Число корней системы уравнений

Если нулевое решение системы дифференциальных уравнений х = Ах неустойчиво, то среди собственных чисел матрицы А имеются числа с положительной вещественной частью. Построим механическую систему, структурно близкую к исходной, и подберем такие значения параметров этой системы, при которых ее движение будет устойчивым в заданном диапазоне скоростей. Для этого сделаем преобразование координат X = где а — вещественное число — параметр сдвига корней. Система уравнений возмущенного движения примет вид у = (А—аЕ)у, где [c.399]

В структурной схеме контура регулирования чистое запаздывание обычно изображается в виде блока с передаточной функцией Анализ частотных характеристик такой системы показывает, что запаздывание приводит к уменьшению запаса устойчивости системы в большей степени, чем введение в контур еще одной постоянной времени, численно равной времени запаздывания. Уравнение переходного процесса в такой системе трудно получить аналитически, так как число корней характеристического уравнения бесконечно. Это можно показать, разлагая экспоненту в степенной ряд, [c.118]

Характеристическое уравнение линеаризованной системы 0 Х) — = О содержит параметр Р 0 Х) и К (X) — заданные многочлены степени п и т < п соответственно, причем у полинома 0 Х) коэффициент нри равен 1. Как разбить ось Р на интервалы, в пределах которых число корней характеристического уравнения с отрицательной действительной частью не меняется [c.182]

Линеаризуем систему (1.66) в окрестности постоянных значений, принимаемых решением при —) оо и получим некоторые следствия из предположений (1.65) и (1.67) (Любарский [1961]). Из них следует, что если 1ша > О, то у линеаризованной системы (1.66) не существует решений вида х -ш г) действительными к. Обозначим через р число (с учетом возможной кратности) корней к дисперсионного уравнения, соответствующего линеаризованной системе (1.66), лежащих в верхней полуплоскости комплексной плоскости к при 1ша > О, и через д - число корней дисперсионного уравнения, лежащих в нижней полуплоскости к при 1ша > 0. [c.104]

Из того факта, что в рассматриваемом случае все корни г, векового уравнения являются действительными положительными числами, следует, что все 2п корней характеристического уравнения консервативной системы — чисто мнимые. Обозначим их так [c.238]

Теорема 8.10.3. Пусть матрица В положительно определена. Тогда все корни характеристического уравнения системы с гироскопическими силами суть мнимые числа. [c.596]

При ЭТОМ все системы вида (Ь ) имеют нетривиальные решения, если числа Л/ совпадают с корнями алгебраического уравнения [c.250]

При одной и той же функции р - и = (i) число корней уравнения (2.49) и их значения зависят от параметров системы — электродвижущей силы Е и сопротивления Л. Меняя один из этих параметров или одновременно оба, моншо получить один, два или три установившихся режима. Рассмотрим для примера зависимость то- [c.70]

Мы получаем, таким образом, систему уравнений, которая должна быть решена относительно варьируемых параметров Aji, что при нелинейных соотношениях и, тем более, при большом числе неизвестных практически неосуществимо. В предложенном же методе мы не ищем корни системы (15), а просто в правые части системы (14) подставляем на каждом шаге значения предыдущего шага, что всегда легко выполняется. Мало того, решение задачи по шагам освобождает нас от необходимости анализировать многозначность форм равновесия. Она исключается однозначностью истории нагружения. [c.168]

Для отыскания постоянных D , D2, D3, необходимо задать граничные условия по концам балки. Граничные условия, выраженные через Du. .., Di, представляет собой систему четырех линейных алгебраических однородных уравнений относительно Du. .., D4. Нас интересует ненулевое решение системы, так как нулевому (одновременное равенство нулю Du. .., Di) отвечает Z(z) = о, т. е. отсутствие колебаний. Система линейных однородных алгебраических уравнений имеет решение, отличное от нуля, тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю. Уравнение, получаемое в результате приравнивания определителя системы уравнений относительно Du , Di нулю, в свою очередь представляет собой трансцендентное (содержащее тригонометрические и гиперболические функции) уравнение относительно и. Из этого уравнения и находим корни (бесконечное число корней), каждому из которых соответствуют свои частота и форма колебаний. [c.180]

