Разложение функций Случаи в ряды Фурье

Зависимость (6.23) соответствует обширному классу механизмов с периодическим движением ведомого звена, который в связи с рассматриваемой задачей представляет особый интерес (рис. 73). Сюда можно отнести аксиальный эксцентриковый механизм с роликовым или плоским толкателем аксиальный кривошипно-ползунный механизм механизмы с кулачками в раме кулачковый механизм с гармоническим законом движения без выстоев синусный механизм и другие механизмы со слабо выраженными синусными членами при разложении функции положения в ряд Фурье. Для некоторых механизмов параметр и rjl , в других случаях U = 0. [c.254]

Для вычисления АК используем разложение функции Эри в ряд Фурье (1.17). В приближении элементарных интерферометров в рассматриваемом случае решение выражается через интегралы Френеля. АК реального ИФП с квадратными зеркалами, имеющими параболический дефект, можно представить в виде [c.19]

В частном случае, при большом п, коэфициенты после разложения функции a в ряд Фурье по синусам кратных дуг получаются равными [c.696]

Распределение интенсивности в спектральной линии 1 , возникающее в результате возмущения колебаний, может быть найдено путем разложения функции (1) в интегралы Фурье. В указанном общем виде задача не разрешима. Характер взаимодействия частиц зависит от их природы и состояния и должен рассматриваться методами квантовой механики. Для разных частиц, находящихся в разных состояниях, результат получится разный. Очевидно, можно лишь ставить задачу о вычислении контура и ширины данной линии, как можно, например, говорить о расчете функции возбуждения данного энергетического уровня атома. В таком направлении расчеты велись в редких случаях в основном они сводились к рассмотрению определенных приближенных схем, выбор которых иногда определялся не столько физическими предпосылками, сколько возможностью разрешить возникающие математические трудности. Тем не менее был получен ряд результатов, представляющих интерес. [c.497]

Определив вид F z) при помощи рядов Фурье методом, описанным выше, можно либо получить вид h n) путем вычисления значения интеграла в уравнении (78) при изменении л от - -со до —оо, либо по- строить кривую h(n) методом разложения F z) в ряд Фурье. В последнем случае коэффициенты разложения и представляют собой значения h n) для различных п. Специальный анализ функции h n) показывает, что из нее можно получить значение среднего размера частиц D, [c.738]

Положим, что на массу действует вертикальная возмущающая сила S, заданная как функция времени. Ограничиваясь рассмотрением случая периодической возмущающей силы, предположим, что сила S задана как периодическая функция времени с периодом Т. Начнем с разложения силы S на ее гармонические составляющие. Сделаем еще предположение, что среднее значение силы S за один период равно нулю в таком случае постоянный член в разложении величины S в ряд Фурье будет отсутствовать, и мы будем иметь [c.439]

Следовательно, можно считать, что спектральный прибор, выделив синусоидальные составляющие из исследуемого излучения, как бы провел экспериментальное разложение заданной функции в ряд Фурье. Математическая операция получения спектра функции E t) и физический эксперимент, заключающийся в разложении электромагнитной волны на составляющие, привели к одинаковым результатам и, по-видимому, близки по количеству получаемой информации об исследуемом излучении. Такое же сравнение математического и физического спектров можно провести и в более сложном случае, когда изучаемая функция не является суммой гармонических колебаний, хотя отличная от нуля ширина аппаратной функции усложняет интерпретацию эксперимента и приводит к дополнительным трудностям, которые здесь не рассмотрены. [c.69]

При сравнении математического и физического способов получения спектра произвольной периодической функции возникает следующая интересная проблема хорошо известно, что разложение функции E(t) можно проводить не в ряд Фурье, а каким-нибудь другим способом с использованием более сложных функций. С точки зрения математика эти два разложения эквивалентны, если в обоих случаях выполнены соответствующие условия сходимости рядов. Физик же всегда оказывает явное предпочтение разложению по гармоническим составляющим, исходя из его физической целесообразности. [c.69]

Таким образом, трансформанта Фурье в данном случае с точностью до множителя совпадает с соответствующим коэффициентом разложения в ряд Фурье. Поэтому представление функции в виде ряда Фурье восстанавливает функцию по трансформанте [c.81]

