Плотность нормальных мод

Периодический потенциал 214 Пироэлектрики 297 Плазменная частота 158 Пластическая деформация 128 Плотная упаковка шаров 28 Плотность нормальных мод 171 [c.383]

Таким образом, если среда, заполняющая резонатор, обладает дисперсией, то даже при эквидистантном спектре к плотность нормальных мод в различных участках спектра будет различной. Это дает один из способов измерения дисперсионных свойств одномерных сред, особенно ценный, например, при исследовании цепочек линейных полимеров. Допустим, мы смогли равномерно возбудить все степени свободы цепочки, тогда снятый экспериментально спектр ее колебаний будет просто суперпозицией плотностей спектральных распределений, соответствующих различным дисперсионным ветвям. Для каждой ветви плотность спектрального распределения (плотность числа осцилляторов) вводится формулой [c.85]

Плотность нормальных мод см. Плотность уровней (фононных) [c.428]

НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ И ФОНОНЫ ТЕПЛОЕМКОСТЬ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ ТЕПЛОЕМКОСТЬ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ МОДЕЛИ ДЕБАЯ И ЭЙНШТЕЙНА СРАВНЕНИЕ РЕШЕТОЧНОЙ И ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ПЛОТНОСТЬ НОРМАЛЬНЫХ МОД (ПЛОТНОСТЬ ФОНОННЫХ УРОВНЕЙ) АНАЛОГИЯ С ТЕОРИЕЙ ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРНОГО ТЕЛА [c.79]

ПЛОТНОСТЬ НОРМАЛЬНЫХ мод (ПЛОТНОСТЬ ФОНОННЫХ УРОВНЕЙ) [c.92]

Часто бывает удобно свести такие выражения к интегралам по частоте, вводя плотность нормальных мод на единицу объема ) g (л), определяемую таким образом, чтобы величина -(со) о) представляла собой полное число мод с частотами в бесконечно малом интервале между о) и о) йо), деленное на полный объем кристалла. При использовании плотности g сумма или интеграл в (23.32) приобретает форму [c.92]

Из сравнения (23.33) с (23.32) ясно, что плотность нормальных мод можно представить в виде [c.92]

Плотность нормальных мод называют также фононной плотностью уровней поскольку если мы описываем решетку на языке фононов, а не нормальных мод, то число нормальных мод должно трактоваться как число фононов. [c.92]

Кроме того, для области 1Ь была построена частотная гистограмма удельного количества порывов водоводов г. Уфы (рис. 3.6). По оси Y откладывались частоты отказов, по оси X - удельное количество порывов. Сплошной линией проведена кривая плотности нормального распределения с параметрами подобранными для рассматриваемой выборки. Как это следует из приведённой таблицы и графика, распределение порывов близко к нормальному закону. Однако значение моды отличается от величин средней и медианы. Коэффициенты асимметрии и эксцесса имеют сравнительно большое значение. Поэтому дополнительно было проведено тестирование по критерию Колмогорова-Смирнова, результаты которого приведены в табл. 3.6. [c.63]

Собственные функции. Существует бесконечно много способов осуществления струны с неравномерными плотностью и натяжением. Поэтому бесконечно велико и число различных полных наборов функций Л (г). Синусоидальные функции от 2 не являются единственными функциями для разложения f (2). Но они замечательны своей простотой. Эти функции определяют люды всегда, когда мы имеем пространственно однородную систему. В противном случае применение синусоидальных функций не будет особенно успешным. Вместо них следует попытаться найти такие функции Л,,,(2), которые соответствуют нормальным модам системы. Эти функции A z), или в общем случае Л (х, у, г), называются собственными функциями системы. Они дают пространственную зависимость нормальных мод. [c.78]

Сравнение формулы (23.9) для средней плотности тепловой энергии кристалла при температуре Т с формулой (23.4) для энергии в отдельном стационарном состоянии позволяет заключить, что тг8(к) есть среднее значение числа, описывающего степень возбуждения нормальной моды кх при температуре Т. При использовании представления о фононах величина тг5(к) дает среднее число фононов типа кх в состоянии теплового равновесия ) при температуре Т. [c.81]