Выразив заданные на торцах оболочки однородные граничные условия (по четыре условия на каждом торце) через функцию w и подчинив последнее выражение этим граничным условиям, придем к системе восьми однородных линейных алгебраических уравнений относительно постоянных Л,-. Условие обращения в нуль определителя этой системы уравнений позволяет найти собственные значения нагрузки Перебирая различные значения числа волн в окружном направлении п, для каждой конкретной оболочки можно найти кр, приводящее к наименьшему собственному значению нагрузки В таком решении машинный счет используется для определения корней характеристического уравнения и для раскрытия определителя восьмого порядка. [c.262]

Рассмотрим модель системы, описываемую линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Запас устойчивости / здесь характеризует минимальное значение действительных частей корней характеристического уравнения системы. Оценивать его можно путем спектрального или корреляционного анализа выходного сигнала (коэффициент автокорреляции убывает как ехр(—/т)), а также но среднему периоду или среднему числу экстремумов огибающей выходного сигнала, пропущенного через узкополосный фильтр [153, 158]. [c.16]

Для оптимального управления движением манипулятора требуется предварительное (до начала движения) вычисление его конечного состояния, сводящееся в рассмотренном случае к отысканию минимума функции / на конечном числе точек, являющихся корнями трансцендентных уравнений (14) или (22). Для более сложных кинематических схем манипуляторов число таких уравнений может совпадать с числом управляемых координат, а уравнения экстремалей при задании траектории движения могут быть проинтегрированы только численно, что дополнительно усложняет и без того нетривиальную задачу поиска всех экстремалей, удовлетворяющих условию трансверсальности [6]. Такие предшествующие процессу управления вычислительные процедуры являются неизбежной и в большинстве случаев чрезмерной платой за минимизацию функционала /. Есть причины, вынуждающие отказаться от строгих методов оптимизации, т. е. методов, обеспечивающих отыскание экстремума 1) разрыв между получением системой двигательного задания и началом движения, равный времени вычисления оптимального управления 2) неопределенность двигательной задачи при неполной информации о состоянии окружающей среды, когда эта задача доопределяется в процессе движения, и предварительное отыскание конечного состояния манипулятора либо невозможно, либо должно быть основано на статистическом подходе. Обе причины существенны, когда система управления двия<ением предназначена для выполнения разнообразных, не повторяющихся двигательных задач. При управлении циклически повторяющимся движением процесс оптимизации может быть проведен один раз, а его результаты использованы неоднократно [c.32]

Учитывая число и вид корней характеристического уравнения для обоих режимов и значения О, при построении общего решения системы уравнений движения необходимо вычислить коэффициенты /Jq, [c.329]

Уравнение (5. 48 с) имеет бесконечное число корней х, которым соответствует бесконечное число частот собственных колебаний системы. Практический интерес представляют первые, не равные нулю два корня. Уравнение (5.48 с) имеет корень х = 0. Следовательно, v l) = 0, чему соответствует отношение У(0)/Ум=1. При частоте собственных колебаний, равной нулю, вся система перемещается как твердое тело. [c.253]

Соответственно степени уравнения число корней р1 также равно п. Один из корней всегда равен нулю, так что число отличных от нуля частот на единицу меньше числа дисков и равно п — 1. Нулевой корень соответствует повороту всех дисков и вала как жесткого целого ненулевые корни (они все вещественные) соответствуют явлению упругих колебаний. Следовательно, система, состоящая из невесомого вала и п дисков, обладает п — 1 отличными от нуля собственными частотами p , р , , рп-й их принято нумеровать в порядке возрастания частоты. [c.94]

