Приложения теории групп

В приложениях теории групп к молекулам часто необходимо умножать матрицу на матрицу, поэтому напомним, "как определяется произведение двух матриц. Произведение матрицы А размера пУ, т (имеющей п строк и т столбцов) и матрицы В размера m q ь последовательности АВ является матрицей [c.48]

Полученная нами формула (31,4) является частным случаем известной в приложениях теории групп теоремы Вигнера — Эккерта [c.175]

Несмотря на большой объем материала, который в русском издании занимает два тома, этот материал составляет лишь небольшую долю всех имеющихся приложений теории групп. Здесь не рассматриваются оптические процессы в магнитных системах, связанные, например, со спиновыми волнами оптические процессы, обусловленные электронными возбуждениями, такими, как экситонное поглощение или рассеяние, а также применения теории групп в теории изменения симметрии при непрерывных фазовых переходах, не говоря уже о других важных областях. Я надеюсь, однако, что подробное рассмотрение всех специфических деталей теории оптических явлений, обусловленных инфракрасным поглощением и комбинационным рассеянием света колебаниями решетки, окажется не только наглядным, но и даст читателю смелость и основы для рассмотрения новых проблем, стоящих на переднем крае науки. [c.8]

Я надеюсь, что русское издание книги принесет пользу, и я буду признателен читателям, если они укажут неточности, опечатки или неясные места. Было бы особенно приятно узнать от читателей о многих новых интересных приложениях теории групп, стимулирование которых является одной из целей этой книги. [c.9]

В приложениях теории групп часто оказывается известным какое-то приводимое представление группы (например, полученное путем применения операций симметрии к некоторой пробной функции) и нужно разложить это представление на неприводимые. Оказывается, что для решения этой задачи достаточно знать характеры неприводимых представлений. Пусть некоторое представление распадается на неприводимые представления ( ), причем каждое нз них встречается в разложении 01 раз. Записывая соответствующие матрицы в приведенной форме, т. е. в виде [c.43]

ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ГРУПП [c.43]

Приложения теории групп к классификации состояний электронов и к молекулярным колебаниям представляют собой, пожалуй, простейшие нетривиальные примеры использования соображений симметрии. Теперь мы перейдем к приложениям, более тесно связанным с физикой твердого тела. [c.57]

Одним из важных приложений теории групп к квантовой механике является установление правил отбора. В широком смысле слова под правилами отбора понимают критерий, позволяющий судить, может ли быть отличным от нуля матричный элемент некоторого оператора, если известно, по каким представлениям рассматриваемой группы преобразуются этот оператор и волновые функции. В теории излучения этот критерий применяется к матричному элементу оператора взаимодействия с электромагнитным полем и используется для определения вероятности перехода квантовомеханической системы из одного стационарного состояния в другое. [c.227]

Во многих случаях дифференциальные уравнения в частных производных ламинарного пограничного слоя могут быть заменены системой обыкновенных дифференциальных уравнений посредством введения новых переменных, называемых автомодельными переменными. Шлихтинг [27] приводит исчерпывающий анализ преобразований подобия уравнений пограничного слоя для сЛучая течения неизлучающего газа. В работе [39] описано приложение теории однопараметрических групп (развитой в [40]) для уменьшения числа независимых переменных в системе дифференциальных уравнений в частных производных. В этом разделе будет описано преобразование уравнений стационарного двумерного пограничного слоя при ламинарном обтекании клина сжимаемой излучающей жидкостью. Из этих общих преобразованных уравнений для клина легко получить соответствующие уравнения для течения на плоской пластине и в окрестности передней критической точки. [c.536]

Еще одна группа факторов, которые необходимо учитывать в приложениях теории надежности к расчету конструкций и машин, отражает неполноту и частичную неопределенность используемой информации. Эта неопределенность имеет, по крайней мере, два источника. Первый источник связан с те.м, что предметом теории надежности служат случайные события, величины и процессы. Для выбора вероятностных моделей и назначения их параметров имеется статистическая информация, объем которой всегда ограниченный, приче.м часто недостаточный. Второй источник — отсутствие информации о некоторых сторонах явлений или о параметрах моделей. [c.59]

Теория групп нашла плодотворные приложения и в непосредственном интегрировании уравнений механики жидкости и газа (Г. Биркгоф, Л. В. Овсянников, Л. И. Седов и [c.306]

В практических приложениях теории теплопроводности приходится встречаться с различными задачами. Условно эти задачи можно разделить на следующие три группы [c.154]

Достаточно общий ответ на поставленный вопрос дает теория групп Ли преобразований. Эффективные методы и приложения к дифференциальным уравнениям основаны на взаимно однозначном соответствии между группой Ли непрерывных преобразований (25,11) с вещественными параметрами и алгеброй Ли дифференциальных операторов. [c.300]