Использование плотности уровней позволяет весьма компактно сформулировать приближение Дебая и его ограничения. Если все три ветви спектра характеризуются линейным законом дисперсии (23.21) и если волновые векторы нормальных мод считать лежащими в сфере радиусом /Сд, а не в первой [c.92]

Аналогия между фотонами и фононами, описанная на стр. 80, может быть продолжена — существует соответствие между теорией равновесного теплового электромагнитного излучения (т. е. теорией излучения черного тела ) и теорией колебательной энергии твердого тела, которую мы только что рассмотрели. В рамках классической физики, господствовавшей на рубеже нашего столетия, в обоих задачах возникали неразрешимые трудности. Так, если закон Дюлонга и Пти не мог объяснить малые удельные теплоемкости твердых тел при низких температурах, то в классической теории излучения не удавалось получить выражение для плотности энергии излучения твердого тела, которое не приводило бы к бесконечности после суммирования по всем частотам (ультрафиолетовая катастрофа, или катастрофа Рэлея — Джинса). В обоих случаях трудность была связана с тем, что, согласно классическому результату, все нормальные моды должны вносить одинаковые вклады к Т в энергию. Закон Дюлонга и Пти не содержал внутреннего противоречия, присущего соответствующему результату теории излучения, лишь потому, что в силу дискретности кристалл имеет конечное число степеней свободы. Мы сравниваем две теории в табл. 23.4. [c.94]

Рассмотрим, например, взаимодействие волны с частотой Е1й и волновым вектором д = р/Й с какой-либо нормальной модой кристалла, имеющей частоту со и волновой вектор к. Мы предполагаем, что возбуждена только эта нормальная мода, т. е. рассматриваем взаимодействие волны лишь с одним из фононов. Будем также пока пренебрегать микроскопической структурой кристалла, рассматривая интересующую нас нормальную моду как волновое возмущение в сплошной среде. Если бы такое возмущение не двигалось, для падающего излучения оно представляло бы собой периодическое изменение плотности, действующее подобно дифракционной решетке (фиг. 24.10), и тогда рассеянная волна определялась бы законом Брэгга. Однако возмущение не стационарно, а движется с фазовой скоростью фонона, которая направлена вдоль к и имеет величину а/к [c.111]

Модификация заключалась в том, что пакет набирали из слоев ткани УСА, повернутых в плоскости ху вокруг оси 2 на одинаковый угол, а прошивку выполняли предварительно пропитанными нитями. Плотность обоих материалов была, одинаковой и равной 1,6 г/см . Модифицированный материал типа Мод ЗУ по сравнению с материалом Мод 3 имеет значительно более высокие жесткость и прочность в направлении оси г при нормальной и повышенной темпера- [c.188]

Скорости распространения упругих волн зависят от типа этих волн и свойств материала среды (упругих постоянных и плотности). Скорость С( поперечных волн для большинства материалов составляет 0,325— 0,68 от скорости l продольных в безграничной среде, скорость поверхностных — около 0,9 скорости поперечных. Скорости распространения нормальных и стержневых волн зависят от частоты, толщины изделия и моды колебания. При падении на границу раздела двух сред происходит отражение, преломление и трансформация волн. Иапр., при падении продольной волны L (рис. 1) на границу раздела двух твердых сред в первую среду отражается [c.373]

Для полей, представляемых оператором плотности (9.12), все средние от нормально упорядоченных произведений операторов можно вычислять по формулам, которые, как и в случае одной моды, очень похожи на формулы классической теории. Так, в этих вычислениях параметры а играют почти такую же роль, как случайные фурье-амплитуды поля в известной классической теории СВЧ шумов [17]. Весовая функция Р ( а ) играет при этом роль, аналогичную распределению вероятности для фурье-ампли-туд. Хотя это сходство оказывается весьма полезным при вычислениях, а также помогает разобраться в применении принципа соответствия, не следует забывать о том, что в общем случае функция Р ( оа ) является квантовомеханической величиной. Она может принимать отрицательные значения и точно не интерпретируется как распределение вероятности, за исключением классического предельного случая сильно возбужденных или низкочастотных полей. [c.103]

