Свободные колебания прямоугольных пластин

Одной из основных задач, возникающих при рассмотрении свободных колебаний прямоугольных пластин, в срединной плоскости которых действуют растягивающие или сжимающие усилия, является определение частот и форм колебаний. При определении частот для изотропных и ортотропных пластин применим метод Бубнова—Галеркина и найдем приближенные значения основной частоты и частот более высокого тона. [c.338]

Рассмотрим свободные колебания прямоугольной пластины, которая находится под действием некоторой распределенной нагрузки, приложенной в ее срединной плоскости (фиг. 1). [c.308]

Заметим также, что полученное выражение (16) для позволит определить частоту основного тона ((01) для свободных колебаний прямоугольной пластины, закрепленной по всему контуру в случае отсутствия сил, действующих в ее срединной плоскости. [c.312]

Определим частоту собственных колебаний шарнирно опертой многослойной пластины прямоугольной в плане с линейными размерами /, Ь (рис. 3.3). Принимая во внимание первую формулу (3.41) и равенства, = 22 =А 12=0,из (3.66) получим уравнение свободных поперечных колебаний прямоугольной пластины [c.67]

В работе [394] рассматриваются задачи о собственных колебаниях слоистых анизотропных пластин. Используется вариант уточненной теории изгиба с учетом деформаций поперечного сдвига. Предполагается линейный закон изменения поперечных сдвиговых деформаций вдоль толщины каждого слоя. Вариационным путем получена система уравнений двенадцатого порядка в частных производных. Решение разрешающей системы уравнений получено для случая свободно-опертой прямоугольной пластины. Проведено сопоставление с результатами, найденными на основе уравнений трехмерной теории упругости. [c.18]

Из задач, которые легко могут быть решены точно, укажем колебания опертой по контуру прямоугольной пластины (фиг. 280). Амплитудные прогибы при свободных колебаниях такой пластины могут быть представлены в виде [c.466]

Рассматривая высшие формы колебаний и соответствующие им узловые линии, видим, что приведенные выше обсуждения квадратных мембран (см. рис. 5.36) в равной степени применимы и к квадратным пластинам. Кроме того, без особого труда может быть решена задача о вынужденных колебаниях прямоугольной пластины со свободно опертыми краями. Отметим также, что не встречаются особые математические трудности при исследовании колебаний прямоугольной пластины, две противоположные стороны которой свободно оперты, а две другие либо не закреплены, либо жестко защемлены . [c.447]

Колебания прямоугольных пластин. Прямоугольные пластины— звучащие тела колокольчиков, ксилофонов и т. д. Пластины местами расположения узловых линий укладывают на специальные шнуры или узкие мягкие прокладки. Для основного тона узловые линии проходят на расстоянии примерно V9 длины пластины от ее концов. Опоры несколько приглушают обертоны, не имеющие узловых линий, совпадающих с линиями опор. В этом случае пластину можно рассматривать как свободно колеблющийся призматический стержень. Собственную круговую частоту колебаний пластины можно определить из соотношения [38] [c.334]

Представляют интерес также моды, связанные с радиальными колебаниями дисков и контурными колебаниями прямоугольных пластин. Изучение радиальных мод дисков (т. е. симметричных пульсаций боковой поверхности) имеет большое значение для определения свойств пьезокерамики. Эти радиальные моды весьма сильно выражены и в значительной мере свободны от влияния других мод колебаний. Керамические диски имеют наиболее удобную для изготовления форму и широко используются в ультразвуковой технике в диапазоне частот от 30 кгц до 6 Мгц. [c.280]

Колебания прямоугольной пластины. В случае прямоугольной пластины (рнс. 235) со свободно опертыми краями можно поступить как в случае прямоугольной мембраны и взять прогибы пластины при колебаниях в виде двойного ряда [c.425]

При рассмотрении высших форм колебаний и их узловых линий можно использовать прежние рассуждения, относящиеся к колебаниям прямоугольной мембраны. Без всяких затруднений также можно получить решение для случая вынужденных колебаний прямоугольной пластины со свободно опертыми краями. Нужно отметить, что без больших математических трудностей могут быть исследованы также случаи колебаний прямоугольной пластины со свободно опертыми двумя противоположными краями и двумя другими краями, свободными или защемленными ). [c.426]

Прямоугольная пластина. Для прямоугольной пластины со сторонами а н Ь, свободно опертой по всем четырем сторонам, частота собственных колебаний определяется по формуле [c.419]

Конечно, также можно дать вариационные формулировки и для задач о колебаниях упругих пластин [39—41 ], хотя в данной главе мы не касались этой темы. Вариационные принципы применялись для решения задачи о свободных колебаниях неизотропных прямоугольных кварцевых пластин с вырезом [421. Заметим также, что автоколебания или вынужденные колебания пластин, обусловленные аэродинамическими силами, являются одной из центральных проблем аэроупругости [43, 44). Некоторые задачи на эту тему представлены в упражнениях в конце этой главы (см. задачи 14—17). [c.248]

