Плотность вероятности — Понятие

Наработка на отказ статистически определяется отношением суммарной наработки восстанавливаемых объектов к суммарному числу отказов этих объектов. Под восстанавливаемым объектом понимается объект, работоспособность которого в случае возникновения отказа подлежит восстановлению в рассматриваемой ситуации (ГОСТ 13377 — 75). Определение термина интенсивность отказов базируется на применяемом в теории надежности понятии плотности вероятности отказа в момент t, под которым понимается предел отношения вероятности отказа в интервале времени от г до f + Д f к интервалу А t при Ы - О, т. е. физический смысл плотности вероятности отказа есть вероятность отказа в достаточно малую единицу времени. [c.145]

Центральными понятиями в статистической механике являются представление о микроскопических состояниях макросистемы, характеризуемых значениями обобщенных координат qi и импульсов pi , и понятие о плотности вероятности распределения микросостояний, определяемой энергией (гамильтонианом) системы H = H qi , pi ) и характером взаимодействия системы с окружающей средой [c.144]

A. Понятие ансамбля, функция плотности вероятности и корреляционная функция..................249 [c.242]

Предположим, что известна плотность вероятности эксплуатационного процесса. Тогда можно ввести понятие такой амплитуды, при которой величина энергии гистерезиса случайного процесса Шс будет с вероятностью X % меньше некоторой энергии соответствующей амплитуде При определении будем предполагать, [c.106]

Понятия, основанные на учете одного вида интервала времени. Прежде всего рассмотрим понятие надежности, которое развивалось на протяжении многих лет. Надежность системы или элемента оборудования — это вероятность того, что оборудование будет сохранять работоспособность по крайней мере на протяжении заданного интервала времени при использовании его в определенных условиях ). Функция надежности / (i) представляет выражение этой вероятности как функции длины интервала времени от О до /. Таким образом, надежность определяется с помощью интегральной функции распределения. Соответствующая плотность вероятности называется плотностью [c.21]

Существует несколько характеристик, которые необходимо вычислить в связи с двойной классификацией интервалов времени. Если известно, что система находится в интервале времени определенного вида, то желательно узнать вероятность ее пребывания в этом интервале по крайней мере на протяжении заданного времени, т. е. интегральную функцию распределения. С помощью интегральных функций можно вычислить плотности вероятности, средние значения, дисперсии и т. д. Необходимо также количественно определить некоторые отношения интервалов времени различного вида с учетом двух критериев. Эти отношения связаны с такими понятиями, как внутренняя готовность и оперативная готовность. Некоторые из этих характеристик будут рассмотрены более подробно с постановкой математических задач и применением количественных критериев принятия решений. [c.28]

Преобразование Ст(0 в Kit) происходит по определенным законам, которые обусловлены внутренними параметрами металла, а именно - плотностью вероятности распределения времен релаксации ДА.), поскольку, как мы уже неоднократно отмечали, металл -вероятностная система, для характеристики которой используются вероятностные функции. Закон преобразования может быть выражен при помощи передаточной функции. Вспомним некоторые понятия теории управления. [c.152]

Планирование испытаний на усталость — Экономический аспект 197—199 Плотность вероятности — Понятие 6 [c.228]

Понятие стационарного случайного процесса. Процесс U (t) называют стационарным, если все его вероятностные характеристики инвариантны относительно выбора начала отсчета времени. В частности, математическое ожидание и одномерная плотность вероятности этого процесса не зависят от времени, а двухмерная плотность вероятности и моментная функция второго порядка зависят от разности аргументов 2 — но не от каждого аргумента в отдельности. Если накладываются только ограничения на одномерные и двухмерные распределения, то процесс называют стационарным в широком смысле. Стационарные случайные процессы служат удобной моделью для реальных процессов, свойства которых достаточно медленно изменяются во времени. [c.271]

