Трансфер-матрица

Квантовый метод обратной задачи. В зтом методе одним из центральных объектов является трансфер-матриц а Г. Она определяется следующим образом [c.152]

Запишем трансфер-матрицу в инвариантной форме, перейдя от 5-матрицы размерности I к нек-рой -матрице размерности следующим образом [c.152]

Установив зависимость элементов матрицы рассеяния от спектральною параметра X, можно убедиться, что в точке д = 0 5-матрица совпадает с матрицей перестановки. Если с помощью этого частного значения -матрицы образовать трансфер-матрицу по ф-ле (И), то именно через неё будут выражаться гамильтониан и импульс системы. [c.153]

Другим непосредственным следствием теоремы является существование положительной трансфер-матрицы. Предположим, что мы умеем строить термодинамический предел по крайней мере во временном направлении, и допустим, что он инвариантен относительно сдвигов по времени. Пусть Р Фк . Обозначим через ТР эту же функцию, но только от полей, сдвинутых на две единицы в положительном направ-лепии времени, Ясно, что Т р рух равномерно ограничено по N. Повторно используя неравенство Шварца, получаем [c.23]

Из одномерных моделей в этой книге будет рассмотрена только модель Изинга с взаимодействием между ближайшими соседями [117, 152]. Она удобна в качестве простого введения в технику трансфер-матриц, которая будет использоваться в более трудных двумерных моделях. Хотя эта модель и не имеет фазового перехода при ненулевых температурах, длина [c.19]

На каждом шаге вычислительной процедуры умножение на матрицу V соответствует суммированию по конфигурациям еше одного узла решетки. Матрица V называется трансфер-матрицей. В последующих главах мы увидим, что трансфер-матрицы могут быть определены для моделей в двух и более измерениях. При этом уравнение (2.1.10) все еше выполняется, но, к сожалению, матрица V становится очень большой. [c.41]

В более общей формулировке, если мы имеем любую решеточную модель, трансфер-матрица V которой может быть представлена в виде (6.4.ЗОа), и если мы можем построить операторы U, ,. .., С/", [c.90]

Чтобы получить точные коммутационные соотношения, необходимо использовать явное представление операторов для введения циклических граничных условий. Кроме того, чтобы привести трансфер-матрицу к форме, аналогичной (6.4.30а), необходимо вводить неудобный циклический сдвиг спиновых индексов при переходе от одного ряда к следующему. По этим причинам коммутационные соотношения для шести- и восьмивершинных моделей Изинга будут получены непосредственно без использования (6.4.30), (6.4.31). Но и в этом случае коммутационные соотношения всегда являются, как будет подчеркнуто ниже, прямым следствием соответствующего соотношения звезда — треугольник. [c.91]

В разд. 11.7 будет показано, что в случае модели Изинга можно полностью избежать применения формализма трансфер-матрицы свободная энергия получается с помощью одного лишь соотношения звезда — треугольник и его следствий [c.91]

С тех пор было предложено много альтернативных выводов. Метод трансфер-матрицы использовался в ряде работ [25, 208, 215, 232]. [c.93]

Обсуждение всех этих подходов в деталях выходит далеко за пределы данной книги. В этой главе будет представлен метод, который может быть назван методом коммутирующих трансфер-матриц. Его преимуществом является возможность обобщения для решения восьмивершинной модели, как это показано в гл. 9. [c.93]

Матрицы V и известны как трансфер-матрицы. Задача состоит теперь в том, чтобы найти максимальное собственное значение У . [c.95]

Это обобщенное коммутационное соотношение. Если оно верно, то, как будет показано в следующем разделе, все трансфер-матрицы коммутируют, и это свойство будет использовано для получения свободной энергии. Но сначала ограничимся выяснением вопроса о том, может ли выполняться равенство (7.3.5). [c.97]

Кроме установленных выше свойств коммутации и обращения, нам потребуются также некоторые простые свойства симметрии трансфер-матриц. [c.99]

КОММУТАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ТРАНСФЕР-МАТРИЦ [c.100]

Пусть и /00. Тогда в соответствии с (7.7.3) ехр(2А ) и ехр( —2L)— i. Однако, как следует из (7.4.7), элементы трансфер-матрицы не меняются при одновременной перемене знака у ехр(2А ) и exp(2L). Поэтому [c.105]

Недостаток используемого здесь метода, как и любого метода, не свя-занного с явным представлением трансфер-матрицы, состоит в том, что с его помощью мы можем лишь показать, что любые собственные значения матрицы У должны иметь вид (7.9.7) при подходящем выборе 7р. . . , 7 . Но этот метод не позволяет найти, сколько собственных значений имеется при заданном выборе 7р. .., 7 и имеется ли вообще хотя бы одно. [c.113]

Каково следующее за максимальным собственное значение трансфер-матрицы Ясно, что одним из кандидатов является — собственное значение, которое получаем, полагая г = - I, =. .. =7 = +1. Согласно (7.9.13), (7.9.14), (7.9.3) и (7.7.14), оно определяется выражением [c.115]