В монографии представлены результаты теоретических и численных исследований, выполненных авторами в области механики и вычислительной математики слоистых тонкостенных анизотропных оболочек, а также неклассическая математическая модель нелинейного деформирования тонкостенных слоистых упругих композитных пластин и оболочек, отражающая специфику их механического поведения в широкой области изменения нагрузок, геометрических и механических параметров, структур армирования. Предложен и реализован эффективный метод численного решения краевых задач неклассической теории многослойных оболочек, основанный на идеях инвариантного погружения. Получены решения задач начального разрушения, устойчивости, свободных колебаний слоистых конструкций распространенных форм — прямоугольных и круговых пластин, цилиндрических панелей, цилиндрических и конических оболочек. Дана оценка влияния на характеристики напряженно-деформированного состояния и критические параметры устойчивости таких факторов, как поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали, моментность основного равновесного состояния, докритические деформации. Проведены систематические сравнения полученных решений с решениями, найденными при использовании некоторых других известных в литературе неклассических моделей, в том числе и в трехмерной постановке. [c.2]

В работе [450] проанализировано влияние деформаций поперечного сдвига, ориентации подкрепляющих волокон и толщины заполнителя на центральный прогиб и собственные частоты трехслойной композитной прямоугольной пластины с сотовым заполнителем. В статье [361] представлены результаты анализа показателей динамического поведения многослойных упругих композитных прямоугольных пластин с использованием различных смешанных теорий расчета. Исследования параметров свободных поперечных колебаний аналогичных пластин с применением метода конечных элементов приводятся в [346. [c.19]

Таким образом, все параметры, характеризующие свободные колебания упругой прямоугольной пластины, получены. При рассмотрении вынужденного движения пластины внешняя нагрузка q x,t) представляется в виде разложения в двойной тригонометрический ряд [c.455]

Свободные колебания с большими амплитудами прямоугольной пластины. В декартовой системе координат дифференциальные уравнения нелинейных колебаний пластинки (16) принимают вид [c.397]

Прямоугольные пластины. В случае прямоугольной пластины (см. рис. 5.39, а) со свободно опертыми краями можно поступить так, как и при прямоугольной мембране. Тогда возьмем выражение для прогибов пластины при колебаниях в виде двойного ряда [c.446]

В работе В. М. Дубинкина [2.9 (1958) для решения уточненных уравнений изгибных колебаний прямоугольных плит применяется метод разложения искомых функций по собственным функциям. Для квадратной свободно, опертой пластины при действии мгновенного импульса приведен пример и дано сравнение с классической теорией. Показано, что учет инерции вращения и сдвига существенно уменьшает максимальные значения прогибов и изгибающих моментов. [c.155]

Колебания тонких пластин ограниченных размеров можно разделить на две основные группы, соответствующие двум типам нормальных волн в пластинах - симметричным и антисимметричным. Колебания первого типа вызывают деформации в плоскости пластины, причем срединная плоскость пластины остается плоской. Антисимметричные колебания являются изгибными. Ниже рассмотрим колебания круглых и прямоугольных пластин со свободным контуром, поскольку образцы подобной формы часто используют при акустических изме -рениях свойств материалов. [c.74]

D. S hlottmann [2.189, 2.190] (1967) исследует свободные колебания прямоугольных пластин в уточненной постановке. Используется решение статической задачи теории упругости для толстой пластины в форме Буссинеска ). Это решение дополняется учетом динамических эффектов. Предполагается, что массовые силы сосредоточены на боко.вых поверхностях пластины. Силы инерции учитываются как внешние нагрузки в теории пластин Кирхгофа, инерция вращения не учитывается. TaiKHM образом, динамические эффекты учитываются приближенно в граничных условиях. Рассмотрен случай гра- [c.163]

G. Martin ek [2.140] (1964), исходя из уточненных уравнений типа Тимошенко, исследовал свободные колебания круговой пластины со свободным краем и колебания прямоугольной пластины. Получена зависимость низшей безразмерной частоты (О от относительной толщины h/r пластины. Использованы уравнения классической теории и уточненной теории с коэффициентом сдвига 5/6 и 2/3. Эти результаты сравниваются с данными экспериментов. Обнаружено очень хорошее соответствие теоретических и экспериментальных результатов в случае использования уточненных уравнений при k = 5l6 для значений 0[c.164]