Ввиду того, что каждая частица одновременно взаимодействует с очень большим числом соседей, влияние ее на распределение остальных частиц крайне незначительно. Тем самым нахождение функции распределения частиц системы сводится к задаче о движении одной частицы в поле, созданном остальными частицами. Благодаря движению частиц это поле флуктуирует, и движение выбранной частицы является стохастическим (вероятностным). Для таких случайных процессов можно ввести понятие вероятности перехода частицы из точки X в элемент объема dy вблизи точки у за время г. Символами х и у мы обозначаем точки, символом с1у — элемент объема г-пространст-ва. Обозначая И (у,х т,() плотность вероятности перехода из точки х в точку у за время г, для вероятности перехода получим [c.453]

Пользуясь понятием плотности вероятности для дискретной случайной величины, найдите плотность вероятности Я, (х) случайной величины х - числа испытанных приборов, если вероятность отказа для каждого прибора равна 0,5. [c.59]

Выясним более подробно, эквивалентно ли понятие некоррелированности случайных величин понятию независимости. Было показано, что две независимые случайные величины всегда являются некоррелированными. Возникает вопрос — справедливо ли обратное утверждение Рассмотрим пример. Система двух случайных величин (X, Y) имеет равномерную плотность вероятности внутри окружности радиуса R [c.49]

Рассмотрим далее наряду с понятием плотности вероятности нахождения частицы в различных точках пространства и такое понятие, как плотность потока вероятности. Для этого возьмем интеграл / I Ф р с/У по некоторому конечному объему V. Этот интеграл представляет собой вероятность нахождения частицы в этом объеме. Найдем производную по времени от этого интеграла [c.475]

Функция плотности вероятности. Другим методом представления случайной функции может быть использование понятия функции плотности вероятности. Если, как и ранее, А —случайная переменная, ап — количество сделанных измерений, то вероятность того, что данное измерение будет находиться в пределах Лд и Аа + бА, определится так [c.247]

X — переменное значение случайной величины г/ —плотность вероятности, определяемая по формуле (1.39). Проведем нормирование кривой распределения , заключающееся в том, что площадь, ограниченная кривой нормального распределения, осью абсцисс и двумя ординатами, абсциссами Х] и Х2, в соответствии с математическим определением понятия вероятности приводится к единице. [c.295]

С понятием вероятности безотказной работы аппарата тесно связано понятие плотности вероятности f (t). [c.47]

Если каждая х принимает конечное множество значений, то вероятность попадания рассчитывают обычным способом, а если каждая xi — это непрерывная случайная величина, то следует пользоваться понятием плотности вероятности. [c.592]

Введенное выше Р-представление оператора плотности (см. лекции 9—11) можно рассматривать как определение понятия, адекватного понятию распределения вероятности в фазовом пространстве. Комплексная а-плоскость, на которой определена Р-функция, есть видоизменение понятия фазового пространства. Более того, как мы уже отмечали, Р-функция имеет ряд свойств, общих с распределением вероятности однако эта функция может иметь отрицательное значение и сингулярности, что не свойственно функции плотности вероятности. Такое поведение Р-функции не должно казаться странным, поскольку она в противоположность распределению плотности вероятности не является непосредственно измеряемой физической величиной. [c.122]

В ряде физических задач приходится иметь дело не с конечномерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а с системой уравнений в частных производных (п = оо). В этом случае понятие плотности вероятностей не всегда имеет смысл и приходится рассматривать характеристический функционал для соответствующих полей. Уравнение для характеристического функционала при этом является функциональным уравнением с вариационными производными, представляет собой бесконечномерный аналог УЭФ и может быть названо приближением диффузионного случайного процесса. Исключением являются уравнения в частных производных, содержащие производные по пространственным координатам только первого порядка. Такие уравнения, как хорошо известно, эквивалентны конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, и, следовательно, ста- [c.81]