В случае сложного закона изменения во времени вынуждающего воздействия важным является гармонический анализ, позволяющий разложить функцию, выражающую упомянутый закон на гармоники (разложение в ряд Фурье). Если частота одной из этих гармоник совпадает с собственной частотой, наступает резонанс происходит как бы сепарация значительной части составляющих возбуждающего воздействия. Такое явление иногда называют избирательным резонансом. [c.220]

Первая форма решения для установившегося режима. Воспользуемся решением в виде (4.72), полученным с помош ью метода условного осциллятора. Поскольку в (4.72) используется разложение в ряды Фурье, эта форма решения более эффективна, когда функция W t) непрерывна и дифференцируема, что обычно свойственно цикловым механизмам с непрерывным движением ведомого звена типа рычажных, эксцентриковых и т. д. В нашем случае при учете (4.25), (5.5) и (5.8) [c.168]

В этом случаев качестве функций ф (х) может быть выбрана какая-либо полная система ортогональных функций (например, разложение в ряд Фурье и т. п.). Для скалярных функций векторного аргумента возможно разложение по ортогональным функциям более сложной структуры. Однако в практических задачах использование ортогональных функций не обязательно, так как ряд (8.1) всегда должен иметь конечное число членов. Один из простейших способов образования функций ф (х) выражается равенством [c.64]

Традиционный метод вычисления этого интеграла [42] состоит в разложении функции Эри в подынтегральном выражении в ряд Фурье по формуле (I.I7). Результат интегрирования удобно выразить через Л-функции, приведенные в формуле (1.20) и описанные в приложении. АК реального ИФП с клином принимает в том случае согласно работам [4, 42] вид [c.21]

Граничные условия для внешнего края не могут быть удовлетворены непосредственно, так как они не удовлетворяются для этих условий функциями в виде тригонометрических рядов от координаты 0. Удовлетворение граничным условиям на внешнем контуре возможно приближенно с помощью разложения в ряд Фурье. В данном случае мы имеем границу, состоящую из четырех прямых линий, образующих между собой прямые углы. Поэтому коэффициенты Фурье получаются суммированием их для отдельных участков. Если пластина симметрична относительно оси х, ее движение разделяется на два типа симметричных и антисимметричных колебаний. В этом случае, если принять 0 за независимую переменную, граничные условия выражаются в виде следующих рядов Фурье [c.74]

Аналитические методы определения динамических характеристик объектов основаны на составлении их дифференциальных уравнений, которые базируются на использовании физических законов сохранения массы, энергии и количества движения. Таким путем удается получить нелинейное уравнение динамической характеристики, однако решить его аналитически не удается. Следующим этапом является линеаризация уравнения, т. е. переход к линейной математической модели объекта. Линеаризацию обычно проводят разложением нелинейных зависимостей в ряд Тейлора в приближении исходного стационарного режима с сохранением только линейной части разложения и последующим вычитанием уравнений статики. Полученная таким образом линейная модель объекта справедлива при малых отклонениях от исходного стационарного режима. Решение уравнения при ступенчатом или импульсном изменении входных величин позволяет получить переходные функции — кривые разгона или импульсные временные характеристики объекта. Рещение часто приводит к области изображений Лапласа или Фурье. В этом случае получаются передаточные функции или амплитудно-фазовые характеристики. Для выявления динамической характеристики котла аналитическим путем необходимо построение его математической модели. [c.498]

Ряды Фурье для функции с нулями на концах. Функция f (z) может быть очень общей функцией от 2. Единственное ограничение, которое накладывается на f (г),— это обращение в нуль на концах, т. е. / (г)=0 при 2=0 и z=L. Потребуем также, чтобы / (г) не была ломаной функцией в малом масштабе. Это необходимо потому, что волновая функция il (z, ) — медленно меняющаяся функция от 2. Функция f (2) должна быть достаточно гладкой, для того чтобы мы смогли придать ее форму струне и для того чтобы струна подчинялась дифференциальному уравнению, полученному с помощью непрерывного приближения. Таким образом, мы нашли, что любая разумная функция /(2), которая обращается в нуль в точках 2=0 и z=L, может быть представлена рядом (39), т. е. суммой синусоидальных колебаний. Выражение (39) называется рядом Фурье или разложением Фурье. В данном случае мы имеем дело с разложением Фурье для функции, равной нулю на концах. В общем случае разложение в ряд Фурье применимо и к более широкому классу функций. Теперь мы найдем этот более широкий класс функций. [c.68]

