Рунге — Кутта метод решения дифференциальных уравнений

Рунге схема вычисления коэффициентов для 12 ординат 313 Рунге — Кутта метод решения дифференциальных уравнений 212 Рычажные механизмы с качающимся цилиндром — см. Механизмы рычажные с качающимся цилиндром Ряд Лорана 198 [c.584]

Рунге — Кутта метод решения дифференциальных уравнений 212 Рычажные механизмы с качающимся цилиндром — см. Механизмы рычажные с качающимся цилиндром Ряд Лорана 198 [c.560]

Среди множества численных методов решения дифференциальных уравнений наиболее простые - это явные одношаговые методы. К ним относятся различные модификации метода Рунге-Кутта. [c.268]

Подпрограмма MFR на основе интегрирования канонической системы методом Рунге—Кутта (по четырехточечной схеме) осуществляет заполнение матрицы фундаментальных решений н вычисление вектор-столбца частного решения (см. (1Ю9) к разд. 5.1.6). Согласно методу Рунге—Кутта для системы дифференциальных уравнений Y —AY+H на шаге интегрирования [х, j +s] выполняются следующие вычисления [c.286]

Естественная идея повышения точности метода Эйлера могла бы заключаться в использовании большего числа членов разложения в ряд Тейлора (6.5) и (6.6). Однако методы рядов Тейлора высших порядков [195, 196] имеют малое практическое значение, так как основаны на отыскании высших производных функции f в заданных точках. Как известно, численное дифференцирование является весьма неточной процедурой, особенно если ее необходимо повторять много раз. Поэтому мы ищем процедуру, которая была бы аналогична разложению в ряд Тейлора до членов кр (где р называется порядком метода). Но которая не требовала бы вычисления каких-либо производных функции /(2, у, у ). Наиболее элегантная одношаговая процедура, которая удовлетворяет этому требованию, — метод Рунге — Кутта [194]. Ниже будет рассмотрен метод Рунге—Кутта четвертого порядка для решения дифференциального уравнения второго порядка (6.1). [c.359]

Система уравнений (1.5.9) -(1.5.11) вместе с граничными условиями (1.5.3)-(1.5.5) с учетом соотношения (1.5.7) представляет замкнутую систему уравнений, решение которой при известных правых частях можно получить одним из численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, например, методом Рунге-Кутта, [c.37]

Система уравнений (2.6.13), (2.6.18), (2.6.19) вместе с граничными условиями (2.6.8) представляет собой замкнутую систему уравнений, решение которой при известных правых частях можно получить одним из численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, например, методом Рунге-Кутта. Для вычисления диссипативных слагаемых входящих в правые части уравнений (2.6.13), (2.6.18) представим решение и(х, у) и с х, у) в виде [c.80]

Имеется большое количество разнообразных численных методов решения уравнений типа (9.2) [6, 13 и др.], из которых для реализации на ЭЦВМ наиболее удобен метод Рунге—Кутта. Отметим, что для распространенных ЭЦВМ обычно имеются стандартные программы решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым уравнение (9.2) приводится обычным приемом [90]. Однако предварительно рассматриваемую краевую задачу необходимо свести к задаче с начальными условиями (задаче Коши). Этот во- [c.66]

Решение системы дифференциальных уравнений осуществляется методом Рунге-Кутта согласно алгоритму [c.67]

Решение системы дифференциальных уравнений проводилось методами Рунге—Кутта. При моделировании подобных нелинейных систем высокого порядка для достижения необходимой точности вычислений приходится выбирать малый шаг интегрирования. Ошибка ограничения метода рассчитывалась по формуле [4] [c.69]

При учете контактной податливости и истории нагружения расчеты трехслойного цилиндра, схематизирующего рулонированную стенку, весьма усложняются. Для их выполнения составлена программа на языке АЛГОЛ-60, которая предусматривает численное интегрирование дифференциальных уравнений по методу Рунге — Кутта без внесения в них упрощений, использованных для получения приведенных выше приближенных решений. В процессе интегрирования удовлетворяются условия сопряжения слоев и отыскивается граница между зонами с проскальзыванием и без проскальзывания. Условия сопряжения слоев выражаются равенством их радиальных напряжений (Тг, а также радиальных и и окружных у перемещений, которое удовлетворяется также на границе зоны проскальзывания. Для ее отыскания используется то обстоятельство, что для обеих зон на их границе справедливы уравнения для обоих случаев — при наличии и отсутствии проскальзывания. [c.70]

При реализации модели динамики турбоустановки на ЭВМ можно использовать численные методы решения систем дифференциальных уравнений (методы Эйлера, Рунге-Кутта и др.). [c.23]

