Лагранжа уравнения второго первого рода

Обычно эти уравнения называются уравнениями Лагранжа второго рода. Здесь и далее мы называем их просто уравнениями Лагранжа, так как уравнения Лагранжа первого рода в этой книге не рассматриваются. [c.129]

Из (30) получим уравнения Лагранжа второго рода, или просто уравнения Лагранжа. Уравнения Лагранжа первого рода — уравнения с неопределенными множителями Лагранжа — получены для одной точки в 8 гл. 1. Уравнения Лагранжа первого рода можно получить и для системы. [c.393]

Действительно, число независимых постоянных интегрирования равно числу независимых первых интегралов или удвоенному числу независимых вторых интегралов уравнений движения. Но кинематические уравнения движения должны удовлетворять уравнениям геометрических и кинематических связей, не зависящим от постоянных интегрирования. Уравнения геометрических связей можно рассматривать как вторые интегралы уравнений Лагранжа первого рода с исключенными множителями kj и рз, а уравнения кинематических связей, соответственно, как их первые интегралы. Итак, среди интегралов рассматриваемой системы уравнений есть к вторых интегралов и I первых, независимых от постоянных интегрирования. Следовательно, число независимых постоянных интегрирования равно 6/г — 2/г — I. [c.34]

Поэтому обычно выбирают иной способ определения движения несвободной материальной системы с интегрируемыми связями, а именно предварительно определяют закон движения точек системы, применяя систему уравнений Лагранжа второго рода (эти уравнения рассматриваются ниже). Из уравнений Лагранжа первого рода определяют реакции связей. [c.36]

В случае наличия неголономных связей применяются особые системы уравнений, позволяющие найти закон движения системы, не определяя вместе с тем реакции неголономных связей. Далее определяются реакции всех связей из уравнений Лагранжа первого рода. При применении уравнений Лагранжа второго рода в случае наличия неголономных связей приходится вместе с законом движения определять реакции неголономных связей. При этом реакции голономных связей находят из уравнений Лагранжа первого рода. [c.36]

К аналогичным результатам можно прийти, исходя из системы уравнений Лагранжа второго рода, так как систему дифференциальных уравнений второго порядка всегда можно заменить эквивалентной системой уравнений первого порядка. [c.329]

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения движения несвободной системы, составленные в обобщенных координатах. Наибольшее распространение получили уравнения в независимых обобщенных координатах, — их обычно называют уравнениями Лагранжа второго рода, а иногда просто уравнениями Лагранжа, так как уравнениями Лагранжа первого рода пользуются сравнительно редко. [c.394]

Совокупность уравнений (11) и (12) образует систему уравнений Рауса. Она состоит из к уравнений (11) второго порядка, имеющих структуру уравнений Лагранжа второго рода, и 2 п — к) уравнений (12) первого порядка, обладающих структурой уравнений Гамильтона. [c.295]

Приведение уравнений Лагранжа второго рода к системе уравнений первого порядка. Система S совместных уравнений второго порядка (32.42) относительно s неизвестных функций времени может быть заменена системой 2.S совместных уравнений первого порядка, содержащих 2s неизвестных функций времени. С этой целью мы обратимся к уравнениям (32.40) и выразим множители и входящие в величины через q , и t, так, как это было указано выше затем решим полученные таким образом уравнения относительно ускорений тогда мы придём к уравнениям вида [c.334]

Эйлера интеграл второго рода 1 (1-я)—139 Эйлера интеграл первого рода 1 (1-я)—172 Эйлера формула 1 (1-я) — 218 Эйлера-Лагранжа уравнения 1 (1-я) — 251 Эквивалентность пар I (2-я)—17 Эквивалентные системы сил 1 (2-я) — 14 Экзотермические реакции 1 (1-я) — 370 [c.352]