Уравнение (5.46) отличается от стационарного уравнения для функции IV в случае флуктуаций параметров в виде телеграфного процесса (см. уравнение (5.22)) наличием перед IV дополнительного оператора -Ь 2Ь и, ф)). Однако если мы поступим далее так же, как и в предыдущем разделе, т. е. рассмотрим только первую гармонику разложения в ряде Фурье по пренебрегая остальными гармониками, и, в силу малости параметра у, [c.226]

Схемотехническое проектирование радиотехнических (RF) схем отличается рядом особенностей математических моделей и используемых методов, прежде всего в области СВЧ-диапазона. Для анализа линейных схем обычно применяют методы расчета полюсов и нулей передаточных характеристик. Моделирование стационарных режимов нелинейных схем чаще всего выполняют с помощью метода гармонического баланса, основанного на разложении неизвестного рещения в ряд Фурье, подстановкой разложёния в систему дифференциальных уравнений с группированием членов с одинаковыми частотами тригонометрических функций, в результате получаются системы нелинейных алгебраических уравнений, подлежащие решению. Сокращение времени в случае слабо нелинейных схем достигается при моделировании СВЧ-устройств с помощью рядов Вольтерра. Анализ во временной области для ряда типов схем выполняют с помощью программ типа Spi e путем интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.136]

В гл. 3 с использованием сопряженных уравнений исследуются нестационарные процессы переноса тепла в каналах ядерных реакторов. Здесь также в центре внимания находится получение формул теории возмущений, которые в данном случае характеризуют нестационарные процессы. Описываются наиболее общий метод собственных функций, используемый для разложения нестационарного решения в ряд Фурье и требующий для своей реализации знания системы собственных функций сопряженного уравнения, биортогональной к системе собственных функций основного уравнения. [c.6]

Представ1грь функцию Ml (ф) в виде разложения в ряд Фурье (4.40). В случае п = 12 амилитуды первой и второй гармоник определяются по формулам [c.133]

Покажем теперь метод определения границы области устойчивости на частном, но имею1цем большое значение случае, когда разложение (7.74) функции p(t) в ряд Фурье содержит только два периодических слагаемых самой низкой частоты, т. е. [c.245]

Ряд Фурье содержит бесконечное число членов, но нередко бывают случаи, когда все коэффициенты, за исключением нескольких, оказываются равными нулю II тогда удается получить относительно простое п точное выражение для раскладываемой в ряд функции. Часто при разложении функции в ряд Фурье практически с достаточной точностью можно ограничиться лишь несколькими первыми членами ряда, так как коэффициенты ряда быстро убывают при увеличении номера члена ряда. Например, на рие, 154, а показан график колебаний, имеющий вид ломаной линии е амплитудой 0 мм и периодом 0,1 е. Следовательно, основная частота колебаний й) = 2я/Г = 20я. Соответствующие вычиеления показывают, что для этой функции отличны от нуля только коэффициенты ряда с нечетными индекеами ] = 10 Ьз=—1,5 5 = 0,6 Ь =—0,3. Так как они быстро убывают, то в данном случае можно вполне ограничиться первыми четырьмя членами ряда с этими коэффициентами. Подставив их значения в (49.1), получим [c.194]

При анализе отклонений формы и расположения используют разложение в ряд Фурье уравнения, определяющего смещение инструмента, причем члены ряда Фурье характеризуют отклонение размера (К = 0), расположения (К = 1), формы (К = 2, 3,... ). Разложение можно выполнить в том случае, если смещение Дг и значения ряда параметров Qi изменяются по некоторму произвольному, но периодическому закону, т. е. являются функциями угловой координаты точек профиля поперечного сечения обрабатываемой поверхности. Считаем, что это условие выполняется тогда [c.578]

При этом учитывается только первая гармоника разложения в ряд Фурье периодической функции аргумента Q/ = гр, т. е. принимается F x, sx) = sinil), i4Q osal)). Коэффициенты q и q гармонической линеаризации в этом случае определяются по формулам [c.129]

