Корни характеристического уравнения

Затухающие колебания. Если п<к, то величина под знаком квадратного корня в (25) отрицательна. Обознач 1м к положительную величину (к — п ). Тогда k = Jk — n и из (25) получим следующие значения для корней характеристического уравнения [c.438]

Затухающие движения. Рассмотрим случай, когда п>к (случай большого сопротивления). Корни характеристического уравнения в этом случае имеют значения [c.442]

Здесь В определяется выражением (5.24). Собственные значения являются корнями характеристического уравнения Ii (р.) = О, в частности, Д1 = 3,8317. Остается постоянным и отношение длин начальных участков = 13,6. [c.105]

Рассмотрим теперь случай, когда b>k, т. е. когда сопротивление по сравнению с восстанавливающей силой велико. Вводя обозначение Ь —найдем, что в этом случае корни характеристического уравнения (78) равны П1 =—Ь г, т. е. оба действительны и отрицательны (так как г<СЬ). Следовательно, решение уравнения (76), описывающее закон движения точки, имеет при b>k вид [c.240]

В заключение рассмотрим случай, когда b=k. Корни характеристического уравнения (78) будут при этом тоже действительными, но кратными ( 1,2= 6) и общее решение уравнения (76) примет вид (что можно проверить подстановкой х в уравнение) [c.240]

В этом случае корни характеристического уравнения (14.3) можно представить в следующем виде [c.37]

Корни характеристических уравнений для (4.19) являются комплексными сопряженными числами. Следовательно, стандартные решения (4.19) представляются линейной комбинацией гармонических функций с частотами, пропорциональными kx и ky. Таким образом, для определения достаточно найти амплитуды и постоянную к с помощью граничных условий задачи. [c.91]

Если дополнительно предположить, что не только А, но и С является матрицей положительно определенной квадратичной формы, то (как мы покажем далее) все корни характеристического уравнения (18) будут чисто мнимыми. [c.215]

Из того факта, что в рассматриваемом случае все корни г, векового уравнения являются действительными положительными числами, следует, что все 2п корней характеристического уравнения консервативной системы — чисто мнимые. Обозначим их так [c.238]

Рассмотрим теперь консервативную систему. Пусть (Oi, со ,. ... .., й) —ее собственные частоты (см. б этой главы). Собственными колебаниями системы служат гармонические колебания с этими частотами, а это означает, что все корни характеристического уравнения консервативной системы — чисто мнимые и что они равны [c.247]

Учитывая, что корни характеристического уравнения оказались вещественными, запишем решение уравнения (1) в виде [c.36]

Корни характеристического уравнения мнимые = ki. Следова- [c.82]

Так как n = k, то Xj = Xj = — я, т. е. корни характеристического уравнения являются вещественными и равными. Уравнение движения груза имеет вид [c.95]

Корни характеристического уравнения равны X 2 = e . Следовательно, уравнение движения диска запишется в виде [c.225]

В соответствии с формулой (3), корни характеристического уравнения являются вещественными [c.229]

Следовательно, корни характеристического уравнения могут быть представлены в виде [c.615]

Таким образом, исследование по первому приближению позволяет окончательно ответить на вопрос об устойчивости движения в тех случаях, когда корни характеристического уравнения имеют отрицательную или положительную вещественную часть. [c.652]

Если в числе корней характеристического уравнения имеются корни, вещественная часть которых равна нулю, то есть нулевые или [c.652]

Корни характеристического уравнения (7) бу.тут комплексными чпс лами вида [c.660]

Эти уравнения получаются в результате линеаризации уравнений (1.1) в окрестности состояния равновесия (л , у, Z ) относительно малых величин = х — х, т] = -= у — у , S = 2 — г. Решение уравнений (1.2) определяется корнями характеристического уравнения [c.14]

У(1 < 1. Устойчивость этого состояния равновесия определяется корнями характеристического уравнения [c.64]

Для точки Pj корни характеристического уравнения будут действительными отрицательными при <, <С 2е <с [c.206]