Интегрирование системы уравнений типа (7-35) по времени при заданных начальных 0г(О) и граничных 00 (т) условиях легко производить по стандартным программам. Обычно применяются программы, реализующие метод Рунге—Кутта. Для устойчивого счета необходимо, чтобы безразмерный шаг интегрирования по времени был всегда меньше шага разбиения по координате. Следует отметить, что при постоянных коэффициентах (линейное приближение) метод прямых легко реализуется и на АВМ. Решение полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений приближенно представляет переходные процессы в дискретных сечениях по длине теплообменника. В таком виде метод прямых применяется для расчета динамических свойств теплообменников различных типов [Л. 57]. [c.88]

На ЭВМ можно реализовать численное решение такой системы дифференциальных уравнений, например, методом Рунге—Кутта. Предварительно необходимо перейти [c.106]

Математическое моделирование движения шлаковых частиц в пограничном слое для вертикальной циклонной камеры но системе дифференциальных уравнений (4-27) было выполнено на автоматической цифровой вычислительной машине Урал-2 . Решение производилось численным методом Рунге—Кутта. Расчеты выполнены применительно к частицам шлака, образующимся из внешней золы, не связанной с горючей массой. [c.81]

Использование метода Бубнова—Власова для Сведения двумерных линейных краевых задач относительно приращений неизвестных к одномерным позволило свести определение приращений к краевым задачам для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В работах [281, 287, 36] решение получено путем усреднения зтих коэффициентов. Точность такого приема была оценена численно на основе сравнения с решением методом типа прогонки [13]. Различные варианты метода прогонки использовались в работах [13, 8, 222, 11 183, 12]. Прогонка осуществлялась методом начальных параметров с использованием метода Рунге—Кутта. Вопр Ьсы сходимости метода последовательных нагружений в сочетании с методом Бубнова—Власова для сведения двумерных линейных пошаговых задач к одномерным обсуждались в работах [222,10,7,263,223]. [c.185]

Задача содержит четыре независимых параметра N, Z, р и со. Если их значения заданы, а также принято некоторое приближение для распределения температуры 0(т), то функция 0 (т) представляется в виде конечного ряда (12.75) и находятся коэффициенты Вт. Затем с помощью (12.76) отыскивается частное решение уравнения переноса излучения, а коэффициенты разложения Л(т1о) и Л(т]) определяются по методу, описанному в гл. 10 и 11. Зная Л(т]о), Л (т1) и Вт, можно найти безразмерную плотность потока результирующего излучения Q (t) по формуле (12.78). Рассматривая Q (t) как заданную функцию, можно численно с помощью метода Рунге — Кутта проинтегрировать дифференциальное уравнение (12.69), используя граничное условие (12.70), и получить первое приближение для профиля температуры 0(т). Затем первое приближение используется для получения второго приближения и т. д. Расчеты повторяются до получения сходимости с заданной точностью. [c.516]

В ходе расчетов, выполненных [17—19, 21, 23, 24, 30] для слоистых оболочек вращения важных частных классов (цилиндрических, конических и др.) с использованием разработанных в настоящей монографии неклассических уравнений, выявлено, что спектральный радиус матрицы Якоби правой части системы дифференциальных уравнений (7.2.21), (7.2.28) и спектральный радиус матрицы коэффициентов первоначальной системы уравнений изгиба — величины одного порядка. Спектр матрицы Якоби характеризуется большим разбросом и, что существенно, весь лежит в левой комплексной полуплоскости. Такие системы дифференциальных уравнений относятся к классу жестких (в смысле определения [131, 256, 283]). Их устойчивое численное решение классическими явными методами Рунге — Кутта, Адамса и др. [41] возможно лишь при существенном ограничении на шаг интегрирования h [c.203]

В случае быстрого вертикального погружения упругих цилиндрических, конических и сферических оболочек в жидкость, гидродинамические нагрузки достигают своего максимального значения при небольших глубинах погружения. Поэтому можно воспользоваться теми же вагнеровскими соображениями, что и для жестких тел (Э. И. Григолюк и А. Г. Горшков [32]). При таком подходе после определения гидродинамического давления р = 0 1 соответствует давлению на жесткой оболочке, а Р2 учитывает давление, обусловленное деформацией оболочки) используется комбинированный метод. Он основан на преобразовании с помощью процедуры Бубнова или метода прямых систем уравнений в частных производных, описывающих поведение оболочек, к системе обыкновенных дифференциальных уравнений и последующем их решении методом Рунге-Кутты (или каким-либо другим численным методом). [c.401]