Аналитические методы определения характеристик объектов регулирования основаны на составлении их дифференциальных уравнений. Составление дифференциальных уравнений базируется на использовании основных физических законов сохранении массы, энергии и количества движения. Как правило, таким путем удается получить нелинейное уравнение объекта, аналитическое решение которого в общем случае не может быть получено. Следующим шагом является линеаризация полученного уравнения, т. е. переход к линейной математической модели объекта. Линеаризация обычно проводится путем разложения нелинейных зависимостей в ряд Тейлора в окрестности исходного станционарного режима с сохранением только линейной части разложения и последующим вычитанием уравнений статики. Полученная таким образом линейная модель объекта справедлива лишь при малых отклонениях от исходного стационарного режима. Решение уравнений при ступенчатом или импульсном изменении входных величин позволяет получить соответственно переходные функции (кривые разгона) или импульсные временные характеристики объектов. Решение часто проводят в области изображений Лапласа или Фурье. В этом случае получают соответственно передаточные функции или амплитудно-фазовые характеристики. [c.817]

Для составления уравнения состояния аммиака использована методика, предложенная в работе [2.7] и ранее проверенная на ряде фреонов [2.8]. Эта методика основана на разложении аппроксимируемой функции (в данном случае коэффициента сжимаемости) в ряд Фурье по ортонормированной системе функций, полученной ортогонолизацией Грамма-Шмидта из линейно независимого базиса [c.27]

С помощью двух противовесов, вращающихся с угловой скоростью а в противоположных направлениях (рис. 12, б), может быть осуществлено полное уравновешивание сил инерции первого порядка. После разложения проекций главного вектора сил инерции в ряды Фурье функции и в общем случае имеют вид p[=X os (о/-ф + Xj sm at Р у=У os at sin at [c.110]

Рассмотрим многослойную оболочку вращения. Координаты аь 2 направим вдоль меридиана и параллели. Материалы слоев пусть будут ортотропными с осями упругой симметрии, совпадающими с направлениями координатных линий. В этом случае при получении разрешающих уравнений можно пользоваться соотношениями, записанными для амплитудных значений л-й гармоники разложений функции в ряды Фурье по угловой координате 2. Ниже приводятся процедуры получения канонических систем разрешающих дифференциальных уравнений для решения задач статики лмногослойных оболочек вращения общего вида. [c.216]

Задачи рассматриваемого типа, сводящиеся к решению диференциаль-ного уравнения (94) при граничных условиях (95), играют в теорети- ческой физике большую роль. Мы попытаемся решить задачу, предположив, что f(x, бесконечным рядом, каждый член которого представляет произведение из функции от одного только х на функцию от одного только общее выражение для f x, [c.103]

В итоге можно сделать вывод о том, что метод конечных элементов и метод коллокаций совместно с разложением в ряд Фурье дают од41наковые результаты для исследованной проблемы. Хотя метод Ритца в ряде случаев дает значения, существенно превышающие результаты, полученные при помощи двух других приближенных методов, необходимо напомнить, что в нем использовались только функции двух переменных и что вся процедура может быть легко выполнена на микрокомпьютере. [c.67]

Если функция F t) не периодическая, то вместо разложения в ряд Фурье для решения уравнения с правой частью используют интегральное преобразование Фурье. В этом случае F (t) можно представить в виде И11теграла Фурье [c.27]

Наименее исследованной проблемой, для которой известно мало эффективных и строго обоснованных решений, остается краевая задача, возникающая, в частности, в связи с необходимостью приведения объекта в заданное состояние. В случае линейных систем эта проблема решалась путем трактовки задачи как проблемы моментов. Таким путем были изучены задачи об управлении линейными параболическими системами при ограничениях (например, [[ м [[ = onst) и условии, что требуется минимизировать время i = J, по истечении которого у t, х) совпадает с заданной функцией у (х). Разложением в ряд Фурье задача была сведена к выполнению счетной системы равенств вида [c.240]

Как отмечалось в подразд. 1.2, основной задачей демпферов, встроенных в ведомые диски ФС, является снижение уровней крутильных колебаний в трансмиссиях машин, вызванных газовыми и инерционными силами, развиваемыми в ДВС. На ранних этапах разработки методов расчета демпферов [14] для математического описания возмущающего воздействия газовых сил в одном цилиндре двигателя обрабатывались индикаторные диаграммы, полученные экспериментальным путем на установившихся скоростных режимах. В этом случае в результате разложения в ряд Фурье кривой, характеризующей зависимость газовых сил от угла поворота кривошипа коленчатого вала двигателя, определялись амплитуды и фазы гармонических составляющих силы. Такой подход к определению функций изменения гармонических составляющих сил, действующих в цилиндре двигателя, требует проведения трудоемких экспериментальнорасчетных работ и не позволяет прогнозировать силовые характеристики проектируемых перспективных двигателей. [c.96]