Здесь j — знак суммирования, а для возможных перемещений, т. е. бесконечно малых мгновенных изменений координат, согласных с уравнениями связи при фиксированном значении времени, применен знак б. Лагранж показывает, что его общая формула динамики дает столько дифференциальных уравнений движения, сколько требуется по условиям любой задачи. Он строит эти уравнения для систем со связями по методу неопределенных коэффициентов и получает аналогичные статическим уравнения Лагранжа первого рода , в которые явно входят реакции связей. Он дает и вторую открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго рода , вводя обобщенные координаты и скорости (это одно из его самых замечательных открытий в механике). Посредством анализа общей формулы (Ь), с использованием многих положений, установленных в статике, выводятся общие свойства движения . Это не что иное, как доказательство общих теорем динамики системы теоремы о движении центра инерция, теоремы моментов , теоремы живых сил . [c.156]

Уравнения движения Лагранжа второго рода представляют систему п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка — в них входят обобщенные координаты, их первые и вто рые производные по времени (обобщенные скорости и обобщенные ускорения) и, может быть, явно время t. Эта система линейна относительно обобщенных ускорений и последние могут быть из нее определены через обобщенные координаты, обобщенные скорости и время [c.285]

Как уже отмечалось, уравнения Лагранжа с реакциями-связей дают возможность найти и положение точек системы, и реакции связей как функции времени. Однако на практике часто не нужна столь подробная информация о механической системе, а требуется найти лишь закон движения точек по связям. Для разрешения таких задач необходимы уравнения движения, которые в качестве неизвестных содержат только независимые координаты. С другой стороны, эти уравнения должны полностью учитывать влияние связей на систему. Такие уравнения существуют и называются уравнениями Лагранжа в независимых координатах (или уравнениями Лагранжа второго рода). Значение этих уравнений не исчерпывается применением к указанному типу задач. Если требуется определить реакции связей, зачастую проще с помощью уравнений Лагранжа второго рода определить закон движения системы, а затем с помощью уравнений Лагранжа первого рода найти реакции связей. Уравнения Лагранжа второго рода имеют большое значение и для свободных систем. В этом случае они [c.214]

В гл. 5 мы рассмотрели два способа описания динамических систем, возникающих в классической механике. Гамильтонов формализм приводит к рассмотрению динамических систем в пространстве четной размерности, задаваемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. При таком подходе координаты и скорости рассматриваются как равноправные координаты в фазовом пространстве. С другой стороны, лагранжев формализм работает исключительно с координатами в конфигурационном пространстве и описывает динамику с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Оказывается, что лагранжев формализм может быть введен посредством рассмотрения всех потенциально возможных траекторий системы, среди которых настоящие траектории выделяются как критические точки некоторого функционала, заданного на множестве всех кривых в конфигурационном пространстве. Описания такого рода обычно называются вариационными, поскольку необходимо варьировать потенциально возможные траектории, чтобы найти настоящие. Уравнения Эйлера — Лагранжа (5.3.2) представляют собой не что иное, как уравнения, описывающие критические в вышеописанном смысле кривые функционала действия, рассматриваемого в 4. [c.342]

Из выражения (2.82) компонент тензора объемных сил Q( 2) видно, что они содержат переменные поля второго рода и компоненты тензора множителей Лагранжа для связей первого и второго рода. Следовательно, система уравнений (2.83) и следствия из нее не автономны и составляют дополнение к системе уравнений [c.40]

Все составленные выше уравнения следует рассматривать как распространение уравнений Лагранжа первого рода на механику сплошной среды. Возникает вопрос о таком выборе переменных поля, который позволяет получить аналогичное изложенному выше распространение уравнений Лагранжа второго рода на механику сплошной среды. [c.56]