Таким образом, задача теоретически может быть решена до конца. Однако при таком методе анализа получения каких-либо практических выводов, знать которые необходимо при проектировании новых машин или при модернизации действующих, ожидать трудно, потому что решения выражаются через корни характеристического уравнения, а последние явно через параметры исследуемой системы не могут быть представлены. Кроме того, анализ решений затруднен еще и тем, что при большом числе степеней свободы разветвленной цепи решение выражается суммой соответствующего числа интегралов. [c.35]

Уравнение замкнутой системы управления запишем как У = = [Е WV WU, где и — вектор управления. Устойчивость замкнутой многомерной системы определяется корнями характеристического уравнения det [Е W] = 0. Прежде чем отыскивать характеристические числа уравнения для замкнутой системы, перейдем к исследованию передаточной матрицы W разомкнутой системы. [c.118]

Если теперь, как и в предыдущем параграфе, положить, что положительные числа Aq, Л3, Л4 и As сколь угодно малые и их присутствие в уравнениях (7.134) не влияет на характер корней этих уравнений относительно чисел Сг, з, 04, as, то, приняв Ло, Лз, Л4, As равными нулю, после соответствующих вычислений и преобразований получим четыре достаточных условия устойчивости системы при вещественных значениях постоянных чнсел [c.550]

Собственные числа X и 8 удовлетворяют характеристическим уравнениям, получающимся из условия разрешимости этой однородной системы линейных уравнений. Согласно теореме 3.2, интерес представляют в данном случае только те корни характеристических уравнений, которые лежат в области [c.97]

Вследствие отсутствия действительных частоты и волнового числа, являющихся корнями дисперсионного уравнения, знаменатель в (6.75) не обращается в ноль на множестве действительных СО, и интеграл оказывается сходящимся при всех параметрах системы. Если бы упругое основание было однородным ( lX = 0), знаменатель в (6.75) имел бы действительный кратный корень при выполнении условия [c.275]

Комплексные константы п, Ь , с , dn в выражении (21) выбираются так, чтобы выполнялись условия (16). Комплексные собственные числа а являются корнями уравнения, получающегося путем приравнивания нулю определителя системы уравнений, следующей из (16). Это уравнение нелинейное и решается методом Мюллера [16]. Начальные значения величин, требуемые для используемого в этом методе итерационного процесса, даны Л. М. Балабановым [15]. Чтобы удовлетворить условиям регулярности (17), берутся корни только из первого квадранта комплексной плоскости. [c.161]

Комплексные постоянные А , В , С , в выражении (30) подбираются из условия, чтобы удовлетворялись однородные граничные условия (24). Комплексные собственные числа (у которых в приведенных выше уравнениях индекс п опущен) являются корнями уравнения, получающегося путем приравнивания нулю определителя системы уравнений, следующей из (24). Это нелинейное уравнение решается методом Мюллера с использованием начальных значений Левина [18] для итерационного процесса для общего решения (29) берутся корни только из первого квадранта комплексной плоско сти. [c.163]

Для определения частот собственных колебаний валов с количеством масс больше четырех приходится решать уравнения со степенью выше 3-й, что довольно сложно. Поэтому для определения частот колебаний валов с большим числом масс применяют несколько способов, основанных на последовательных подстановках пробных значений р и, таким образом, находят корни частотного уравнения, не составляя самого уравнения, т. е. не раскрывая определитель, а пользуясь лишь системой уравнений (2.166). [c.240]

Число и значения действительных корней этой системы уравнений определяют число равновесных режимов и их значения. Геометрически действительные корни даются точками пересечения кривых Р(0, ) и ф1, т. е. характеристик вентилятора и сети. Может быть как одна точка пересечения, так и несколько. [c.23]