Задачи о нелинейных собственных колебаниях трехслойных пластин рассматриваются в работг1х [375, 376, 477]. Так авторами статьи [129] рассматривается прямоугольная трехслойная пластина. Уравнения движения получены из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Используется гипотеза ломаной нормали. Для несущих слоев принимается гипотеза Кирхгофа, а заполнитель считается трехмерным телом, работающим на поперечный сдвиг. При этом исходная нормаль в заполнителе поворачивается на некоторый угол. Используется кармановская модель геометрической нелинейности. Для свободно-опертой прямоугольной пластины применяются двойные ряды Фурье. Интегрирование по времени производится методом Рунге-Кутта. Автором статьи [427] был рассмотрен вопрос о применимости гибридного метода Галеркина к нелинейным свободным колебаниям слоистых тонких пластин. [c.20]

Андрианов И. В., Дисковский А. А. Исследование собственных колебаний прямоугольных пластин со свободным отверстием. — В кн. Динамика и прочность машин Днепропетровск, 1979, Яв 4, с. 55—58, [c.307]

Ср, —упругие постояйные. Ра сшотрены колебания прямоугольной пластины с четырьмя свободными краями. Решение системы (19.30) и (19.31) нельзя построить в замкнутой форме, т. е. в виде конечного числа элементарных функций. По этому вводятся некоторые упрощения, которые показывают, что уравнение обобщенного плоского напряженного состояния можно не учитывать при исследовании изгибно-крутиль-ных движений. В такой постановке задача решена. Доказана теорема единственности. Определены резонансные частоты, и показано хорошее соответствие между полученными теоретическими и известными экспериментальными результатами. [c.130]

R. D. Mindlin, А. S ha know и Н. Deresiewi z [2,158] (1956) исследуют свободные колебания прямоугольных изотропных пластин ПОСТОЯ.ННОЙ толщины по уточненной теории типа Тимошенко, исходя из результатов статьи [2.150]. Задача состоит в отыскании решений трех несвязанных уравнений Гельм- [c.160]

Однако задачи о колебаниях прямоугольной пластины, все стороны которий свободны или защемлены, оказываются гораздо более сложными. Для решения этих задач весьма полезным оказался метод Ритца ). Применяя этот метод, положим [c.426]

Колебания и выпучивание свободно опертых прямоугольных вязкоупругих плит рассмотрены Сафаровым в работе [260]. Определены собственные значения и коэффициенты демпфирования. В статьях [319-321] Турсковым на основе метода Бубнова-Галеркина получено решение задачи о вынужденных колебаниях трехслойной пластины с вязкоупругим заполнителем, исследованы изгиб и колебания трехслойных пластин с легким заполнителем. [c.15]

Анализ свободных колебаний защемленных симметричнослоистых пластин с использованием функции Грина проведен в работах [398, 399]. Приводятся результаты численного расчета собственных частот и форм поперечных изгибных колебаний квадратной, круглой и эллиптической пластин. Аналогичный анализ для слоистых прямоугольных пластин в статье [370 проводится с помощью теории слоев высокого порядка, а в статье [435] — методом Ритца. Для симметрично слоистых пластин авторами статьи [480] метод суперпозиции был распространен на анализ параметров свободных колебаний и критических нагрузок выпучивания. [c.18]

В настоящей главе предлагается основанная на использовании аппарата асимметричных обобщенных функций методика решения одномерных динамических задач термоупругости кусочно-однородных изотропных тел, подвергаемых гармонически или апериодическим тепловым воздействиям. На основе этой методики получены замкнутые решения, единые для всей области их определения. Здесь изучаются влияние конечной скорости теплового воздействия на динамические температурные напряжения в полупространстве с покрытием, колебания свободно опертых двуслойных круглой и прямоугольной пластин, прдэергиутых тепловому удару потоком тепла по одной из боковых поверхностей влияние Частоты колебания температуры внешней среды и отношения радиусов сопряженных коаксиально цилиндрических тел на амплитуду установившихся динамических температурных напряжений. [c.285]

В работе Н. О. М1п(111п а1И И. Оегез1е у1с2 а [2.157] (1955) в постановке [2.152] исследуются сдвиговые и изгибные колебания бесконечной пластины, прямоугольной свободно опертой и с двумя свободными и двумя опертыми краями. Уравнения для кристаллической пластины моноклинной системы с осью симметрии ох имеют вид [c.126]

В уточненной постановке свободные колебания и динамическую устойчивость прямоугольной ортотропной и трансверсально изот ропной пластины при свободном опирании рассматривали С. А. Амбарцумян и А. А. Хачатрян [2.2] (1960). В аналогичной постановке А. П. Мелконян и А. А. Хачат-рян [2.26] (1966) исследовали свободные колебания трансверсально изотропной круговой пластины. [c.162]