Это кажущееся противоречие возникает из-за того, что трансфер-матрица VW не является, вообще говоря, симметричной матрицей поэтому не все ее собственные значения действительны. Собственное значение Л2 является просто наибольшим в целой полосе собственных значений, различающихся аргументами. В пределе больших п эта полоса становится непрерывной, и вклад от у = 2 в (7.10.33) может быть компенсирован вкладами от собственных значений, которые сколь угодно близки к Л2 по модулю, но различаются своими аргументами. Было показано [120, 122], что подобная ситуация имеет место в случае восьмивершинной модели, обсуждаемой в гл. 10. [c.122]

К счастью, в рассматриваемом случае легко исправить положение, поскольку может зависеть только от к. Для заданного значения к рассмотрим изотропный случай К L. Согласно (7.4.2), трансфер-матрица тогда будет симметричной, так что ее собственные значения будут действительными, и формула (7.10.41) окажется правильной. Используя (7.6.1), [c.122]

Учитывая всю трудность вычисления, это изумительно простой результат. Интересно, что какой-либо простой способ его получения так и не найден. Вывод, использующий угловые трансфер-матрицы и применимый к более общей восьмивершинной модели, дан в разд. 13.7. [c.123]

Это уравнение (7.6.1) представляет собой условие коммутации две трансфер-матрицы, характеризуемые одним и тем же значением к, но разными значениями и, коммутируют. Это было установлено в первой части разд. 7.3 с помощью соотношения звезда — треугольник (6.4.4), (6.4.5). По существу, (7.6.1) представляет собой просто новую интерпретацию (6.4.13). [c.127]

Как показано в гл. 10, модели типа льда представляют собой специальный случай восьмивершинной модели, которая также может быть решена. Модели типа льда в фазе III соответствуют восьмивершинной модели при критической температуре. В этом случае имеется бесконечное число собственных значений трансфер-матрицы, вырожденных с максимальным значением. Спонтанный порядок и поверхностное натяжение отсутствуют, но корреляционная длина бесконечно велика. [c.154]

Заменяем (8.1.3) на ( .12.2) и вспоминаем, что трансфер-матрица V распадается на N + 1 диагональных блоков со своими значениями п. При этом выражение (8.2.1) принимает следующий вид [c.164]

Поскольку V — исходная трансфер-матрица, для заданного значения п совпадает со свободной энергией /, определяемой посредством (8.7.7), [c.164]

Модель Изинга (У =У, = 0, Jточно решается, напр., методом трансфер-матрицы, или матрицы переноса (см. ниже), не только для обменного взаимодействия, но и в более общем случае при включении в гамильтониан внеш. маги, поля Н этот метод также оказывается весьма полезным при решении ряда других Т, р, м. [c.151]

Свободная энергия модели Изинга определяется наибольшим из двух собств. значений трансфер-матрицы. Однако при Т=Н=а оба собств. значения совпадают, обращая при этом корреляц. длину в бесконечность. Это означает, что в одномерной модели Изинга точка Т=Н=0 является критической точкой. Полученный результат есть следствие общей теоремы теории фазовых переходов, согласно к-рой дальний порядок (см. Дальний и ближний порядок) в системе возникает только тогда, когда наибольшее собств. значение трансфер-матрицы асимптотически вырождено. Такое поведение согласуется также с тем, что для одномерных систем с взаимодействием конечного радиуса вклад в свободную энергию от энтропийного слагаемого преобладает, и упорядоченное состояние оказывается термодинамически неустойчивым. В случае же с бесконечным радиусом взаимодействия собств. значения трансфер-матрицы становятся вырожденными, что соответствует фазовому переходу. Каждый спин системы при этом взаимодействует со всеми остальными спинами, так что вся цепочка представляет собой единый кластер, т. е. модель преобразуется в решётку с бесконечным координац. числом (т. н. бесконечномерная модель), для к-рой точным оказывается среднего поля приближение. [c.151]

Л А г-модсль J = J,), или модель Гейзенберга — Изинга, точно решается методом анзатца Бете и сводится к двумерной, т.н. шестивершинной, модели, к-рая, в свою очередь, известна также как модель типа льда на квадратной решётке (см. Двумерные решёточные модели). Связь этих моделей позволяет использовать результаты, полученные для шестивершинной модели в случае XXZ-модели. Преимущество классич. двумерной шестивершинной модели перед одномерной квантовой A A Z-моделью заключается в том, что для решения двумерной модели удобно использовать метод трансфер-матрицы. [c.151]