Функция плотности состояний в одномерном случае. Рассмотрим сначала задачу об упругих колебаниях одномерной цепочки частиц (см, рис. 6.4) пусть jV-fl—число частиц, а — расстояние между ними, L — длина цепочки. Предположим, что частицы S =0 и S — N находятся на концах цепочки и закреплены. Каждое нормальное колебание (мода) является стоячей волной [c.216]

Теплопроводность их 25—35 кал (м ч °С), коэффициент линейного расширения (22—24) I0 мод> 1ь нормальной упругости =50- 60 кН/мм , плотность [c.55]

Если оставить лишь лервый член в этом разложении, то все слагаемые в (23.12) оказываются одинаковыми и равными к Т, удельная теплоемкость равна тогда произведению постоянной кц на суммарную плотность нормальных мод ЗNIV. Это классический закон Дюлонга и Пти (22.19). [c.82]

Здесь Z v)—импеданс цепи, зависящий от частоты V. Уравнение (3.73) напоминает выражение для плотности энергии черного тела, находящегося в равновесии со стенками. Оба уравнения получены при суммировании нормальных мод в рассматриваемой системе. В гл. 7, где говорится о черном теле, показано, как получается плотность мод или число Джинса для электромагнитного излучения в параллелепипеде. Для данного случая распространение тепловых флуктуаций может происходить только по линии, соединяющей два резистора. Уравнение (3.73) получено в предположении, что распределение энергии, как и для электромагнитного излучения, подчиняется статистике Бозе — Эйнщтейна. [c.113]

Феноменологич- теория колебанн11 формы ядра была создана О. Бором (А. Bohr) в 1952. Если в нормальном состоянии плотность ядерного вещества в точке с пространств, координатой г равна р г), то при К. в. я. возникает периодически зависящее от времени t отклонение бр(г, t) плотности от равновесной. Любое колебание можно представить комбинацией нормаль-]1ЫХ колебат, мод. Для нормальных мод сферич. ядра Йр(г, () = Йр (г)У >1(0, (f) os где бр/, описывает [c.407]

Третье из этих замечаний означает, что формулы для излучения черного тела всегда соответствуют по своему виду пределу крайне низких температур для кристаллов. Это вполне разумно, поскольку у подавляющего большинства (бесконечно большого числа) нормальных мод поля излучения величина Нек больше квТ, какой бы высокой ни была температура. В сочетании с точной линейностью по к закона дисперсии фотонов отсюда следует, что мы всегда находимся в области, где теплоемкость строго кубична. Поэтому мы можем получить точную формулу для плотности тепловой энергии излучения черного-тела, воспользовавшись выражением (23.20) для низкотемпературной удельной теплоемкости = duloT, связанной с колебаниями решетки. Для этого достаточно считать с скоростью света и умножить выражение (23.20) на Vg (чтобы исключить вклад продольной акустической ветви). В результате получаем закон Стефана — Больцмана [c.95]

II 189, 190 и плотность тепловой энергии II 81 и рассеяние нейтронов II 104 (с) и сверхпроводимость II 353, 354 и тепловое расширение II 117—122 и теплоемкость II 81—91 и теплопроводность II 123—133 и ширина линий центров окраски II 242 и электросопротивление II 149—154 и эффективная масса электрова II 145— 147, 155, 156 как квантованБые нормальные моды II 80 квазиимпульс II 99, 100, 375—380 квантовомехавическое описание II 371— [c.413]

Фиг. 22. Нормальные моды колебания струны с неравномерной плотностью. Сплошные линии показывают вид фундаментальных функций для струны с переменной плотностью Sg, изменяюп ейся по закону о[1 —где (1/2а)=0,8 Пунктирные. 1ИНИИ показывают соответствующие синусоидальные функции для струны с равномерной плотностью s .