В силу нечетности и однозначности всех нелинейных функций, входящих в это уравнение, постоянных составляющих при их разложении в ряд Фурье не будет и в случае существования периодического решения колебания ошибки слежения б будут симметричны относительно оси вре.мени. [c.66]

Рассмотренные случаи определения гармонических членов ряда Фурье позволяют с достаточной для практики измерения кинематической ошибки механизма точностью найти функцию ошибки в ее разложении в ряд Фурье. Сказанное подтверждается опытом измерения ошибок делительных цепей зубофрезерных станков и следует из того, что в каждом цикле измерений имеется до двух десятков групп, в каждую из которых чаще всего попадает только один член ряда Фурье, имеющий практически отличную от нуля амплитуду. Эгот член ряда полностью определяется. Кроме того, так как в двух циклах измерений с различными числами Ку и группы составлены из различных членов ряда Фурье, то в том случае если в одном из циклов измерений какая-либо частота оказывается не единственной в своей группе, вероятнее всего, что по другому циклу частоты этой группы распределяются по одной в другие группы и, таким образом, могут быть определены. Для того же случая, когда два члена ряда Фурье попадают в одну группу по каждому циклу измерений, что вообще бывает редко, в настоящем параграфе рассмотрены способы определения и этих членов ряда. Формально возможны и другие, более сложные случаи комбинаций членов в группах циклов N1 и и их рассмотрение могло бы быть проведено, однако, учитывая, что практически такие комбинации не встречаются и весьма маловероятны, и ввиду громоздкости разбора таких комбинаций мы здесь на них не останавливаемся. [c.59]

Согласно 5-оптике мезоны и метроны могут находиться в состоянии нулевой массы и нулевого заряда. В разложениях волновых функций в ряды Фурье в этих случаях представлена лишь одна составляющая, соответствующая 2 = О, [c.95]

Мы предполагаем здесь, что обе функции У (в), Р в) вегцественно-ана-литичны и имеют период 2тг по 01,. .., и, кроме того, что среднее значение Р в) равно 0. В этом случае уравнение (4) легко решается с помош,ью разложения в ряды Фурье. В самом деле, если положить [c.336]

Качественное интегрирование существенно- облегчит и количественное интегрирование или, точнее, облегчит решение тех количественных вопросов, которые возникают в физике колебаний. В конечном счете теория колебаний не интересуется численными значениями функций в тот или другой частный момент времени ее в основном интересуют те количественные характеристики, которые определяют протекание этой функции на значительных отрезках времени, например в случае периодической функции — ее период, величины коэффициентов разложения в ряд Фурье, спектральный состав для функций, изобразимых при помощи интеграла Фурье, и т. д. [c.34]

Функция, представленная на рис. 6.4, может быть разложена в ряд Фурье в интервале [/1, Щ, если допустить, что она повторяется с периодом, равным или ббльшим длины интервала [/,, г]. На рис. 6.5, а показан дискретный амплитудный спектр в предположении, что период Т совпадает с /2 — ь Расстояние между составляющими Фурье в этом случае равно 1/( 2 — Если период увеличивается, как показано на рис. 6.5, б, то огибающая спектра остается той же (за исключением масштабного множителя), а расстояние между линиями уменьшается. Реальный сигнал, ограниченный во времени, получается в пределе, когда период стремится к бесконечности. Как показано на рис. 6.5, это приводит к тому, что расстояние между спектральными линиями стремится к нулю, т. е. получается непрерывный спектр. С возрастанием периода уменьшается основная частота В разложении Фурье-сигнала мы можем заменить индекс суммирования п на /ь Таким образом, [c.140]

Метод разложения в ряд Фурье, о чём мы говорили выше, является лишь частным случаем более общего метода исследования колебаний различных тел, который мы будем применять во всём дальнейшем изложении. Сначала мы находим возможные моды простых гармонических колебаний системы, удовлетворяющие граничным условиям. В вышеобсуждавшемся случае такие моды выражались функциями [c.128]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...