Вторая проблема — устойчивость, и она может стать причиной неприятностей. Решение называется устойчивым, если малая ошибка, возникающая где-либо во время выполнения вычислительной процедуры, не увеличивается неограниченно в последующих вычислениях. Заметим, что устойчивость в общем случае не зависит от величины шага /г. К сожалению, метод Рунге — Кутта может быть неустойчивым для некоторых дифференциальных уравнений. Поэтому необходимо соблюдать осторожность всякий раз, когда распределение поля быстро меняется или когда функция в некотором смысле ведет себя плохо . [c.362]

Дифференциальное уравнение (10.124) интегрируется на ЭЦВМ по методу Рунге — Кутта по стандартной программе. При решении данной задачи была [c.452]

Интегрирование дифференциальных уравнений системы производится методом Рунге-Кутта с переменным, автоматически выбираемым шагом (с плавающей запятой), в зависимости от задаваемой точности решения, которая, сообразуясь с минимальным периодом колебаний системы, принята равной е = 0,01 сек. [c.147]

Для решения задач на ЦВМ разработаны различные численные методы. При интегрировании дифференциальных уравнений широкое применение находят методы Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и др. [29]. Выбор метода решения определяется требованиями точности расчета, скорости счета и другими факторами. [c.219]

За исключением случаев очень быстрых переходных процессов, может оказаться необходимым прослеживать решение задачи в течение нескольких секунд или даже минут. В этом случае возникают трудности по следующим причинам. Уравнения (9.8) и (9.9) представляют собой систему связанных между собой J -Ь 1 дифференциальных уравнений первого порядка, где J — полное число групп запаздывающих нейтронов. Однако решение этих уравнений стандартным разностным алгоритмом метода Рунге — Кутта неэффективно, так как для обеспечения приемлемой точности решения необходимо использовать малые шаги по времени, определяемые временем жизни мгновенных нейтронов [22]. Поэтому были разработаны специальные алгоритмы и программы для интегрирования, с помощью которых можно получить решения задач [23]. [c.381]

Уравнение 1—272 Руль Жуковского 2 — 5 И Рунге схелш вычисления коэффициентов 1—313 Рунге — Кутта метод решения дифференциальных уравнений 1—212 Ручьи — Расположение в штампе 5 — 116—118 [c.467]

В напксанпой на языке Фортран программе для решения этой задачи используется метод Рунге — Кутта и подпрограмма РК05, входящая в пакет программ для научных исследований фирмы 1ВМ [16]. Подпрограмма НКОЗ содержит обращения к двум внешним подпрограммам РСТ, предназначенной для решения двух дифференциальных уравнений первого порядка, и ОПТР, обеспечивающей выдачу на печать решения дифференциального уравнения при промежуточных значениях времени. В подпрограмму НКОЗ вводятся предельные допустимые значения погрешностей. Если это сделано, то в дальнейшем на протяжении всего счета шаг интегрирования автоматически изменяется путем деления пополам или удвоения его исходного значения. Обратившись к выдаче рассматриваемой программы, можно проследить за тем, как изменяется шаг по времени в процессе вычислений. [c.82]

Описанный алгоритм реализован в виде программы для ЭВМ ЕС-1020 >. Задача на собственные значения (2.3.6) решалась по стандартной программе NROOT (это возможно ввиду симметричности S3 и утверждения 3 настоящего пункта). Вычисление интегралов в матричных элементах производилось по стандартной программе решения дифференциальных уравнений методом Хем-минга или Рунге-Кутта 2). Контроль точности осуществлялся авто< матически. [c.107]

Возможности программного обеспечения эта интерактивная, структурированная моделирующая программа может быть использована для решения системы дифференциальных (в том числе нелинейных), разностных и алгебраических уравнений, возникающих в задачах идентификации и проектирования. В программе предусмотрены различные блоки 55 типов, включая интегратор с насыщением, блок временной задержки и другие. Пользователь может назначать блокам символические имена. В программе используются пять методов интегрирования четыре метода с фиксированным шагом (метод Эйлера, метод Адамса—Башфорта-2, метод Рунге—Кутты-2 и метод Рунге—Кутты-4) и один с изменяющимся (метод Рунге—Кутты-4). Линейная и квадратичная интерполяция (от 11 до 201 точек) проводится на основе генераторов функций трех типов. Алгоритмические петли могут быть решены интерактивным методом, что позволяет решать нелинейные алгебраические уравнения. Все переменные, получаемые в процессе моделирования, сохраняются в памяти. В дальнейшем они могут быть использованы для обработки, сохранены на диске или использованы как начальные условия для следующего прогона. Кроме того, предусмотрены средства многократного прогона. Программа содержит процедуру оптимизации, причем пользователь может задавать критерий оптимизации и до девяти произвольных оптимизируемых параметров. Каждый параметр может быть ограничен сверху и снизу. Для улучшения скорости процедуры оптимизации для каждого параметра может быть выбран соответствующий масштаб. Несколько моделей могут быть объединены в одну новую модель. Рассчитанные переходные характеристики и параметры могут быть использованы в последующих прогонах. Пользователь может легко определить блок нового типа, для чего необходимо выполнить операцию компоновки. Программа не предназначена для решения дифференциальных уравнений с частными производными, полиномиальных и матричных уравнений. [c.320]