Теперь понятие плотности вероятностей не всегда имеет смысл, и приходится рассматривать уравнение в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи,. которое в этом случае играет роль стохастического уравнепия Лиувилля и называется уравнением Хопфа (см., например [29]). Усредняя последнее по ансамблю реализаций стохастических параметров, получаем замкнутое уравнение в вариационных производных. Полученное уравнение для характеристического функционала представляет собой бесконечномерный аналог уравнений, соответствующих обыкновенным дифференциальным уравнениям и квазилинейным уравнениям в частных производных. Если же исходное уравнение само является линейным, то несущественно, какие у него производные (первого или более высокого порядка по пространственным переменным) важно лишь выполнение условия причинности (т. е. уравнение должно быть первого порядка по времени и для него должна ставиться задача Коши). Если условие причинности нарушается, т. е. мы имеем не задачу Коши, а краевую задачу, то в этом случае надо воспользоваться теорией инвариантного погружения, сводящей краевые задачи к задачам Коши для вспомогательных уравнений. [c.164]

Для непрерывной случайной величины вероятность какого-то определенного численного значения равна нулю, так как число возможных значений равно бесконечности. Поэтому для ее характеристики используется понятие плотности вероятности. [c.36]

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, основное понятие статистич. физики, характеризующее плотность вероятности распределения ч-ц статистич. системы по фазовому пространству (т. е. по координатам qi и импульсам Pi) в классич. статистич. физике или по квантовомеханич. состояниям в квант, статистике. [c.834]

Для более корректного использования рассмотренных понятий необходимо иметь в виду следующее. Хотя термины дифференциальная функция распределения и интегральная функция распределения являются распространенными, введение этих новых (по сравнению с принятыми в теории вероятностей функцией распределения и плотностью распределения) терминов нельзя считать оправданным. Кроме того, нужно иметь в виду, что часто встречающееся в химико-технологической литературе определение понятия распределения времени пребывания как функции отклика на какое-либо возмущение концентрации трассера на входе не является вполне строгим, поскольку распределение времени пребывания существует независимо от того, был подан трассер или нет. Введение трассера есть только один из способов регистрации распределения времени пребывания. Можно экспериментально определить распределение времени пребывания без каких-либо измерений концентраций. Например, можно получить информацию о распределении времени пребывания, следя с помощью кино- или рентгеносъемки за траекториями отдельных меченых частиц. [c.283]

Показателями безотказности для изделий перемонтируемых или заменяемых после первого нарушения работоспособности могут служить, например, вероятность безотказной работы, интенсивность отказов. Вероятность безотказной работы определяется по формуле Р t) = 1 — F ), где F ) — функция распределения времени работы объекта до отказа. Статистически вероятность безотказной работы определяется отношением числа объектов, безотказно наработавших до момента времени t, к числу объектов, работоспособных в начальный момент времени t = 0. Определение интенсивности отказов базируется на применяемом в теории надежности понятии плотности вероятности отказа в момент t, под которой понимается предел отношения вероятностей отказа в интервале времени от / до -Ь А/ к величине интервала Л/ при Л/ -> 0. [c.31]

По-видимо,му, лучше всего могут помочь непараметрическне методы. Особенно они полезны при описании основных понятий и соответствующих математических методов исследования. Большое внимание должно быть обращено на разработку и изучение соотношений, устанавливающих связь между различными параметрами. Проведенные ранее исследования основывались главным образом на арифметических средних, а не на рассмотрении плотностей вероятностей и, следовательно, на довольнО грубых приближениях. Моделирование на вычислительных машинах представляется многообещающим, и следует продолжать исследования в этом направлении. Наконец, необходимо связать эффективность и ценность системы. Выше, при рассмотрении ценности системы, учитывались четыре характеристики. Можно взять и большее число характеристик. В любом случае следует выработать общее представление о ценности системы и определить связанные с ним понятия при помощи соответствующего исследования слол<ного критерия для выбора решений. [c.50]