Следствие 3. Предположим, что среди показателей Ковалевской нет отрицательных целых чисел, кроме числа р = которое является однократным корнем характеристического уравнения det К — рЕ = 0. Тогда система (3.1) не допускает такого поля симметрий и с аналитическими компонентами, что векторы и с) и г>(с) линейно независимы. [c.342]

В зависимости от начальных разностей скоростей и температур фаз, возмущений Пд,. .. и величины интервал О < < 1 или его подынтервалы принадлежат к равновесному Е) или к неравновесному К) типу. К равновесному (неравновесному) типу отнесем отрезки времени, на которых отличия параметров невозмущенного потока от равновесных значений (1.3) малы (велики). Интервалы типа N подразделяются на дозвуковые 8В) и сверхзвуковые ЗР) в соответствии с характеристическими свойствами системы (1.1). В ней независимо от значений параметров смеси характеристическую форму имеют два векторных (каждое с двумя проекциями для и у -) и два скалярных уравнения, т.е. шесть из десяти скалярных уравнений в частных производных. Три из них - пятое (векторное) и шестое записываются вдоль траекторий газа, а оставшиеся три - седьмое (векторное) и восьмое - вдоль траекторий частиц. Тип подсистемы первых четырех уравнений (1.1), связанных с перечисленными только через коэффициенты и свободные члены, определяется числом действительных корней характеристического уравнения ([1, 5] и Гл. 11.1) [c.487]

Число корней системы уравнений. Рассмотрим систему уравнений /1=. .. == /п = 0, где /,- — многочлен Лорана от л переменных (элемент кольца С [лг1, л -, . .., Хп, л " ]). В этом пункте мы приводим формулу для числа решений такой сист емы в торе (СЧО)". [c.171]

Выделение областей устойчивости в пространстве параметров системы. Характеристическое уравнение зависит от параметров Pi, Рг,. .., Р,- системы. Каждой точке г-мерного пространства параметров соотаетствуег некоторое расположение корней характеристического уравнения в комплексной плоскости. При перемещении точки а пространстве параметров непрерывным образом изменяется расположение корней характеристического уравнения. Различным областям пространства параметров будет соответствовать различное число корней характеристического уравнения в правой полуплоскости. Таким образом, пространство параметров можно разделить па области D [k), где k — число корней характеристического уравнения в правой полуплоскости ф-разбиение). Поскольку при переходе в правую полуплоскость корень характеристического уравнения пересекает мнимую ось, то уравнение границ разбиения имеет вид Р (loj) = 0. Оно эквивалентно паре вещественных уравнений [c.100]

Уравнения (17.343) — это уравнения метода Бубнова — Галер-кина. На самом деле используется не бесконечное число членов в сумме, а ограниченное количество (п) этих членов тогда формула (17.343) дает систему конечного порядка и рещение методом Бубнова — Галеркина является приближенным, дающим верхнюю оценку для искомой величины. Если решается задача о свободных колебаниях, то / = 0 и система уравнений (17.343) относительно коэффициентов а, однородна, вследствие чего ее определитель для получения нетривиального (ненулевого) реще-ния должен быть равен нулю. Составленное таким образом условие нетривиальности решения системы (17.343) представляет собой частотное уравнение, корнями которого являются собственные частоты. Собственные векторы матрицы системы (17.343) определяют собой формы свободных колебаний ). [c.243]

На основании условия (S.27), приведенного в п. 8, можно утверждать, что периодическое решение устойчиво. Полученные зависимости для определения периодического решения системы уравнений движения машинного агрегата с упругими звеньями являются достаточно простыми для численных расчетов. Основная трудоемкость заключается в отыскании корней характеристического полинома и вычетов относительно полюсов передаточных функций соответствующих подыинтегральных выражений. Указанное не является специфической особенностью рассматриваемого метода, а присуще всем точным методам, причем в сравнении с известными методами предложенный отличается наименьшей трудоемкостью. Следует отметить, что отыскание экстремальных значений функций s ep (О и r-i (О представляет собой весьма сложную задачу (особенно для машинных агрегатов со значительным числом масс). В этой связи большой практический интерес представляет метод оценок, позволяющий построить огибающую колебательного процесса [371. Для модуля любой компоненты решения системы уравнений движения машинного агрегата в работе [37 I получены оценки типа (й 1, 2,. . п г 1, 2,. . п — 1) [c.96]