Программное обеспечение решения систем уравнений. Для численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений имеется достаточно большое число стандартных подпрограмм, реализующих различные одношаговые и многошаговые методы [15]. При применении этих подпрограмм гюльзователь должен составить подпрограмму, в которой производится вычисление правых частей конкретной системы уравнений, а также организовать вывод результатов — значений искомых функций u i при интересующих значениях аргумента Xj. Особенности использования стандартных подпрограмм разберем на примере подпрограммы R KGS из математического обеспечения ЕС ЭВМ, которая реализует схему Рунге—Кутта четвертого порядка для системы N обыкновенных дифференциальных уравнений с автоматическим выбором шага интегрирования. Пример применения этой подпрограммы приведен в следующем параграфе для решения задачи расчета нестационарного теплового режима системы тел. [c.41]

Для решения системы разрешающих уравнений (блок 3) существует большое число хорошо отработанных методов. Например, метод Рунге — Кутта для решения системы дифференциальных уравнений, метод последовательного исключения Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений. Если матрица [К] п положительно определена, время решения системы алгебраических уравнений можно существенно уменьшить, применив метод Холецкого. [c.16]

Подпрограмма RUNGP НВ, К1, Е, Е) организует решение системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта с переменным или постоянным шагом Е — точность решения, если К1 = 1, то абсолютная, если К1 = 2 — относительная N — порядок системы НВ — конечная точка решения. [c.69]

Динамика промышленных гидроприводов моделируется решением систем обыкновенных дифференциальных и алгебраических нелинейных уравнений. Алгоритм исследования динамики гидроприводов представлен на алгоритмическом языке Фортран-4. Интегрирование дифференциальных уравнений осуществляется методом Рунге-Кутта. Табл. 1, библ. 4 назв. [c.170]

Система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений для расчета параметров потока химически реагирующей системы Н204 =ь2Ы02 2Ы0+02 по горячей стороне и дифференциальное уравнение для расчета температуры потока по холодной стороне в настоящей программе решались методом Рунге — Кутта с автоматическим выбором шага. Выбор этого метода решения обусловлен его высокой точностью. Кроме того, метод Рунге — Кутта по сравнению с разностными методами не требует построения так называемого начала таблиц. Еще одним из достоинств метода является возможность в ходе решения менять величину шага счета, не производя при этом дополнительных вычислений. [c.134]

Таким образом, метод интегральных соотношений как разновидность проекционных методов решения уравнений в частных производных является обобщением метода прямых и инженерного метода сосредоточенных параметров. Решение разбивается на два этапа. Первый этап состоит в сведении точной системы уравнений в частных производных к аппроксимирующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений. На втором этапе проводится численное решение этой аппроксимирующей системы каким-либо из стандартных методов (обычно методом Рунге—Кутта). При этом приведение системы обыкно1венных дифференциальных уравнений типа (7-46) к канонической форме может быть легко осуществлено непосредственно программой. [c.96]

Доказано, что при основных и дополнительных начальных условиях решение системы дифференциальных уравнений (43) существует и является единственным [23]. Поэтому можно применять методы численного интегрирования. Широкое распространение получили одношаговые методы, особенно формулы Рунге—Кутта четвертой и второй степени [23. В последнее время применяют разностные формулы Адамса—Башфорта. Эти формулы сильно устойчивы и дают возможность решать системы дифференциальных уравнений на длинных отрезках. [c.431]

Численные методы решения задачи Коши. Наиболее широко применяют одношаговые методы типа Рунге—Кутта, а также многошаговые явные и неявные разностные схемы. Последние особое распространение получили при решении так называемых жестких или сиигулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений, характеризуемых наличием малого параметра при старшей производной. Очевидно, на практике следует использовать такие численные схемы, которые обеспечивали бы требуемую точность решения задачи, гарантировали бы численную устойчивость счета при достаточно крупных шагах интегрирования, позволяли бы легко реализовать автоматический выбор шага дискретизации. [c.120]