Рассмотрим еще один вопрос, связанный со структурой медицинской памяти. Пусть имеем некоторый признак х, выражающийся в виде непрерывной величины (например, температура тела). Понятие испытание в этом случае состоит в измерении этой величины. Переменная л разбивается на ряд интервалов х .....х и попадание результата измерения в один из них представляет собой один дискретный исход испытания N — признак). Таким образом, для каждой непрерывной величины в медицинской памяти отводится ряд столбцов л 1, л 2,. . ., х , объединенных одним испытанием N,. Содержимое этих столбцов по строке В / представляет собой вероятности Р (xJB/), Р (xJB ),. . Р (xJBj), т. е. содержимое соответствующей строчки для указанных столбцов является гистограммой распределения вероятностей переменной Х-, табулированной для выбранных градаций. Эта гистограмма определяется опытным путем на основании статистической обработки медицинского архива, в процессе самообучения системы и т. д. Если вместо гистограммы можно представить распределение величины л в виде некоторой аналитической функции распределения (с определенной степенью приближения) рд,- (х), обладающей некоторыми параметрами Aj, Bj, j.. . ),то таблицу можно существенно упростить и вместе с тем повысить точность. Для этого нужно иметь подпрограмму вычисления функции (х), а в соответствующем элементе таблицы проставлять код вызова подпрограммы. Теперь уже достаточно в кодированной истории болезни отметить конкретное значение измеренной величины х, по коду будет вызвана упомянутая подпрограмма, осуществляющая вычисление искомой плотности вероятности. [c.102]

ЭРЕНФЁСТА ТЕОРЕМЫ—теоремы, утверждающие, что ср. значения величин (координат, импульса, энергии), характеризующих движение частицы в квантовой механике, а также ср. значение силы, действующей на частицу, связаны между собой ур-ниями, аналогичными соответствующим ур-ниям классич, механики. Установлены П. Эрен-фестом (Р. Ehrenfest, 1927) на основе сопоставления частице пакета волн де Бройля j (.Y, t) (см. Волновой пакет). В случае одной пространств, координаты (я), учитывая, что 1 1/(л , /) есть плотность вероятности обнаружить частицу в нек-рой точке х, естественно вводится понятие центра (тяжести) волнового пакета как ср. значения координаты [c.636]

Вводя понятие плотности вероятности для канонического распределения Гиббса, мы рассматривали множество экземпляров одной и той же системы с одинаковыми числами частиц и объемами (канонический ансамбли Гиббса). Рассмотрим теперъ более широкий ан- [c.312]

Понятие энтропии как меры неопределенности тесно связано с понятием количества информации о состоянии стохастической системы в некоторый момент времени. Информационный смысл энтропии раскрыт в многочисленных работах по теории информации и широко используется при решении задач связи, кодирования и т. п. [13, 25]. Еще одной областью эффективного применения энтропийных подходов является математическая статистика. В данном параграфе мы рассмотрим задачу о восстановлении гипотетической плотности вероятности]Гслучайной величины по выборочной информации на основе принципа максимума энтропии. Этот пример еще раз иллюстрирует справедливость сформулированного выше принципа и указывает дополнительное направление его использования. [c.49]

Поэтому легко предвидеть, что в статистической механике будет играть очень большую роль понятие о ТУ -частичной функции распределения (это — обш епринятое наименование плотности вероятности одновременного пребывания первой частицы в точке XI со скоростью 1,. . частицы в точке х у со скоро- [c.24]

В. В. Соболев ввел в теорию понятие вероятности выхода фотона из среды [70]. Это понятие определяется следующим образом. Произведение 27гр(г, r))dr] обозначает вероятность, что фотОн, находившийся в поглощенном состоянии на глубине г в полубесконечной атмосфере с изотропным рассеянием, выйдет из этой среды под углом ar os 7/ в телесном угле 27rd7j после любого числа рассеяний. Тогда р(г, rj) называется вероятностью выхода фотона из полубесконечной среды (точнее, это плотность вероятности). [c.69]

Остановимся теперь вкратце на некоторых других формулировках проблемы турбулентности, эквивалентных ее формулировке в терминах моментов гидродинамических полей, предложенной А. А. Фридманом и Л. В. Келлером. Как мы уже знаем, проблема турбулентности состоит в нахождении распределения вероятностей Р(сгсо) на функциональном пространстве Q = (о) полей гидродинамических элементов. В случае конечномерного пространства 2 для задания распределения вероятностей в прикладных задачах обычно используется либо плотность вероятности (описывающая вероятность попадания в фиксированный элемент объема рассматриваемого пространства), либо же характеристическая функция — преобразования Фурье от соответствующей плотности вероятности. Для бесконечномерного пространства не существует простого понятия элемента объема и поэтому нельзя говорить о плотности вероятности однакО аналог характеристической функции здесь тем не менее может быть опреде- [c.466]