Неоднородный стержень.— Теперь, когда мы знаехм свойства нормальных мод колебания, мы уже можем решать ряд различных задач. Наприхмер, мы можем найти изменение допустимых частот и фундаментальных функций, в случае, если стержень несколько неоднороден по длине. Если плотность стержня, его поперечное сечение, или радиус его инерции меняются в функции X. то, припоминая ход вывода уравнения движения, мы найдём, что в общем случае уравнение должно илють следующий вид [c.186]

Частотная хараЕтеристика интенсивности звука. — Фиг. 92 показывает зависимость интенсивности от частоты для помещения 3 X 4,5 X 9 ж (к этому же помещению относится и фиг. 89) с постоянной затухания 8 = 10 (независимой от частоты), соответствующей времени реверберэгщи около 1 сек. Источник помещён в одном из углов помещения, поэтому фдг (15) равно единице для всех значений тг, и наблюдаемые колебания интенсивности зависят только от значения импеданса для различных нормальных мод и от положения точки приёма. Кривые для плотности энергии в центре помещения и в центре противоположной стены [c.456]

Возвращаясь снова к распределениям вибрационных сигналов редуктора, изображенным на рис. 21, мы можем теперь их интерпретировать как функции плотности распределения вероятностей суммы двух сигналов близкого к нормальному и гармонического. Для малых нагрузок Жн амплитуда гармонической составляющей мала и распределение близко к нормальному, Б частности, имеет одну моду. При увеличении Мп амплитуда гармонической составляющей сигнала возрастает, расиределение становится двумодальным и все более широким. Результаты спектрального анализа подтверждают сказанное в полосу анализа входит зубцовая частота, амплитуда зубцовой гармоники увеличивается с ростом нагружающего момента М . [c.46]

Прямой расчет избыточной низкоэнергетической плотности колебательных состояний в среде с флуктуируюш ими упругими константами, выполненный [22] в рамках теории возмуш ений по малым флуктуациям, показал, что флуктуации упругих констант с радиусом корреляции R 1-2 нм приводят к появлению в низкочастотной ио v/R ) области избыточной плотности состояний. Можно показать, что любая разумная функция корреляции упругих констант, убываюш ая с расстоянием, приводит к перемеш ению части высокочастотных колебательных мод в низкочастотную часть спектра, тем самым образуя избыточную плотность колебательных состояний. Как уже было отмечено, спектр избыточной плотности колебательных состояний хоропю аппроксимируется логарифмически нормальной функцией (6.1) со значением дисперсии логарифма частоты а = 0,48. Если избыточная плотность состояний обусловлена колебательными возбуждениями, локализованными на нанометровых неоднородностях структуры, то частота квазилокальных колебаний о связана с размером неоднородности d соотногпением си = Kv/d где К — константа порядка единицы. Это означает, что распределение нанонеоднородностей по размеру может быть также описа- [c.188]

В разд. 1.22 было показано, что хаотическое излучение следует рассматривать как важный предельный случай. Свойства этого излучения полностью определяются требованием, чтобы энтропия поля принимала максимальное значение при дополнительном условии постоянства среднего числа фотонов в различных модах. Заключения о свойствах многомодовой системы легко вывести из свойств одномодовой системы, поэтому в дальнейшем мы будем ориентироваться на одномодовую систему. Оператор плотности может быть взят из уравнения (1,22-17). Квазивероятность (р), применяемая при представлении с помощью глауберовских состояний, задана в уравнении (1.31-25а) отсюда следует, что фазы комплексных амплитуд распределены равномерно, тогда как модули этих амплитуд распределены нормально, т. е. имеют гауссово распределение. Нормально упорядоченная корреляционная функция , т+п) [ср. уравнение (1.33-14)] обращается в нуль при тфп, а в остальных случаях представима с помощью корреляционной функции низшего порядка. [c.454]

Вывод функции распределения Планка (213). Модель Зйнштейна (214),." Подсчет числа нормальнЫ-ч колебаний (215), Функция плотности состояний в одномерно.м случае (216). Плотность мод в трехмерном случае (221). Вывод выражения для (а) в обще.м случае (221). Теория теплоемкости решетки по Дебаю (226). [c.211]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...