости в форме Эйлера. Мы будем в дальнейшем считать внешний поток потенциальным. [c.329]

Существенным предположением теории пограничного слоя является малость продольных градиентов функций по сравнению с поперечными. Поэтому в уравнениях Прандтля отсутствуют старшие производные по продольной переменной и уравнения ОТНОСЯТСЯ к параболическому типу, что значительно упрощает решение задач. Позднее Л. Прандтль сформулировал концепцию последовательного уточнения результатов, которая эквивалентна теории слабого взаимодействия внешнего невязкого течения с пограничным слоем. Из решения уравнений Эйлера при граничных условиях непротекания должны быть получены граничные условия для пограничного слоя. Затем решается задача для пограничного слоя, а из этого решения определены поправки к граничным условиям для внешнего невязкого потока и т. д. Предполагалось, что такой процесс последовательного уточнения решения может сходиться, а позднее был введен термин теория пограничного слоя второго приближения [c.9]

Рассмотрим некоторые общие свойства асимптотических решений уравнений Навье-Стокса при стремлении характерного значения числа Рейнольдса к бесконечности. Для определенности будем считать, что рассматривается задача внешнего обтекания тела с характерным линейным размером I сверхзвуковым потоком вязкого газа. Нетрудно установить, что в большей части течения при Де сх) влияние вязкости исчезает и уравнения Навье-Стокса переходят в уравнения Эйлера. Вблизи поверхности тела в пределе образуется поверхность контактного разрыва (благодаря чему выполняется условие прилипания), которая при некоторых условиях может отрываться от поверхности тела. Если вдоль такой поверхности продольные градиенты параметров течения достаточно малы, то, как известно, ее структура в первом приближении описывается уравнениями типа уравнений пограничного слоя Прандтля. [c.71]

В этом результате, показывающем, что О и W суть симметричная и антисимметричная части градиента скорости, выражается фундаментальное разложение Эйлера — Коши — Стокса мгновенного движения на сумму чистого растяжения вдоль тре.х [c.106]

Далее, сравнение с (5.34) показывает, что для малых градиентов смещения тензоры в (5.37) можно истолковывать как эйлеров тензор напряжений и материальное приращение упрощенного тензора деформаций (5.28). [c.88]

Если теперь предположить градиент смещения малым, то получатся определяющие уравнения классической линейной теории упругости. В этом случае тензор деформации 8у определяется соотношением (5.28), и из (5.33) следует, что Ту можно истолковывать как эйлеров тензор напряжений. [c.94]

Условия совместности ( ) могут быть получены прямой подстановкой ) в уравнения Эйлера—Лагранжа ( ) и приравниванием пулю сумм коэффициентов при одинаковых степенях градиентов д13(р . [c.159]

Общие уравнения гидродинамики сильно упрощаются при применении их к несжимаемой жидкости. Правда, уравнение Эйлера не меняет своего вида, если положить в нем р = onst, за исключением только того, что в уравнении (2,4) можно внести р под знак градиента [c.37]

Будем рассматривать жидкость в системе координат, вращающейся вместе с ней. Как известно, при таком описании в механические уравнения движения должны быть введены дополнительные силы — центробежная и кориолисова. Соответственно этому, надо добавить такие же силы (отнесенные к единичной массе жидкости) в правую сторону уравнения Эйлера. Центробежная сила может быть пр е,дставлена в виде градиента V [Or] 2/2, где Q — вектор угловой скорости вращения жидкости. Этот член можно объединить с силой —Vp/p, введя эффективное давление [c.66]

В 37 уже было дано понятие о векторе-гда цднге скалярной функции. Для понимания основ кинематики сплошной среды, в частности для определения ускорения в переменных Эйлера, необходимо углубить представление о градиенте скалярной функции, связав его с понятием о производной в пространстве [c.332]

Термины прашый и левый условны, так как, например, если вместо F базовым несимметричным тензором деформаций был бы принят тензор градиента места то термины правый и левый пришлось бы поменять местами. Для тензоров деформаций, являющихся функциями правого тензора кратностей удлинений U, часто используются термины материальный или лагранжев , а для тензоров деформаций, являющихся функциями левого тензора кратностей удлинений V, — пространственный или эйлеров . Эти термины искажают механический смысл тензоров деформаций, так как все они по своей сути материальные [63]. [c.35]

Легко проверить, что если решение в виде (11.25) искать для уравнений Эйлера, Навье — Стокса и тринадцатимоментных уравнений Г рада, то дисперсионные уравнения приводят соответственно к детерминантам (11.30), (11.31) и (11.32). Две последние строчки в детерминанте (11,31) появляются из уравнений, определяющих связь между тензором напряжений и вектором потока тепла 5,, соответственно с градиентами скоростей и температур. При этом коэффициенты вязкости и теплопроводности обратно пропорциональны Хо2 и Хц, [c.206]