Основным различием между уравнениями Лагранжа первого и второго рода систем с конечным числом степеней свободы является то, что уравнения Лагранжа первого рода содержат компоненты реакций связей, а уравнения Лагранжа второго рода эти компоненты не содержат. Достигнуть исключения компонент реакций геометрических и интегрируемых кинематических связей из уравнений движения системы с конечным числом степеней свободы можно, введя соответствующим образом выбранные обобщенные координаты. Если выразить позиционные координаты системы через целесообразно выбранные обобщенные координаты, уравнения геометрических и кинематических интегрируемых связей должны быть тождественно удовлетворены. Это позволяет отделить задачу определения закона движения системы от задачи определения реакций связей [40]. Если на систему наложены кинематические неинтегрируемые связи, задача осложняется, хотя и здесь можно локально достигнуть исключения компонент реакций связей посредством введения неголономных координат (квазикоординат), но полное разделение исследования движения несвободной системы на определение закона движения и определение реакций связей возможно лишь в частных случаях. [c.56]

Как видно из предыдущего, существует система переменных поля — укороченная система функций кинетических напряжений, позволяющая устранить из уравнений движения совокупности членов с множителями Лагранжа что эквивалентно устранению реакций связей первого и второго рода и переходу от уравнений Лагранжа первого рода для сплошной среды к аналогам уравнений Лагранжа второго рода. [c.59]

Форму, аналогичную (3.44), имеют уравнения Лагранжа второго рода в переменных поля второго рода. Если активные силы и реакции внутренних связей первого рода неконсервативны, то правые части уравнений (3.44) не будут равны нулю [c.77]

В механике систем с конечным числом степеней свободы, равным N, метод Гамильтона состоит в замене уравнений Лагранжа второго рода, которые являются системой N обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с неизвестными обобщенными координатами, системой 2Л обыкновенных уравнений первого порядка с неизвестными обобщенными координатами и обобщенными импульсами [40]. Метод составления этих уравнений позволяет разрешить их относительно производных искомых функций, в связи с чем они получили название канонических уравнений динамики. [c.90]

Эта форма уравнений также нуждается в дополнительных разъяснениях в связи со сказанным выше относительно смысла индекса г. Уравнения (4.12), (4.13) соответствуют исключению частных производных из функций и Я -... Следовательно, система уравнений (4.12), (4.13) распадается на подсистемы, состоящие из восьми уравнений, которые, в отличие от канонических уравнений, содержат вторые производные от искомых функций и по переменным Следовательно, назвать уравнения (4.12), (4.13) каноническими нельзя. Однако порядок каждой подсистемы равен восьми в соответствии с порядком системы уравнений Лагранжа второго рода для элемента сплошной среды в переменных поля первого рода. [c.95]

Мы видим, что уравнения второго порядка имеют вид уравнений Лагранжа 2-го рода и функция Рауса в этих уравнениях представляет собой функцию Лагранжа с измененным знаком. Вторая система уравнений первого порядка есть система канонических уравнений, в которой функция Рауса исполняет обязанность функции Гамильтона. [c.361]

Покажем, как исходя из принципа Гамильтона — Остроградского, получить уравнения Лагранжа второго рода. Пусть qi(t), <72(0. . (О обобщенные координаты, соответствующие прямому пути консервативной голономной механической системы. Рассмотрим окольный путь, определяемый функциями г+б г,. ... .., js- 6qs. Тогда, с точностью до членов первого порядка малости по сравнению с бдт и б т, будем иметь [c.215]

Полученная система уравнений движения носит название системы уравнений Лагранжа второго рода. В дальнейшем будет показано, что к такой форме приводятся дифференциальные уравнения для лагранжевых координат произвольной голономной системы материальных точек. В случае движения абсолютно твердого тела первые три обобщенные силы имеют смысл проекций суммарной силы на оси абсолютного репера, а последние три — моментов сил относительно осей е, , е ,, соответственно. [c.453]

Замечание 8.11.1. Система уравнений Эйлера в приведенном виде совпадает по форме с системой уравнений Лагранжа второго рода. Однако по смыслу в уравнениях Лагранжа функция Лагранжа должна удовлетворять обязательному условию невырожденности по обобщенным скоростям. Вместе с тем в уравнениях Эйлера, применяемых для решения задач на экстремум функционера, аналогичное условие невырожденности подынтегральной функции относительно первых производных может не выполняться. Кроме того, в уравнениях Эйлера под t следует понимать любую независимую переменную (не только время). [c.601]

