Точные решения линеаризованной задачи

Сферу применения точных аналитических методов удается расширить путем линеаризации нелинейных задач, в частности, с помощью подстановок и уравнений (2.7) и (2.8). Однако, получая точное решение линеаризованной задачи, не следует забывать о тех погрешностях, которые внесены в ее математическую формулировку при линеаризации. В некоторых случаях эти [c.43]

Точные решения линеаризованной задачи [c.330]

С помощью решения линеаризованной задачи о потере устойчивости конструкций [51] можно достаточно точно определить форму выпучивания. Критическое значение параметра деформирования в интервале времени t, t+At) можно уточнить при достаточно малом шаге интегрирования для конструкций из упругого материала. При решении задачи о выпучивании конструкции из упругопластического материала с помощью линеаризованной задачи о потере устойчивости можно определять только (собственные) формы потери устойчивости. Для уточнения критической нагрузки надо уменьшать шаг интегрирования нелинейных уравнений. [c.228]

Такие условия сформулированы в [143]. Отметим лишь, что выполнение этих условий предполагает наличие начального приближения достаточно близкого к точному решению. В задачах механики оболочек таким приближением служит решение линеаризованной задачи (7.5.3), а численное решение линейных краевых задач (7.5.11), как будет показано в гл. 8, эффективно осуш,ествляется методом инвариантного погружения. [c.224]

Поэтому при решении инженерных задач, которые, по существу, все нелинейны, стремятся ограничиться рассмотрением линеаризованных систем, с тем, чтобы использовать хорошо развитые методы решения и исследования линейных уравнений. Другими словами, стремятся заменить приближенное исследование точной (нелинейной) системы точным исследованием некоторой приближенной (линейной) системы. Естественно, что и мы, там где это возможно, будем действовать точно так же. [c.23]

В указанных выше работах обращено внимание также на так называемый парадокс частичной линеаризации, когда зачастую решение частично линеаризованной задачи оказывается менее точным, чем решение полностью линеаризованной, т. е. линейной задачи. Это обстоятельство, наряду с остальными, о которых речь шла выше, лишний раз показывает, как важно, прежде чем приступить к решению какой-либо конкретной задачи, правильно выбрать математическую модель исследуемого процесса, метод решения, вычислительные средства для реализации выбранного метода, схему учета нелинейности, а также оценить возможность и допустимую степень линеаризации. [c.19]

Точные аналитические решения краевых задач нестационарной теплопроводности. Решения первого класса. В случае трехмерной линеаризованной задачи нестационарной теплопроводности, в которой [c.73]

Точное аналитическое решение линейной или предварительно линеаризованной многомерной задачи нестационарной теплопроводности удается получить лишь для элементов конструкций сравнительно простой геометрической формы, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной системе ортогональных координат. Для большинства таких тел известна и табулирована [42, 56] система собственных функций и спектр собственных значений соответствующей однородной задачи. Поэтому для подобных тел удобно использовать достаточно универсальный метод конечных интегральных преобразований. При однородных граничных условиях и одинаковой во всех точках тела начальной температуре решение многомерной задачи для тел простой формы удается представить в виде произведения решений соответствующих одномерных задач [42, 55]. [c.203]

Точное аналитическое решение задачи для одиночного эллипсоидального включения при малых деформациях подробно рассмотрено в [186, 281]. Для решения задач при конечных деформациях могут быть применены приближенные методы метод малого параметра, метод последовательных приближений [119, 120, 125, 127, 373, 380 или метод Ньютона-Канторовича [120, 127]. Нри решении задач о плоской деформации линеаризованная задача может быть решена с использованием комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили 104, 105, 186. [c.331]

Гидродинамика вязкой жидкости развивалась в XX в. по нескольким в значительной степени независимым направлениям. С одной стороны, изучалась полная система уравнений Навье Стокса и ее свойства, был найден ряд точных решений и получены некоторые общие теоремы. С другой стороны, в целях изучения прикладных задач развивались методы решения различным образом усеченных и, в первую очередь, линеаризованных уравнений Навье — Стокса, приспособленных для специфических задач (в частности, приближение гидродинамической теории смазки, линеаризация В. Озеена), также методы численного решения полной системы уравнений. Наконец, в XX в. был заложен новый раздел гидродинамики вязкой жидкости — теория пограничного слоя — и продолжала развиваться обособленная область -гидродинамики — теория турбулентности. [c.294]

Как следует из предыдущего раздела, теория существования и единственности решения задачи с начальными условиями для полного уравнения Больцмана весьма сложна соответствующая же линеаризованная задача достаточно проста в том смысле, что здесь значительные усилия требуются лишь для получения точных оценок предельного подхода к равновесию. [c.440]