В уравнении теплопроводности можно аппроксимировать конечными разностями производные не по всем независимым переменным. В итоге получится система дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных). Если удается получить аналитическое решение такой системы, то оно будет приближенным решением задачи, так как при конечноразностной аппроксимации внесена погрешность в математическое описание процесса тегглопро-водности. Однако обычно такой прием частичной замеггы производных конечными разностями, известный как метод прямых [27], используют для решения полученной системы уравнений одним из эффективных численных методов. Например, для задачи нестационарной теплопроводности- аппроксимация производных по пространственным координатам переводит уравнение в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (в общем случае нелинейных), которая может быть решена методами численного интегрирования Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Адамса и т.п. [4, 104]. Такую же систему обыкновенных диф -ренггиальных уравнений получают из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплоемких масс и теплопроводящих стержней [27]. [c.210]

Матрицу фундаментальных решений Х( системы обыкновенных дифференциальных уравнений (7.2.21), удовлетворяющую начальному условию Х(0)=Е, строят путем численного интегрирования методом Рунге - Кутта. Конечный результат - матрица монодромии К=Х(7). Принадлежность рассматриваемой точки из пространства параметров к области устойчивости или асимптотической устойчивости устанавливают либо путем непосредственного вычисления мультипликаторов, либо на основании анализа норм матрихщг монодромии К и ее возрастающих положительных степеней (критерии (7.4.3) и (7.4.4) или (7.4.6)). [c.492]

После разбиения областей, занятых паровой и жидкой фазами на сферические слои уравнения с частными производнымипо г ж t переходят в обыкновенные дифференциальные уравнения по определяющими параметры в каждом сферическом слое. Задача решалась в безразмерных переменных методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности, методом Эйлера с пересчетом и т.п. Отладочные расчеты проводились для случая отсутствия твердого ядра в пузырьке (го = 0) и для остывания нагретой частицы в жидкости (р1 = ро). Отладочные результаты хорошо согласуются с результатами [2], подтвержденными экспериментально, и с известными аналитическими решениями [6]. Кроме того, для контроля счета сравнивались значения массы парового слоя, вычисленные двумя разными способами (1.5). [c.717]

Методы Рунге—Кутта являются наиболее распространенньши методами интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Остальные методы применяют для решения специальных задач, например, задач, у которых интегральные кривые являются быстроменяющимися функциями времени. Использование методов Рунге—Кутта в этом случае требует очень малого шага интегрирования. [c.120]

В случае решетки с непрерывным профилем для решения системы (3.111) используются чиетенные методы типа метода Рунге-Кутта. Для бинарной решетки коэффициенты Фурье (3.112), (3.113) не зависят от переменной у. В этом случае поле в зоне модуляции описывается системой дифференциальных уравнений 1-го норя дка с постоянными коэффициентами. Решение системы (3.111) с постоянными коэффициентами для граничного условия Хо, определенного в уравнении (3.116) или (3.139), может быть представлено в компактном матричном виде [c.166]

При вычислениях по методу Рунге — Кутта значений искомых функций при каждом последующем значении аргумента требуется вычислять несколько значений правых частей уравнений в некоторых промежуточных точках. Поэтому объем вычислений больше, чем при использовании разностных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако метод Рунге — Кутта дает, вообще, большую точность, чем разностные методы. Из последних мы рассмотрим методы Адамса, Штермера, Коуэлла, так как они наиболее часто применяются в небесной механике. [c.670]

Предпосылки возникновения хаоса. Изученные выше интегрируемые случаи движения нескольких точечных вихрей представляют собой исключение в общем неинтегрируемом случае нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3.2). Неинтегри-руемость любых уравнений является обычным делом и до недавнего времени казалось, что разработанные многочисленные эффективные вычислительные алгоритмы — методы Рунге — Кутта, Адамса — Бошфорта и другие — полностью обеспечивают я ализ поведения динамической системы на любом промежутке времени. Однако, начиная с работы Э.Лоренца [170], в научное сознание глубоко вошла идея о возможности хаотического поведения в детерминированных нелинейных систем ах даже с малым числом степеней свободы. В работе исследовалась общая задача термоконвекции применительно к образованию крупномасштабных вихревых структур. Используя уравнения Навье — Стокса, записанные в так называемом приближении Буссинеска [103] , и раскладывая их по стандартной процедуре метода Бубнова — Галеркина, Э.Лоренц получил свою знаменитую систему трех обыкновенных нелинейных уравнений. При определенных значениях параметров, отражающих физические характеристики исходной задачи, найдены необычные, хаотические свойства ее решений, названные странным аттрактором . [c.157]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...