Число положительных корней этого уравнения равно числу степеней свободы п. Согласно уравнению (21) эти корни представляют собой угловые частоты свободных колебаний линейной системы, называемьге собственными частотами системы. Упорядоченную совокупность собственных частот [c.59]

Простейший компонент, двойной склеенный объектив, у которого имеются три поверхности и большой выбор показателей преломления н коэффициентов дисперсии, обладает достэточно большим числом свободных степеней сво ды для решения поставленной задачи. Если сорта стекол заранее заданы, то можно удовлетворить лишь двум условиям, например получить желаемые значения величин Р и W или Р и С (если только система уравнений приводит к вещественным корням). Подбором сортов стекла можно удовлетворить с достаточной точностью и третьему условию [c.579]

Хотя детерминант системы слишком сложен для оценки в общем виде, можно исследовать в деталях характер его полиномиальной формы (по степеням X) для сравнительно малых значений N и распространить эти результаты на общий случай методом индукции. Кроме того, можно разработать алгоритм поиска членов в определителе,.которые имеют наибольшие и наименьшие степени X. Поступая таким образом для значений X при УУ = I (в этом случае опускаются условия непрерывности на поверхностях раздела) 2, 3 и 4, приходим к следующим результатам 1) в детерминанте встречаются только члены с четными степенями X 2) наименьшая степень X равна 4 3) наибольшая степень X равна 2N -2. Хотя эти результаты не являются aб oлюtнo строгими, противоречащих им данных нет. Кроме того, число корней X согласованно с числом граничных условий на кромках, что обсуждается позднее. Особый случай представляет появление кратных корней для X. Поскольку кратные нулевые корни (т. е. тривиальное решение) всегда существуют, эту часть решения необходимо рассматривать отдельно. Для нее уравнение (80) заменяется полиномом третьей степени относительно . Обозначая функции, соответствующие кратным нулевым корням нижним индексом Но, установим, что для однородной системы дифференциальных уравнений, соответствующей уравнениям (67)—(71), не равные тождественно нулю функции определяются как [c.57]

Лагранж в 60-е годы отправлялся от этих работ в своих исследованиях колебаний системы конечного числа материальных точек. Ему было нетрудно придать утверждению Д. Бернулли форму математической теоремы, так как в 40-е годы XVIII в. Эйлер показал, как проинтегрировать линейное дифференциальное уравнение произвольного порядка с достоянными коэффициентами, а Даламбер — как интегрируются системы таких уравнений. Это позволяло просто сослаться на то, что общий интеграл дифференциальных уравнений описывающих малые колебания, является суммой слагаемых, каждое из которых соответствует малым изохронным колебаниям простого маятника. При этом, однако, надо было допустить, что корни алгебраического уравнения (уравнения частот, или векового уравнения ), которое попутно приходится решать, вещественны, положительны и не равны между собой. Однако Лагранж этим не ограничился и провел все исследование в общем виде, используя открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго, рода. В первом издании Аналитической механики Лагранжа (1788 г.) эти результаты даны в улучшенной редакции, в окончательном виде они вошли во. второе издание Аналитической механики (т. I., 1813 г.). [c.265]