Каково время движения по другим траекториям, например по траекториям типа 1 на рис. 13.3 а Это — движение на дне потенциальной ямы, следовательно, это — почти линейные колебания, и их частота определяется из линеаризованной задачи. Для траекторий типа 2 на рис. 13.3 а, близких к сепаратрисе, зависимость х 1) приведена на рис. 13.3в. В том случае, если в (13.3) (1Ш х)/(1х = зтж, т. е. наш осциллятор — это просто маятник, получается известное точное решение, выражающееся через эллиптический интеграл [3]. [c.277]

Приведем точное решение задачи о плоской бегущей волне конечной амплитуды. В отличие от линеаризованной задачи, профиль волны конечной амплитуды изменяется при распространении. Поэтому для такой волны неприменимо понятие скорости волны, в котором профиль волны считается перемещающимся как твердое тело. Оказывается, однако, что каждая точка профиля бегущей плоской волны, т. е. место с определенным значением звукового давления, перемещается при распространении волны с постоянной скоростью при этом скорость различна для разных значений давления — тем больше, чем больше давление. Найдем, какова эта скорость для разных значений давления тогда сможем найти, как меняется профиль волны по мере распространения. [c.408]

Если число Маха мало по сравнению с единицей и если волну рассматривают в течение не слишком долгого времени или на не слишком большом участке ее распространения, то можно учесть нелинейность путем введения малой поправки к решению линеаризованного уравнения, отыскивая поправку методом малых возмущений. Для этого как члены в точном уравнении, так и искомое решение представляют в виде ряда по степеням малого параметра — числа Маха — и, разделяя в уравнениях члены разных порядков, отыскивают последовательные члены решения. Следует иметь в виду, что в воздухе число Маха не превышает 0,0015 даже для болевого порога, поэтому число Маха действительно можно считать в ряде случаев малым параметром задачи. [c.412]

В предыдущих главах решено несколько частных задач устойчивости прямых стержней. В этом параграфе дан вывод обш,его линеаризованного уравнения для произвольно нагруженного упругого прямого стержня переменного поперечного сечения, сформулированы граничные условия и приведены примеры точного и приближенного решения этого уравнения. [c.78]

Приведенные решения иллюстрируют основные подходы к расчету мягких оболочек. Рассматривались простые одномерные задачи в общей нелинейной и упрощенной линеаризованной постановке. При нелинейной постановке необходимо составлять численные алгоритмы расчета, в другом случае иногда можно построить аналитические решения. Упрощенные результаты могут не только применяться для расчёта конструкций, работающих при малых деформациях, но и быть основой для получения более точных нелинейных решений. [c.174]

Точное аналитическое решение линейной или предварительно линеаризованной многомерной задачи нестационарной теплопроводности удается получить лишь для тел сравнительно простой геометрической формы, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной системе ортогональных координат. Для большинства таких тел известны и табулированы [25] система собственных функций и спектр собственных значений соответствующей однородной задачи. Поэтому для подобных тел удобно использовать достаточно универсальный метод конечных интегральных преобра- [c.160]

В качестве примера применения вариационного метода рассмотрим решение задачи Крамерса (разд. 4 гл. VI) для БГК-модели [54] мы знаем, что данную задачу можно решить точно, но теперь игнорируем это обстоятельство. Если следовать методу, изложенному в разд. 12 гл. IV, то возмущение функции распределения можно выразить через единственный момент, а именно через <г-компоненту массовой скорости, V2> x). Дело в том, что плотность, температура и оставшиеся компоненты скорости остаются невозмущенными при линеаризованной постановке задачи (как нам известно из процедуры разбиения, использованной в гл. VI). Следовательно, можно записать интегральное уравнение для из, взяв соответствующий момент от [c.396]

Проведенные оценки дают возможность выявить наиболее существенные факторы и отбросить второстепенные. Для целей предварительного анализа траекторий движения КА в 2 была использована простейшая модель линеаризованной в окрестности Ьг круговой ограниченной задачи трех тел. Для более точного описания пассивного движения КА необходимо в первую очередь учесть нелинейность задачи по отклонениям от равновесной точки и эллиптичность орбиты Луны. В следующем параграфе будет рассмотрена нелинейная задача о движении КА в окрестности Ьг в рамках эллиптической ограниченной задачи трех тел (Земля — Луна — КА) без учета возмущающего влияния Солнца и других внешних факторов. Эта задача имеет и самостоятельный интерес. Ее решение можно положить в основу алгоритма расчета пассивного движения КА в окрестности Ьг- [c.281]

