Ортонормированная система функций

Очевидно, что здесь мы столкнулись с такой же задачей, как и выше требуется найти такую физическую реализуемую переходную функцию h t), чтобы выполнялись условия (1.10). Решается эта задача также путем разложения по ортонормированной системе функций ф (0- Пусть разложения функций корреляции будут следующими [c.31]

Следуя [28], нетрудно показать, что иных имеющих конечные зеркала открытых резонаторов, собственные функции которых также образовывали бы полный ортогональный набор, не существует. Действительно, разложим по ортонормированной системе функций симметричного конфокального резонатора, составленного из зеркал конечного размера, следующую от одного из них к другому произвольную волну ф = [c.149]

При переходе от одной полной ортонормированной системы функций фп я) к другой полной ортонормированной системе функций (/> (( ), т.е. [c.469]

I = 1, 2,. — полная ортонормированная система функций в пространстве 2 1—Тд, Т ], причем при z = / — т, ф, (/— т) для любого I представляется в виде [c.101]

Ценным свойством проекционных методов является то, что функция / (/) характеризуется набором коэффициентов, соответствующих выбранной координатной системе. В этой связи представляют интерес спектральные методы, являющиеся одной из разновидностей проекционных методов, в которых в качестве координатных систем используются ортонормированные системы функций. [c.153]

Разложим потенциал по ортонормированной системе функций [c.92]

Функцию Ща г), как и любую периодическую функцию с периодом решетки п, можно разложить по полной ортонормированной системе функций, заданной в объеме элементарной ячейки v [c.124]

Если 18> — произвольная полная ортонормированная система функций, то уравнения (41.1) и (41.2) можно написать в матричном виде [c.296]

Пусть I з) — полная ортонормированная система функций оператора Яо, т. е. [c.298]

Эта система функций будет ортонормированной (орто-нормальной), если для всех = 0,w справедливо соотношение [c.55]

Разложим функции В<(т) в ряды по некоторой полной системе функций, ортонормированных на промежутке [О, оо). [c.29]

Такая запись для у ,(х) позволяет находить частное решение неоднородного уравнения (1.30) непосредственно через заданную нагрузку (для механических задач), а постоянные интегрирования будут иметь механический смысл начальных параметров. При этом система фундаментальных функций к = , п будет ортонормированной системой [c.21]

При ортонормированной системе фундаментальных функций будем иметь [c.22]

Наличие жесткостных параметров EI, ЕА, Gh, GA и т.д. в матрице X естественным образом масштабирует матрицу А, создавая в ней набор чисел, убывающих по мере удаления от главной диагонали. Определитель матрицы А в безразмерных величинах равен единице. Вместе с системой граничных значений ортонормированных фундаментальных функций это способствует хорошей устойчивости решения системы уравнений (1.46). [c.387]

Вывод составляющих частей уравнения (7.161) показал, что система ортонормированных фундаментальных функций статики пологих оболочек обладает свойством повторяемости. При этом базисные функции имеют вид [c.504]

Введенная таким образом величина (г) называется вторично квантованной волновой функцией. Отметим, что N и р г) как операторы физических величин являются эрмитовыми, тогда как операторная волновая функция ф г) не является эрмитовым оператором. Разложим оператор ф(г) в ряд по ортонормированной системе одночастичных волновых функций [c.351]

Здесь /) ( ), q = 1,...,6 — полная ортонормированная система собственных вектор-функций уравнений (3.9). [c.298]

Таким образом, следующие навстречу друг другу волны, составляющие низшую моду конфокального резонатора, обладают объясняющим рекордно низкие потери такого резонатора экстремальным свойством они осуществляют оптимальную передачу энергии между двумя апертурами (этот результат для частного сл> ая апертур одинакового размера другим способом был пол> ен еще в [80]). Нетрудно видеть, что данные волны не могут составить моду какого-либо иного резонатора, зеркала которого "вписаны в те же апертуры. Поскольку, с другой стороны, мы пришли к выводу об экстремальности указанных волн исходя только из полноты и ортонормированности соответствующей системы функций, предположение о существовании других резонаторов с подобными системами функций противоречит этому выводу. [c.150]

Коэффициенты Ап находятся из разложения известной функции давления в начальный момент времени = О в ряд по полной ортонормированной системе собственных функций Un x,y) [c.371]

В общем случае бывает полезно разложить состояние системы по ортонормированным базисным функциям фт [х) или I т), образующим гильбертово пространство (в качестве этих функций могут быть выбраны, хотя и не обязательно, собственные функции некоторой конкретной наблюдаемой, например энергии) [c.33]

Уточним наши утверждения. Пусть состояние системы определено волновой функцией F (ж), где х означает совокупность пространственных координат N частиц. Эту волновую функцию можно разложить по ортонормированным базисным функциям аналогично разложению (1.4.5) либо (1.4.16) [c.60]

