Показатели Ковалевской

Матрица К называется матрицей Ковалевской, а ее собственные значения — показателями Ковалевской. Если общее решение системы (3.1) представляется однозначными (мероморфными) функциями комплексного времени, то показатели Ковалевской являются целыми (соответственно целыми неотрицательными) числами (см. п. 5 9 гл. И). [c.339]

Теорема 1 [236]. Пусть / —квазиоднородный интеграл степени т системы (3.1) и / сх,..., Сп) Ф 0. Тогда р = т — показатель Ковалевской. [c.339]

Следствие 1. Если с О, то р = —1 — показатель Ковалевской. [c.341]

Следствие 3. Предположим, что среди показателей Ковалевской нет отрицательных целых чисел, кроме числа р = которое является однократным корнем характеристического уравнения det К — рЕ = 0. Тогда система (3.1) не допускает такого поля симметрий и с аналитическими компонентами, что векторы и с) и г>(с) линейно независимы. [c.342]

Легко вычислить показатели Ковалевской независимо от выбора знаков в (3.24) характеристическое уравнение с]е1 А — рЕ = О имеет тривиальный корень р = — 1 и двукратный корень р = 2. [c.345]

Показатели Ковалевской разбиваются на пары pi и рг+п, в сумме дающие f + д = 2д + 1. Положим Др = — р . Можно считать, что Рп = -1, р2п = / + 5 + 1. Поэтому Др = [Ък - 2)/(/г - 2) — рациональное число. [c.368]

Укажем последовательность вычисления показателей Ковалевской для решения (5.20). Сначала решим систему алгебраических уравнений [c.368]

Показатели Ковалевской 122 Поле симметрий 74,151 [c.428]

Замечание. В работе [37] вычислены показатели Ковалевской системы (3.1). Они равны [c.200]

Остановимся вкратце на явном вычислении показателей Ковалевской. Нетрудно проверить, что динамическая система с гамильтонианом (12.3) и скобками (12.1) имеет ровно два однопараметрических семейства решений вида Mi = Xit , Ji = Yit . Первое из них задается формулами [c.346]

Для обоих семейств показатели Ковалевской одинаковы и равны —1, О, 1, [c.347]

После подстановки разложений (а) в дифференциальные уравнения движения (III. 12) и (III. 14) и исследования соотношений между коэффициентами Uj и показателями степени т С. В. Ковалевская пришла к выводу, что интегралы дифференциальных уравнений движения твердого тела можно определить в виде разложений (а) лишь тогда, когда между главными моментами инерции тела и координатами центра инерции существуют такие соотношения [c.449]

Матрица К и условие целочисленности ее собственных значений впервые появились в работах Ковалевской по динамике тяжелого твердого тела [73]. Иошида предложил назвать числа р ,..., р показателями Ковалевской. Если решения (9.28) мероморфны и ряды (9.28) бесконечны, то р 0. Исследования Ковалевской были дополнены и усилены Ляпуновым [118], показавшим, что решения уравнений Эйлера—Пуассона ветвятся во всех случая, исключая интегрируемые задачи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. [c.122]

Теорема 2. Предположим, что система (3.1) допускает квазиодиородное поле симметрий и степени т., причем и(с) -ф 0. Тогда р = -т — показатель Ковалевской. [c.341]

Следствие 2. Пусть и — квазиодиородное поле симметрий степени 1, и векторы V, и линейно независимы в точке г = с. Тогда р = --1 —показатель Ковалевской кратности 2. [c.342]

Доказательство. Так как Ф — квазиоднородный интеграл уравнений (3.13), то р = т—показатель Ковалевской (теорема Иошиды). Гамильтонова система уравнений [c.343]

Отметим, что сумма рх р2= Н--1 не зависит от степени квазиоднородности интеграла. Это не случайно показатели Ковалевской для квазиоднородных гамильтоновых систем разбиваются на пары, сумма которых равна /1—1. Это утверждение является аналогом известной теоремы Пуанкаре — Ляпунова о возвратности характеристического уравнения для мультипликаторов периодического решения уравнений Г амильтона. Доказательство основано на простом замечании о том, что уравнения в вариациях (3.5) в рассматриваемом случае будут гамильтоновыми [c.343]

Предположим, что степени квазиоднородности гамильтониана и дополнительного интеграла являются целыми числами. Тогда среди показателей Ковалевской появляется дополнительная пара целых чисел. Одно из них — степень нового интеграла, а другое — взятая с обратным знаком степень гамильтонова поля симметрий, порождаемого этим интегралом. [c.344]

Оказывается, на римановой поверхности (5,24) нмдутся два замкнутых цикла, для которых соответствующие матрицы монодромии Т1 и Тг нерезонансны и не коммутируют. По теореме С, Л. Зиглина эти свойства влекут неинтегрируемость гамильтоновой системы с гамильтонианом (5,19). Связь условий нерезонансности со свойствами показателей Ковалевской вытекает из анализа гипергеометрического уравнения Гаусса (детали см, в работе [238], где на самом деле доказано более сильное утверждение об отсутствии в предположениях теоремы 2 дополнительного голоморфного интеграла, независимого от интеграла энергии). [c.369]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...