Принимается, что закон Гука в форме (2.1.1) представляет собой не линеаризованное, а точное соотношение, причем используемые при его формулировке переменные - напряжения, перемещения и координаты - можно полагать либо лагранжевыми, либо эйлеровыми (см. 3.1). Тем самым вводятся две различные механические системы, отличия между которыми проявляются в области, где существенна геометрическая нелинейность. В том же параграфе показано, что решения задач из гл. 2 для трещин, берега которых свободны от внешних нагрузок, отвечают лагранжевой интерпретации и соответствуют определяемой ею модели упругого тела. Модель эта характеризуется взаимно однозначной связью между напряжениями - тензором Пиолы-Кирхгофа и градиентом перемещения. Последний определяет потенциальную энергию системы. Однако данная модель не отвечает никакому реальному уравнению состояния. Достаточно сказать, что напряжения (ограниченные) возникают здесь и при повороте тела в целом. Для модели, соответствующей эйлеровой интерпретации, кроме того, энергия деформации непотенциальна. [c.68]

В заключении этой главы полезно было бы напомнить общее положение, лежащее в основе почти всей прикладной математики. Это положение гласит, что точное решение линеаризованных дифференциальных уравнений движения эквивалентно в то же время приближению, полученному из решений точных (нелинейных) уравнений, управляющих системой. Конечно, точного общего математического определения этого положения не существует, но данная процедура давно стала стандартной в прикладной математике. Действительно, его внешняя привлекательность усиливается ещё и теми огромными трудностями, с которыми неизбежно сталкиваются при использовании любого другого метода решения. На справедливость данного утверждения а posteriori указывает множество решенных таким способом задач. Тем не менее, с точки зрения логики, это положение не имеет строго математического обоснования . [c.57]

Упомянем о случае, представляющем интерес с формальной точки зрения, хотя он и не имеет прямого физического смысла. Зто- газ из частиц, взаимодействующих по закону / = а/г ). Этот случай характерен тем, что сечение столкновений таких частиц (определенное по классической механике) обратно пропорционально их относительной скорости Уотн, а потому фигурирующее в интеграле столкновений произведение оказывается зависящим только от угла рассеяния 6, но не от Уотн- В этом свойстве легко убедиться уже из соображений размерности. Действительно, сечение зависит всего от трех параметров постоянной а, массы частиц т и скорости Уотн- Из этих величин нельзя составить безразмерной комбинации и всего одну комбинацию с размерностью площади Уо (сс/т) / ей и должно быть пропорционально сечение. Это свойство сечения приводит к существенному упрощению структуры интеграла столкновений, в результате чего оказывается возможным найти точные решения линеаризованных кинетических уравнений задач о теплопроводности и вязкости. Оказывается, что они даются просто первыми членами разложений (10,7) и (10,13) ). [c.52]

Стационарные решения вида (1.1) не являются одномерными, поэтому даже линеаризованная задача гидродинамической устойчивости не допускает в качестве решений синусоидальных по 2 возмущений вида е " , где а — волновое число. Чтобы все-таки свести проблему 1 задаче Орра — Зоммерфельда, приходится игнорировать зависимость замораншвая переменную г и рассматривая ее в качестве параметра. Такой подход, принятый в работах [58, 59], является приближенным и дает тем более точные результаты, чем больше значение параметра а, т. е. для коротковолновых возмущений, иа длине волны которых можно пренебречь зависимостью от г основного течения. [c.204]

Такая запись позволяет преодолеть трудности решения нелинейных задач следующим образом. Делим весь диапазон нагружения на отдельные ступеньки. Каждая ступенька принимается настолько малой, что можно применять линеаризованные уравнения (295). Решаем для каждой ступеньки линеаризованную задачу. Решение нелинейной задачи получается как последовательность линейных решений. В случае, когда удается ступеньку устремить к бесконечно малому значению и получить предельный переход, последовательность дает точное решение. Правда, линеаризованные уравнения в сложных задачах будут содержать множители U ,, (х),т. е. линейные уравнения будут иметь переменные коэффициенты. Для таких уравнений нет столь же подробно разработанных методов решения, как для уравнений с постоянными коэффициентами. Линеаризованные зависимости типа (295) с наибольшим успехом применяются для случаев с однородными предварительными полями перемещений, для которых ы. = onst [25], [93] и др. Такими, например, являются задачи о потере устойчивости сжатых стержней и др. [c.142]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

В статье. дается вывод формулы для дебита скважины в безнапорном движении со слабопроницаемым водоупором на основе второго способа линеаризации, по ЬР, использовавшегося ранее Н. Н. Веригиным применительно к другого рода задачам. Получена более правильная формула для дебита, чем у А. Н. Мятиева. В 1962 г. С. Т. Рыбакова провела численное решение нелинейного уравнения (3) п показала, что линеаризованное по уравнение (7) дает результаты, близкие к точным. [c.192]

Исследование влияния начальной деформации на процесс динамического контактного взаимодействия массивных штампов дискретных механических систем с преднапряженными средами, основанное на использовании решений интегральных уравнений соответствующих смешанных задач линеаризованной теории упругости, предъявляет высокие требования к точности и надежности этих решений и, в первую очередь, к точному учету динамических свойств исследуемых объектов. [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...