Иллюстрирование схемы КМОЗ на примере A yZ-моде-ли показало, что для этой задачи было необходимо ввести S-матрицы вида (20). Существенно отметить, что для этой задачи введённая 5"-матрица не является физической, но представляет нек-рую абстрактную 5-матрицу, использование к-рой в схеме КМОЗ приводит к диагонализации гейзенберговского гамильтониана. Для др. физ. задач, напр, о цепочке Хаббарда или об эффекте Кондо, частицы имеют внутр. симметрию и их состояния характеризуются дискретным индексом, конкретно—проекцией спина, поэтому физ. 5-матрица в этих задачах является матрицей по этим индексам. Она должна удовлетворять ур-нию Янга — Бакстера, и с её помощью вводятся описанные выше ма-тем. конструкции КМОЗ — матрица монодромии Т и трансфер-матрица Т. Однако этих величин недостаточно для полного рещения задачи. Особую проблему составляет учёт периодических граничных условий. В рамках КМОЗ эта проблема нахождения импульсов сводится к диагонализации трансфер-матрицы Т на т. н. нерегулярной решетке. [c.153]

Положительность ОШ позволяет дать физическую интерпретацию двум типам часто встречающихся наблюдаемых петлям Вильсона и контурам т Хоофта (вихри, моноиоли). Допустим, что выполнен термодинамический предельный переход и мы имеем неотрицательную трансфер-матрицу. [c.24]

В заглавии книги слова точно решаемые выбраны с известной осторожностью. Они не обязательно означают строго решаемые . Например, при выводе формулы (13.7.21) производится перемножение и диагонализация бесконечномерных угловых трансфер-матриц. Следовало бы показать, что матричные произведения сходятся. Я не сделал этого, но полагаю, что они действительно сходятся (по крайней мере настолько, чтоб1 1 обеспечить проведение вычислений) и, следовательно, формула (13.7.21) совершенно правильна. [c.8]

Изинг предложил свою модель в 1925 г. [117] и решил ее для одномерной системы. Это решение приводится в данной главе частично потому, что оно представляет собой по сушеству введение в технику трансфер-матриц, которая будет использоваться ниже, но также вследствие того интереса, который представляет любая простая, точно решаемая модель. Одномерная модель не имеет фазового перехода при какой-либо ненулевой температуре, но, как будет показано ниже, она имеет критическую точку при // = Г = О, в ней могут быть разумным путем введены критические показатели и выполняются гипотеза подобия и связанные с ней соотношения. [c.40]

Соотношение звезда — треугольник имеет весьма важные следствия. Рассмотрим две модели Изинга на квадратной решетке, аналогичные описанным в разд. 6.2, с разными значениями К и L, но с одинаковым значением sinh 2К sinh 2L. Онсагер [186] заметил, что из соотношения звезда — треугольник следует коммутативность диагональ-диагональных трансфер-матриц при условии, что наложены циклические граничные условия. [c.90]

Свободная энергия двумерной модели Изинга в отсутствие внешнего поля впервые была вычислена Онсагером [184] в 1944 г. Он диагонализировал трансфер-матрицу, используя неприводимые представления соответствующей матричной группы. Его студентка Брурия Кауфман упростила этот вывод в 1949 г. [143], показав, что трансфер-матрица принадлежит к группе спинорных операторов. [c.93]

Основная идея состоит в том, что диагональ-диагональная трансфер-матрица рассматривается как функция двух коэффициентов взаимодействия К и L. Нетрудно установить, что две такие матрицы коммутируют, если они характеризуются одинаковыми значениями к = (sinh 2АГ sinh 2L и для любой такой матрицы может быть найдена другая, фактически обратная ей матрица. Этих свойств в основном достаточно, чтобы получить собственные значения трансфер-матрицы. С их помощью можно вычислить свободную энергию, межфазное поверхностное натяжение и корреляционную длину. [c.93]

Замечательной особенностью уравнений (8.4.2), (8.4.10), (8.4.12) и (8.3.22) является то, что они не просто по форме совпадают с анзацем Бете для модели Гейзенберга, но представляют собой в точности то же самое Таким образом, собственные векторы этой модели являются собственными векторами нашей трансфер-матрицы V, Это означает, что Либ [157 — 159] мог воспользоваться известными свойствами модели Гейзенберга, в частности результатами работы [263], чтобы идентифицировать и вычислить максимальное собственное значение в пределе N оо. Указанная работа является весьма строгой в математическом смысле, и заинтересованному читателю предлагается к ней обратиться. Здесь я просто приве- [c.143]

Корреляционную длину J теперь можно получить с помощью рассуждений, аналогичных проведенным в разд. 7.10. Формула (7.10.41) с необходимостью выполняется только при условии, что трансфер-матрица V является симметричной, а это справедливо лишь при а = Ьии — 0. В самом деле, было показано [120, 122], что длина J должна совпадать с длиной затухания корреляции между двумя вертикальными стрелками в том же ряду (а не в том же столбце). Так же как opOq) в (7.10.42), эта корреляция зависит от больцмановских множителей а, Ь, с только через матрицу собственных векторов и. Из (8.4.6), (8.4.10), (8.4.12) и (8.3.22) следует, что собственные векторы зависят только от Д. Это означает в соответствии с. (8.9.1) и (8.9.7), что U является функцией X, но не зависит от v. (Этот вопрос рассмотрен в следующей главе.) Таким образом, длина также не должна зависеть от i/, что противоречит (7.10.41) и (8.10.11). [c.157]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...