В. Н. Москаленко [2.31] (1962) для опертой трехслойной пластины на основе трехмер-ных уравнений теории упругости получил систему частотных уравнений, из которой можно выделить корни, соответствующие уточненным уравнениям колебаний пластины. Исследуются свободные колебания опертой по краям прямоугольной пластины на основе трехмерных уравнений. Частотное уравнение распадается на два трансцендентных уравнения. Обнаружено, что первый корень второго уравнения соответствует классической теории изгиба,а один корень первого уравнения и два корня второго соответствуют рассматриваемым уточненным уравнениям. Показано, что эти уравнения дают удовлетворительное приближение для трех серий частот. Необходимо отметить также работы [2.30, 2.32—2.34]. [c.162]

J С. Т. Wu и J. R. Vinson [2.218] (1969) исследовали колебания ортотропных пластин с учетом инерции вращения и сдвига, причем отношение. модуля уп.руго.сти в плоскости к модулю упругости поперечного сдвига очень велико (до 50) по сра внению с изотропной пла.стинои (до 3). Это характерно для композитных материало.в. Исходя из вариационного принципа получена система восьми уравнений, которые сводятся к т рем уравнениям относительно прогиба и двух углов поворота. В случае свободного опирания четырех краев прямоугольной пластины получено частотное бикубическое уравнение. Для типичного композитного материала исследуется отиошение ювадрато частот поперечных колебаний на основе построенных уточненных уравнений, но без учета инерции вращения, и по классической теории. Показано, что учет поперечного сдвига приводит к существенному уменьшению час-ТОТЫ даже. при малых относительных толщинах пластин. [c.163]

В работе А. К. Шалабано.ва [2.62] (1971) определяются собственные частоты колебаний свободно опертой прямоугольной ортотропной пластинки в уточненной полуобратной постановке. Учитываются поперечные сдвиги (распределение касательных напряжений по толщине задано), нормальные поперечные напряжения и инерция вращения. Выполнены численные расчеты частот для стеклопластика ВФТ-С, результаты которых представлены в виде графиков, демонстрирующих влияние уточняющих факторо,в на уменьшение частот. Аналогичная задача рассмотрена для пластины, несущей расположенную посредине массу. [c.163]

В. Д. Вылекжанин [3.28] (1970) рассмотрел задачу о свободных колебаниях трансверсально изотропной пологой сферической оболочки, ограниченной в плане прямоугольными отрезками и свободно опертой на краях. Учитываются деформации поперечного сдвига, нормальные напряжения по толщине принимаются равными нулю. Устанавливается математическая аналогия между указанной задачей и соответствующей задачей о свободных колебаниях мембраны. Сформулированы две изопериметрические теоремы (треугольники четырехугольник в плане заданной площади) для основной частоты трансверсально-изотропной сферической оболочки и пластины. [c.228]

Свободные малые поперечные колебания густо перфорированной шарнирно опертой прямоугольной пластины с квадратной сеткой перфорации изучал Р. Ф. Нагаев [6.25]. При этом он [c.305]

Т. С. Huang [2.103] (1964) применил методы Релея, Ритца и Бубнова для определения собственных частот изгибных колебаний пластин согласно уточненной теории типа Тимошенко. Метод Релея применяется для определения фундаментальной частоты, выражение для которой следует из приравнивания максимальных потенциальной и кинетической энергий. Рассмотрены условия ортогональности и на примере прямоугольной свободно опертой пластины сопоставляются методы Ритца и Бубнова. Они приводят к одинаковым результатам, если применяются одни и те же аппроксимирующие функции. [c.162]

Рассмотрим, как используются потенциалы смещения для описания отражения плоской волны от плоской свободной границы, и выскажем ряд замечаний, которые будут полезны при- изучении более сложных явлений. Применив способ разделения переменных, к волновым уравнениям в потенциалах, записанных в прямоугольных координатах, найдем, что решение является экспоненциальной функцией пространственных координат и времени. Коэффициенты в эксЕонентах могут быть вещественными, комплексными либо мнимыми. Первое замечание состоит в том, что хотя некоторые ограничения на эти коэффициенты вытекают непосредственно из требования конечности потенциалов, они должны быть конкретизированы для каждой заданной геометрии границ. Например, некоторые коэффициенты, допустимые для волн в плоской пластине, невозможны в случае упругого полупространства. Второе замечание касается дальнейшего выбора допустимых решений, чтобы выделить падающую волну, являющуюся источником остальных колебаний. Например, выражения, описывающие отражение падающей продольной волны, могут быть получены путем произвольного отбрасывания члена, представляющего падающую поперечную волну. Третье замечание состоит в том, что решения, которые будут получены ниже для спектральных составляющих плоских волн при помощи преобразования Фурье, могут быть использованы для изучения отражений нестационарных (импульсных) сигналов, [c.29]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...