Перейдем теперь к результатам исследования течений с очень большими локальными градиентами давления. Основные положения асимптотической теории течений этого типа приведены в работе [35]. В качестве типичного примера рассматривается течение разрежения около угловой точки контура тела в сверхзвуковом потоке вязкого газа.Угловая точка может иметь небольшое округление с малым радиусом кривизны порядка толшдны невозмущенного пограничного слоя ( Ке / ). В этом случае, согласно классической теории пограничного слоя, при Йе -> оо на большей части течения влияние вязкости исчезает и уравнения Навье — Стокса переходят в уравнения Эйлера. Вблизи поверхности тела в пределе образуется поверхность тангенциального разрыва (благодаря чему выполняются условия прилипания), которая при некоторых условиях может отрываться от поверхности тела. [c.249]

Однако около угловой точки давление и угол наклона вектора скорости меняются на порядок по величине на малой длине. Тогда в области толщиной Ве имеющей всегда дозвуковой участок профиля скорости, составляющие скорости и, е , нормальные и тангенциальные к поверхности тела, имеют одинаковый порядок величин. Из уравнений неразрывности и импульса следует, что на длинах в окрестности угловой точки продольный и поперечный градиенты давления имеют одинаковый порядок. Использование этих оценок при совершении предельного перехода Не оо в уравнениях Навье — Стокса приводит к уравнениям Эйлера. Однако решения уравнений Эйлера не позволяют удовлетворить условиям прилипания на контуре тела. Поэтому на длинах Не / приходится рассматривать еще один, более тонкий слой, в котором главные члены уравнений Навье — Стокса, связанные с вязкостью, имеют порядок инерционных членов. Из этого условия вытекает оценка толщины области вязкого течения, которая оказывается пропорциональной Не" . В случае обтекания нетеплоизолнрованного тела возникают дополнительные особенности предельного решения уравнения энергии, с которыми можно познакомиться в работе [21]. Использование известного принципа асимптотического сращивания решений в разных характерных областях течения (см., например, [41]) позволяет получить все необходимые граничные условия. Сращивание решений для локальной области, имеющей продольный и поперечный размеры Не" / , и для внешнего сверхзвукового потока дает внешнее краевое условие для локальной области. Сращивание с решением в невозмущенном пограничном слое дает профили параметров в невозмущенном набегающем потоке , т. е. при (ж/Не" /2) ----оо. Из-за малой толщины области вязкого течения [c.249]

В общем случае изучение механических процессов в начально-деформированных телах необходимо проводить в рамках нелинейной теории упругости. Однако, множество процессов, происходящих в начально-деформированных телах, можно рассматривать в рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (возмущений) на конечные деформации (начальное состояние) в предположении, что возмущения малы. Традиционно [30, 41, 42] различают три состояния тела естественное (ненапряженное) состояние (ЕС), начально-деформированное состояние (НДС) и актуальное (возмущенное по отношению к НДС) состояние. При этом особое значение приобретает выбор системы координат, которая может быть связана либо с естественной конфигурацией (система координат Лагранжа или материальная система координат), либо с актуальной конфигурацией (система координат Эйлера) [30, 41, 42]. Линеаризованные уравнения движения существенным образом зависят как от выбора системы координат, так и от выбора определяющих соотношений, поскольку имеет место возможность определения напряженного состояния различными тензорами (Коши, Пиола, Кирхгофа и т.д.) и множественность их представления через меры деформации (Коши-Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Более детально с особенностями постановки задач для преднапряженных тел можно ознакомиться в монографиях А. И. Лурье [41], А. Лява [42] и А. Н. Гузя [30]. [c.290]

Перейдем в систему координат, вращаюитуюся вместе с жидкостью. Тогда появляются дополнительные силы - центробежная и кориолисова. Центробежная сила 1/2У[0 хг] приводит к радиальному изменению статического давления, и в уравнении Эйлера ее можно объединить с градиентом давления, введя эффективгюе давление [c.173]

Приведенные на рис. 5 сравнения результатов экстраполяции с теоретическими кривыми позволяют утверждать, что в рамках уравнений Эйлера, несмотря на присутствие в тройной точке особенности с бесконечными градиентами параметров, течение в ней описывается трехударной теорией, а там, где она не работает, - четырехволновой. Более того, именно указанная особенность обуславливает чрезвычайно малые размеры области больших градиентов, что, в свою очередь, ранее приводило к выводам о физической и численной нереализуемос-ти этих режимов. [c.245]

Если как градиент перемещения, так и само перемещение малы, то разница между материальными и пространственными координатами частицы среды очень мала. Поэтому компоненты материального градиента ди дХ и компоненты пространственного градиента ди 1дх1 почти равны и эйлеров и лагранжев тензоры бесконечно малых деформаций можно принять равными. Таким образом, если и перемещения, и их градиенты достаточно малы, то [c.120]

Балансом энергии, выраженным уравнением (8.34), не учитывается циркуляция газов в поперечных сечениях потока, происходящая из-за разности температур и плотности газов в разных точках. Данное допущение для инженерных расчетов можно признать приемлемым ввиду малости вызываемых этими явлениями градиентов давлений вдоль нормалей оси потока. Указанная циркуляция газов подчиняется закону свободной струи в неограниченном пространстве, количество движения которой, согласно теореме Эйлера, остается постоянным (/ =С0П51) [c.325]