Понятие о марковском процессе. Если движение системы описывается стохастически.ми дифференцнальньши уравнения.ми, то эволюция во времени совместной плотности вероятности неизвестных подчиняется, вообще говоря, некоторому дифференциальному или интегро-дифференциальному уравнению. Это уравнение будем называть кинетическим. Важный класс процессов, для которых применение кинетических уравнений позволяет получить содержательные результаты, образуют марковские процессы. Простой марковский процесс — это процесс без последействия, т. е. такой процесс, при котором распределение вероятностей в момент /х зависит от распределения в предшествующий момент 2 <С и не зависит от истории системы. [c.540]

В данном разделе мы поясним понятия среднего и флуктуа-ционного поля, а также средней и флуктуационной мощности. Существуют различные способы описания флуктуационных характеристик поля. Наиболее важными характеристиками являются дисперсии, корреляционные функции, функции когерентности, моменты высших порядков, энергетические спектры п функции плотности вероятности. Мы дадим здесь определения этих величин и опишем их взаимосвязь. В дальнейшем эти сведения будут использоваться при решении задачи рассеяния на облаке случайно распределенных частиц. [c.92]

Функцию ш(Х, г) = ш(91, qг,. .., рп, <) называют фазовой плотностью распределения. Ее можно также рассматривать, как плотность вероятности того, что система имеет данное состояние. (Очевидно, что произвольность выбора здесь не используется, так что понятие вероятности можно понимать и чисто формально.) С течением времени изображающие точки нашей совокупцости движутся в фазовом пространстве, поэтому меняется и плотность их распределения ш. Найдем законы изменения этой функции. [c.179]

Здесь следует заметить, что упомянутые ранее соображения против существования плотности IV (Хх, х Х3) в координатном пространстве только в ограниченной степени 0ТН0СЯ1СЯ к соответствующей плотности вероятности в пространстве импульсов. Проблематичным является здесь только то, можно ли точно измерить импульс частицы в произвольно короткий промежуток времени [см. ч. I, уравнение (23)]. Нет сомнения, напротив, что импульс может быть измерен с любой точностью за достаточно продолжительное время. Таким образом, для волнового пакета свободной частицы, когда импульс не меняется со временем, XV р , р,, Рз), несомненно, определимо точно. Больше того если даже свободная частица подвержена действию каких-либо сил (взаимодействию с другими частицами и ш излучением) в течение конечного интервала времени, можно измерить с произвольной точностью импульс частицы до и после взаимодействия. Распределение скоростей частиц после соударения является и в релятивистской квантовой теории точным и вполне разумным понятием. То же самое относится, как мы [c.256]

Наряду с условными функциями распределения вида (1.49) в ряде случаев находятся условные функции распределения х при фиксированных значениях ti = Xг. С этой целью вводится понятие условной функции плотности вероятности, а fixN) представляется как [c.19]

В случае непрерывной АЭ смысл некоторых приведенных выше характеристик меняется и могут быть введены дополнительные характеристики процесса. Поскольку теперь теряется смысл понятия амплитуды импульса, суммарная АЭ и скорость счета АЭ определяются числом выбросов случайного процесса за уровень дискриминации, т.е. числом превышений регистри -руемой величиной (напряжением, током) установленного уровня дискриминации i/д. Соответственно вместо амплитудного распределения должна использоваться плотность вероятности АЭ w (А), определяющая долю времени наблюдения, в течение которого значение регистрируемой величины находится в ин -тервале значений вблизи А в соответствии с формулой (8.2). [c.166]

Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего важность соотношения неопределенностей для анализа явлений микромира, движение электрона в основном состоянии атома водорода. В теории Бора точечный электрон движется по орбитам, которые квантованы. Однако его движение по квантованной орбите ничем не отличается от механического перемещения частицы вдоль траектории в классической механике. В рамках квантовой механики нельзя говорить о движении электрона по траектории, но можно говорить о вероятности местонахождения электрона в той или иной области пространства. Это обстоятельство также связано с принципом неопределенности если электрон зафиксирован в какой-то точке пространства в какой-то момент времени, то его импульс, а следовательно, и скорость становятся полностью неопределенными и понятие траектории теряет смысл. Распределение вероятностей координат 3j/eKTpoHa в атоме водорода рассмотрено в 30. Здесь достаточно заметить, что имеются вероятности пребывания электрона достаточно далеко от ядра и достаточно близко. Наиболее вероятным расстоянием в основном состоянии является расстояние до первой боровской орбиты в теории Бора. Это заключение в принципе может быть подтверждено экспериментально. В настоящее время проведено достаточно много измерений распределения плотности электронного облака в атомах и эти измерения находятся в хорошем согласии с предсказаниями квантовой механики. [c.120]

Рассмотрим характер излучательных переходов, основываясь на классической работе Эйнштейна, который еще в 1917 г. ввел понятие о спонтанных и индуцированных переходах. Система, состоящая из двух уровней, показана на рис. 29. Если Е > Е , энергетический уровень 2 лежит выше уровня / и частица находится на уровне 2, то она может перейти на уровень /, испустив квант электромагнитного излучения Лv2l = Е — Е . При этом возможно как спонтанное, так и вынужденное излучение. Вероятность спонтанного излучения, т. е. того, что процесс произойдет за промежуток времени (И, составляет Л 21 При облучении происходит взаимодействие кванта излучения с частицами, составляющими систему, что приводит к одному из двух процессов переходу частицы с уровня / на уровень 2 (поглощение) или, если частица была возбуждена, к обратному переходу (испускание). Вероятность, что какой-то из процессов произойдет за время сИ, пропорциональна плотности излучения и (у) и поэтому может быть записана соответственно В12 и (V) (И и 21 и (V) си. [c.60]

Свойства безотказности обычно характеризуются плотностью распределения времени безотказной работы или эквивалентными ей функциями интегрального закона распределения и интенсивностью отказов. Наиболее распространенной характеристикой безотказности является вероятность безотказной работы, так как физическое содержание этого понятия полнее отвечает практическим требованиям. Функции (20), (21), (23) и (24) характеризуют случайную величину (время работы до отказа). Поэтому эти функции характеризуют безотказность неремонти-руемых изделий или ремонтируемых изделий до первого отказа. [c.44]

Рассмотрим теперь необратимый процесс. Следует подчеркнуть относительность понятия необратимый процесс. Отнисичельность необратимых процессов и абсолютность процессов обратимых основывается на статистических исследованиях, подтверждающих ту точку зрения, что система может вновь, через какой-то промежуток времени, возвратиться к своему первоначальному состоянию, вернее пройти через него. Из этого вытекает вполне очевидное следствие, по которому всякий процесс, с вероятностью близкой к единице, можно считать обратимым, точнее обращающимся процессом. В этом абсолютность обратимых процессов. Однако, если подсчитать (методами теории вероятности) время, через которое система вновь пройдет через первоначальное состояние, то окажется, что для этого не хватит жизни целых поколений, эти величины огромны Например, М. Смолуховский подсчитал время, через которое в выделенном определенном шаровом объеме атмосферного воздуха нормальной плотности можно ожидать увеличения концентрации кислорода на 1 % выше нормальной. При радиусе шара R = I см время возврата равно Ю лет [c.25]

Допустим, что диаметр частиц наполнителя лежит в пределах D—dD<, D. Введем понятие относительного диаметра частиц й=1)г//)макс, где Дмакс, — соответственно максимальный диаметр и диаметр i-й частицы. Очевидно, что величина k будет в общем случае заполнять непрерывный промежуток от О до I, т. е., иными словами, диаметр i-й частицы по своим размерам будет заполнять непрерывный промежуток значений от О до макс- Кроме того, величина Di или величина ki является вероятностной, поэтому ее можно характеризовать плотностью распределений вероятностей значений этой величины p k). Зная функцию p k) (см. гл. 3), можно отыскать математическое ожидание, т. е. среднее значение величины k [c.226]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...