Выясним теперь, каково среднее значение некоторой наблюдаемой в тех случаях, когда система задана таким статистическим образом. Чтобы вычислить среднее значение, произведем разложение каждого из возможных состояний по ортонормированным базисным функциям ф х) [c.61]

В силу ортонормированности системы собственных функций [c.368]

В результате, для описания динамической части прогиба исследуемой круговой трехслойной пластины используется полученная ранее фундаментальная ортонормированная система собственных функций (7.13) [c.433]

Подставляя его в уравнение колебаний (7.140), начальные и краевые условия (7.141), (7.142), умножая члены уравнения на величину rvn dr и интегрируя по радиусу пластины от нуля до единицы, в силу ортонормированности системы собственных функций Vn, получим для неизвестной функции Tn[t) уравнение [c.433]

Для описания динамической части прогиба исследуемой круговой трехслойной пластины используется ортонормированная система собственных функций v j5n ), которая уже была определена выражением (7.13). Тогда [c.448]

Для составления уравнения состояния аммиака использована методика, предложенная в работе [2.7] и ранее проверенная на ряде фреонов [2.8]. Эта методика основана на разложении аппроксимируемой функции (в данном случае коэффициента сжимаемости) в ряд Фурье по ортонормированной системе функций, полученной ортогонолизацией Грамма-Шмидта из линейно независимого базиса [c.27]

При произвольном выборе системы координатных функций с увеличением N приближенные решения могут не стремиться к определенному пределу, так как малые погрешности приводят к значительному искажению решения. Такая ситуация возникает, когда с увеличением N координатные функции мало различимы в смысле метрики в Lii—А, А), т. е. базисные векторы почти линейно зависимые. В этом случае система (1.26) — (1.28) оказывается близкой к вырожденной, а процесс решения задачи неустойчив. Ортонормированные системы функций — пример базисов, векторы которых при любом -N существенно различны. Известны н косоугольные базисы, обладающие отмеченным свойством. Такие системы, по терминологии С. Г. Михлина [69], называют почти ортонормированными. Проекционный метод устойчив в том случае, если координатная система почти ортонормирована в L , ц(—h, h). [c.17]

Отметим, что применение метода моментов равносильно замене ядра интегрального уравнения К(Ь2,Ь) (см. например, (2.49)) вырожденным ядром Kn t2,tl), строягцимся следующим образом. Предполагая ортонормированность системы функций (ркч разлагают ядро К(Ь2,Ь), как функцию 2 в ряд Фурье по этой ортонормированной системе и за Kn t2 ,tl) принимают п-ю частичную сумму этого ряда. Получают п [c.165]

К процессам рассеяния (релеевского и комбинационного) следует также добавить процессы, при которых возбуждённые состояния кристалла выступают только как виртуальные (даже в условиях резонанса). При релеевском рассеянии процессы поглощения и излучения когерентно связаны между собой и оно является процессом упругого рассеяния фотонов в кристалле. Следующее из теории возмущений участие в рассеянии промежуточных (виртуальных) возбуждённых состояний кристалла не отражает реальный процесс перехода в возбуждённое состояние. Действительно, согласно теории возмущений волновая функция кристалла, взаимодействующего с фотоном, представляется в виде суперпозиции волновых функций возбуждённых состояний невозмущённого гамильтониана. Однако эту же функцию можно разложить и по любой другой полной ортонормированной системе функций, определённых в том же пространстве независимых [c.19]

Пусть ф, (ОЬ 10, То], / = 1, 2,. . ., полная ортонорми-рованная система (ПОНС) функций в гильбертовом пространстве вещественных функций 2 [О, Тд] с обычным скалярным произведением [I, 3]. Классические системы ортонормированных функций связаны с вполне определенными промежутками вещественной прямой, которые могут не совпадать с отрезком [О, Т ]. На основе классических систем на ограниченных отрезках вещественной прямой можно строить ортонормированные системы функций на других ограниченных отрезках, и, в частности, на [c.98]

Подход к формированию широкополосной нагрузки, имитирующей эксплуатационную вибрацию, в виде суммы зависимых случайных процессов [9] основан на разложении корреляционной функции моделирующего процесса в ряд по ортонормированной или биортонормированной системам функций. Эти системы строятся на основе специально выбираемых базисов. При этом учитывается реальная форма спектральных плотностей суммируемых зависимых процессов. По сравнению с традиционными методами повышается точность формирования энергетического спектра и уменьшается (примерно в 10 раз) число выделяющих фильтров. Полученные результаты являются методологической основой для построения цифровых и гибридных звеньев в системах формирования широкополосных случайных вибраций. [c.365]

Здес-, n N — новые неизвестные вектор-функции Pi (2/г) — полная система функций дискретного аргумента, ортонормированных со скалярным произведением [c.101]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...