Точка будет существовать, если Ьо — > О, но при этом корни характеристического уравнения будут действительными разных знаков, т. е. точка Яз будет седлом при любых значениях е . Это значит, что для данных значений I, в системе устойчивых движений с частотами (при е = 0) и ki и q (при е 0) не может быть. [c.206]

Изменение типа состояния равновесия при непрерывном изменении параметров происходит при изменении чисел корней характеристического уравнения, находящихся справа и слева от мнимой оси комплексной плоскости X, т. е. при обращении действительной части одного из его корней в нуль. Поэтому любая точка границы области [c.251]

Здесь /i, fa,. .., fn — компоненты f (x, i) и х , х. ,. .., — компоненты вектора х. Тип неподвижной точки определяется числами р и q корней характеристического уравнения [c.257]

Оба корня характеристического уравнения действительны и огрицательны, так как kjOt. Следовательно, общее решение дифференциального уравнения 4/-)-2 -ЬА = О имеет вид [c.442]

Здесь В определяется из того же выражения (5.24), что и в задаче при граничных условиях третьего рода. Собственные значения Мл =п-п, п = 1,2,3,..., являются корнями характеристического уравнения sinp= О, [c.104]

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче задано характеристическое уравнение (16) требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) ГурБица ). Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурви-цевыми. [c.220]

Мы не доказываем здесь критерия Гурвица. Алгебраическое доказательство сравниУельио сложно (см., например, Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 11-е изд., стереотип. — М. Наука, 1975, и Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.—3-е изд., исправл. —М. Наука, 1967, где критериям Рауса и Гурвица посвящена специальная глава). Значительно проще доказательство, основанное на редукции, которая, не переводя корней характеристического уравнения через мнимую ось, удаляет один из них в бесконечность слева от мнимой осп. Тякое доказательство сравнительно несложно, но проведение его требует знания деталей характера отображений мнимой оси плоскости корней на пространство коэффициентов характеристического уравнения (см. Айзерман М. А. Теория автоматического регулирования.—М. Наука, 1966, с. 171-173), [c.222]

Для решения этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами составим соответствующее характеристическое уравнение /. -j- А = 0. Корни характеристического уравнения равр(ы — и решение уравнения запишется в виде [c.188]

Согласно второй теореме Ляпунова, иевозмущепное движение, определяемое уравнениями (1 ), неустойчиво, если среди корней характеристического уравнения (13 ) имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью. И в этом случае отброшенные нелинейные слагаемые в правой части уравнений (1С ) не могут влиять на устойчивость движения. [c.652]

О знаке корней характеристического уравнения можно сз днть на основании теоремы Гурвица, которая формулируется следующим образом. Уравнегше д-й степени с вещественны.ми коэффициентами [c.653]

Особая точка Р . 4 = — (а,, + 2/л, +, 4== = V3 (2 7о -Ь 0 — При е = О точка Р, соответствует бт ар-мопическому движению с частотами kj и А о при О — тригармоническому движению системы с частотами ki, 2 и q. Корни характеристического уравнения, определяющие характер особых точек, будут [c.203]

Если точка Р существует, то г 4 > О и У4 > О и, следовательно, 3ABu Vi>-0, т. е. действительных корней разных знаков характеристическое уравнение иметь не будет. Таким образом, точка Р4 будет особой точкой типа узла или фокуса. Для того чтобы Р4 была устойчивой особой точкой, нужно, чтобы действительные части корней характеристического уравнения были отрицательны, т. е. должно выполняться неравенство [c.203]

Справочник машиностроителя Том 2 (1955) -- [ c.0 ]

Справочник машиностроителя Том 2 Изд.3 (1963) -- [ c.0 ]

Справочник машиностроителя Том 6 Издание 2 (0) -- [ c.0 ]

Теория звука Т.1 (1955) -- [ c.184 ]

Элементы теории колебаний (2001) -- [ c.51 ]

Справочник машиностроителя Том 1 Изд.2 (1956) -- [ c.0 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...