Теорема 9.2.1. Система уравнений Лагранжа второго рода эквивалентна системе 2п уравнений первого порядка [c.631]

Применение уравнений Лагранжа первого и второго рода к вопросам теории удара [c.465]

Рассмотрим применение дифференциальных уравнений Лагранжа первого и второго родя к вопросам теории удара. [c.465]

Основные преимущества уравнений Лагранжа второго рода (19) состоят в следующем. Во-первых, они дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики для любых голономных систем точек или тел, как угодно движущихся. Во-вторых, число уравнений (19) не зависит от числа входящих в систему точек или тел и равно числу степеней свободы системы (в машинах, механизмах и приборах обычно одна, две и редко больше двух степеней свободы). [c.792]

Уравнения Лаграня а первого рода в настоящей книге не рассматриваются. Поэтому ниже уравнения Лагранжа второго рода просто называются уравнениями Лагранжа. [c.472]

Предварительные замечания. Вопрос об определении движения несвободной материальной системы без неинтегрируемых связей может быть решён двояким путём или исчтегрированием уравнений движения, содержащих множители связей, а именно уравнений Лагранжа первого рода ( 177), когда система координат декартова, и уравнений, аналогичных названным, когда система координат произвольная ( 189), или интегрированием уравнений Лагранжа второго рода в независимых координатах ( 191). Последние уравнения быстрее и непосредственнее приводят к цели в них число переменных доведено до надлежащего минимума, поэтому и произвольных постоянных интеграции появляется наименьшее число. Интегрирование уравнений с множителями значительно сложнее число переменных в них превышает Необходимое, а потому и число произвольных постоянных интеграции больше, чем нужно для искомого движения ( 119, 121, 177, 189). Но зато движение системы определяется [c.461]

В этой глаие мы начнем с рассмотрения связей, наложенных на систему мы покажем, что связи можно ввести как предельный случай обычной потенциальной энергии. Затем обсуждается принцип Д Аламбера и на его основе выводятся уравнения Лагранжа первого рода, которые используются в нескольких простых примерах. Выводится вариационный принцип Гамильтона, с помощью которого получаются уравнения Лагранжа второго рода, после того как вводятся обобщенные координаты. После этого рассматриваются циклические координаты, функция Рауса и скрытые массы. Далее кратко обсуждаются неголоном-ные и неинтегрируемые связи и потенциалы, зависящие от скорости специально рассмотрен случай движения заряженной частицы в электромагнитном поле. В конце главы обсуждается связь между бесконечно малыми преобразованиями координат и законами сохранения. [c.38]

Система (17) содержит т + я уравнений второю порядка относительно т + я неизвестных функций (t),. .., (t), q (t),. .., o (t). Bee уравнения (17) имеют структуру уравнений механики, т. е. если принять формально gy,. .., g i, q ,. .., q за обобщенные координаты системы с кинетическим потенциалом = Т + W — (11+ + I/), то (17) можно записать как уравнения Лагранжа второго рода этой системы. При этом первым т координатам соответствуют обобщенные силы —d VIdi , а остальным — силы Q . Токи iV = gr имеют смысл обобщенных скоростей, W формально можно Отнести к кинетической, а V — к потенциальной энергиям. Величины [c.336]

Уравнения Ла анжа первого рода в этом томе не рассматриваются. Они приведены в третьем томе. Поэтому ниже уравнения Лагранжа второго рода простс называются уравнениями Лагранжа. [c.485]

Известны уравнения Лагранжа не только второго, но и первого рода. Рассмотрим их ради методики вывода, регулярно примеьиемой ниже. [c.38]

ПРИНЦИП возможных ПЕРЕМЕЩЕНИЙ. УРАВНЕНИЯ ФЕРРЕРСА, УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА. [c.107]

Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах. Уравнения Феррерса, уравнения Лагранжа первого и второго рода [c.125]

Получим, как частные случаи уравнений Феррерса, уравнения Лагранжа первого и второго рода. [c.127]