После Эйлера в течение XVIII в. теория устойчивости развивается в русле динамики в двух направлениях. Одним из них является изучение малых коле- 119 баний механической системы около положения равновесия. Этим вопросом занимались А. Клеро, Д. Бернулли, Ж. Даламбер, Ж. Лагранж. В Аналитической механике Лагранжа (1788) теория малых колебаний системы с конечным числом степеней свободы изложена в ее классической форме. Ответ на вопрос, устойчиво ли для данной системы положение равновесия, около которого она начинает колебаться, дает исследование корней алгебраического уравнения, определяющего частоты колебаний, соответствующих отдельным степеням свободы. (При этом, как известно, Лагранж высказал ошибочное утверждение, что при наличии кратных корней уравнения частот должны появляться вековые члены и устойчивости не будет.) [c.119]

Трактат об устойчивости заданного состояния движения... Э. Рауса появился в 1877 г. В нем изложено в общем виде составление дифференциальных уравнений возмущенного движения, т. е. уравнений для отклонений координат системы от их значений, соответствующих заданному состоянию движения. Эти отклонения, в трактовке Рауса, вызываются мгновенными возмущениями (по сути это возмущения начальных данных). В первую очередь, как орудие исследования возмущенного движения, рассматривается метод линеаризации (теория малых колебаний). Раус переоткрывает результаты Вейерштрасса и Сомова и дает критерий для суждения о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения. Определение устойчивости у Рауса остается в достаточной мере расплывчатым. Оно связано с понятием малости возмущений, а малы те величины, для которых возможно найти такое число, численно большее, чем каждая из них, и такое, что квадратом его можно пренебречь . Как выражается Раус, это число есть стан- [c.121]

Для расширения области применения первого метода Ляпунова в том случае, когда коэффициенты линейной системы постоянны, а нелинейные члены не содержат времени, требовалось дополнить общие результаты Ляпунова исследованием особенных (критических) случаев. Ляпунову принадлежит анализ случая одного и двух нулевых корней (характеристического уравнения матрицы ) и двух чисто мнимых корней. Первые новые важные результаты были получены Г. В, Каменковым и И. Г. Малкиным Они в весьма широких предположениях провели анализ устойчивости при наличии двойного нулевого корня, затем нулевого корня любой кратности, нри наличии двух пар, затем любого числа мнимых корней (предполагается, что все остальные корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части). В тех же работах рассмотрены критические случаи для систем с периодическими коэффициентами в линейных членах и периодическими нелинейными членами (период предполагается одним и тем же для всех pgf и Zfe). Каменков и Малкин дополнили и в этом пункте результаты Ляпунова. [c.130]

Если разомкнутая система неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитуднофазовая характеристика разомкнутой системы охватывала точку с координатами (—1 0) и при изменении со от О до оборачивалась вокруг нее т раз (т — число корней с положительной вещественной частью характеристического уравнения разомкнутой системы). [c.98]

Формой колебаний называется совокупность отношений амплитуд колебаний масс системы. Форма свободных колебаний наблюдается при главных колебаниях, собственные частоты которых являются корнями частотных уравнений любого вида. Число возможных форм свободных колебаний равно числу упругих соединений между массами данной системы. Каждой форме свободных колебаний свойственна определенная частота <0 и У А. Формы свободных колебаний, подлежащие последующему расчету, опредехсяются крайними значениями Д но формуле [c.186]

Первая строка табл. 39 заполняется, как обычно, безразмерными параметрами системы на основании выбранной частоты. При этом клетка для варьируемого-элемента остается пустой. Далее производится обычное заполнение таблицы, начиная с ее верхнего левого угла до тех пор, пока этому не восприпятствует отсутствие цифры на месте определяемого элемента. Так как выбранная величина А должна быть корнем частотного уравнения, то в третьей строчке крайнего столбца с правой стороны нужно поставить нуль и далее заполнять таблицу, начиная с расположенной над ним клетки, где для удовлетворения алгебраической суммы нужно-поставить -Н ОрД, списав соответствующую цифру с обратным знаком из первой строчки того же столбца. Число, обратное записанному по величине, заносится в клетку предыдущего столбца (левее) в третьей строчке. [c.200]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...