С точки зрения оценки практического значения уравнения продольных колебаний и уравнений С. П. Тимошенко эта утрата, однако, не очень существенна. Как будет видно из дальнейшего, в задачах о распространении деформаций в пластинах и стержнях интерес представляют не столько истинные фронты, сколько квазифронты, на которых напряжения хотя и не терпят разрыв, но имеют существенно большие градиенты. Энергия волнового пакета, непосредственно следующего за истинным фронтом, на достаточно большом расстоянии от источника возмущения х > 1) относительно мала. Подавляющая же часть энергии следует за квазифронтом. Это в значительной мере снижает интерес к описанию картины движения в окрестности фронта и заставляет проявлять внимание к области, где сосредоточена большая часть энергии движения. Последнее необходимо иметь в виду при оценке возможностей приближенных уравнений динамики пластин и стержней. Более того, заботясь преимущественно о правильной оценке распространения энергии, нельзя безоговорочно отвергнуть даже уравнение Бернулли—Эйлера (35.17) как аппарат для изучения распространения изгибных деформаций вдоль стержней лишь на том основании, что в нем принимается ах = аз = О, т. е. скорости распространения фронтов считаются бесконечно большими. В следующих параграфах приводятся примеры, иллюстрирующие высказанные выше положения и проливающие свет на степень точности и на области применимости различных приближенных вариантов уравнений динамики стержней и пластин. Попутно приводятся и некоторые количественные данные относительно распространения самоуравновешенных возмущений. [c.233]

Уравнениями Эйлера в естоственной форме называются дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости, выраженные в форме проекций на оси натурального триедра (на ка-сате тьяую и главную нормаль к линии тока) (фиг. 8-5).Обозначая направление касательной через I и принимая во внимание, что проекция градиента давления на направление I равна [c.119]

Связь между ускорением потока у и градиентом давления выражается уравнением Эйлера (2. 29) ——J Знак минус показывает, что ускорение направлено в сторону убыли давления. В изоградиентном диффузо,.е произведение ускорения на плотность постоянно по длине диффузора [c.111]

Процесс теплоотдачи называют стационарным, если поле температуры t (L) не зависит от времени, и нестационарным, если распределение температуры в потоке жидкости зависит от времени. Опыт показывает, что при ламинарном течении поле температуры в потоке жидкости непрерывно. Распределение средней во времени температуры в турбулентном потоке также, по-видимому, обладает свойствами непрерывного поля. Поэтому в дальнейшем распределение температуры в потоке жидкости будет рассматриваться в качестве непрерывного поля, для которого сохраняет смысл понятие о градиенте температуры grad t и векторе плотности потока тепла q. Для регистрации потоков жидкости и тепла используют систему отсчета Эйлера. [c.232]

Наиболее простой путь численного интегрирования дает способ Эйлера—Кощи [6], согласно которому градиент /г осредняется в пределах некоторого интервала времени At, так что вместо (4.1.6) можно пользоваться выражением для конечно-разностного приращения [c.233]

Выражение под знаком градиента есть функция, зависящая толь ко от времени, и следовательно, справедливо равенство (3.5). Если дополнительно к условиям теоремы 2 предположить, чт движение жидкости установившееся, т.е. 5ф/Й s О, то интегра Коши (3.5) совпадет с интефалом Бернулли (3.3). Функцию g(0 этом случае следует рассматривать как постоянную во всей облас ти движения. Полученный интефал называется интефалом Бер нулли—Эйлера и отличается от интефала Бернулли тем, что по стоянная в правой части не зависит от выбора линии тока. j В качестве примера рассмотрим задачу об истечении несжи-1 маемой идеальной жидкости из отверстия малой площади в сосуде (рис. 64). Пусть уровень жидкости в сосуде Н, S — площадь поверхности цилиндрического сосуда, s — площадь сечения от-. верстия на глубине Н. Давление воздуха (поверхностные силы на свободной поверхности жидкости) равно р . Поле массовых сил есть поле силы тяжести f=-jge , — орт вертикали. Рассмотрим процесс истечения жидкости как безвихревое установившееся течение идеальной несжимаемой жидкости, прене гая понижением уровня жидкости на изучаемом интервале времени. Эти условия будут выполняться с достаточной степенью точности, если S s-и если с момента начала течения прошло некоторое время и тече- ние приобрело установившийся характер. Обозначим скорость понижения уровня жидкости в сосуде через v, а скорость истечения из отверстия — через V. Уравнение неразрывности имеет вид = sV, г интефал Бернулли—Эйлера представляется в форме [c.262]

В настоящее время развитие вычислительной техники привело к широкой разработке подходов, основанных на расчете пространственных течений в турбомашинах как в квазитрехмер-ной, так и в трехмерной постановках при интегрировании нелинейных уравнений Эйлера, в том числе и с использованием модели пограничного слоя. Эти подходы в значительной степени миновали стадию разработки и на их основе уже осуществляется проектирование лопаточных венцов для течений, не подвергающихся воздействию больших градиентов давлений, когда поток остается присоединенным на всей поверхности обтекания. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...