Чтобы расширенные точечные группы привести в соответствие с общей схемой теории групп и найти двузначные представления (типы) в точечных группах более низкой симметрии, чем К, необходимо прибавить какие-нибудь воображаемые элементы симметрии, как это впервые было проделано Бете [116] (см. также Ландау и Лифшиц 126]). Предполагается, что поворот на 2л не возвращает систему в исходное состояние и что это можно сделать только поворотом на 4я. Поворот на 2я — это новый элемент симметрии, называемый R, по отношению к которому спиновая функция может быть симметричной или антисимметричной. В результате получаются новые элементы симметрии R 2, Rисходные элементы симметрии. При наличии осей второго порядка С2) и плоскостей симметрии (а) эти новые элементы R o и Ra) принадлежат к тем же классам, причем происходит просто удвоение порядка класса но если есть оси более чем второго порядка или центры симметрии, то удваивается число классов. Например, в простой точечной группе С имеются два элемента, и С,, тогда как в классе, обозначенном 26 з, теперь, в расширенной точечной группе, имеются четыре элемента С3, С1, R 3 = С1 и R I = 6 °, которые образуют два класса, обозначенных как 26 з и 2С1, и содержат соответственно элементы Сз, R и Сз, R 3. Подобные явления происходят и с другими точечными группами. Эти различия возникают потому, что поворот на 2я + ф теперь уже не эквивалентен повороту на ф - Для типов >о, D2, D3,. . . непрерывной точечной группы К, а также для всех однозначных типов, принадлежащих к точечным группам более низкой симметрии, характеры новых элементов симметрии R, С ,. . ., iR) — такие же, как и для соответствующих прежних элементов (/, Сд,. . ., i), а для двузначных типов характеры имеют противоположный знак (приложение I). [c.23]

В случаях атомов, двухатомных молекул, а также линейных многоатомных молекул влияние электронного спина на уровни энергии легче понять с помощью векторной модели, без применения теории групп. Но векторная модель неприменима в случае молекул, принадлежащих к точечным группам с симметрией конечного порядка, т. е. в случае нелинейных молекул (а также атомов в кристалле). Причина состоит в том, что число типов симметрии здесь не бесконечно (и часто очень мало), и поэтому отсутствует однозначное соответствие между различными значениями S и типами симметрии, которое имеется в случае атомов, двухатомных и линейных многоатомных молекул. Вследствие этого необходимо установить типы симметрии спиновых функций при различных значениях S для всех основных точечных групп. Теперь это легко сделать, так как известны типы для точечной группы надо только установить, на какие типы распадаются типы группы при переходе к точечным группам более низкой симметрии. Результат приведен в табл. 56 приложения И. [c.24]

Здесь обозначения g и Q приняты соответственно для электронных и ядер-ных нормальных координат. Свойства симметрии функций фе и отвечают одному из типов точечной группы равновесной конфигурации. Поэтому электронно-колебательная волновая функция тоже должна принадлежать к одному из этих типов, даже если решение больше не имеет вида произведения (1,27). Таким образом, тип симметрии электронно-колебательной волновой функции легко получить перемножением типов симметрии электронных и колебательных волновых функций. Такое перемножение, или, на языке теории групп, образование прямого произведения, уже рассматривалось в предыдущем разделе, и результаты для всех наиболее важных случаев можно найти в приложении III, которое можно использовать и для того, чтобы найти тип симметрии колебательной волновой функции из типов [c.28]

Например, в электронном состоянии типа "Л линейной молекулы, в котором однократно возбуждено деформационное колебание I = 1), получаем Р = 2, /21 Этот уровень и несколько более высоких уровней деформа-л,ионных колебаний в состоянии 11 с большим спиновым расщеплением показаны на диаграмме (фиг. 3). Такие же результаты можно получить с помощью теории групп, используя двузначные представления для электронных, а следовательно, и для электронно-колебательных волновых функций. Электронно-колебательные типы будут 1/2, Ез/ , для Р = /о, /2,. . . соответственно (приложение 1). [c.33]

Математическая формулировка правил отбора находит физические приложения при определении интенсивности процессов перехода. Именно здесь, при интерпретации или предсказании оптических спектров, можно применить весь предшествующий анализ. Применение методов теории групп к динамике кристаллической решетки иллюстрируется на примерах определения энергии и симметрии колебательных состояний, а также анализа оптических спектров решетки кристаллов, имеющих структуру алмаза (алмаз, кремний, германий), и кристаллов со структурой каменной соли (хлористый натрий). Приводятся примеры задач для совершенных кристаллов й для кристаллов с точечными дефектами. [c.16]

В большинстве приложений теории симметрии к процессам рассеяния эффекты, связанные с конечным значением волнового вектора света, не принимаются во внимание. При этом условие отличия от нуля матричного элемента (3.45) состоит в том, что представление, по которому преобразуется произведение волновых функций начального и конечного состояний, должно содержать представление, по которому преобразуется симметричный тензор второго ранга (3.53). Отметим еще раз, что строгое рассмотрение с учетом конечной величины волнового вектора требует применения группы симметрии (л), однако в настоящей книге такое рассмотрение не проводится. [c.30]

Ясно, что теория групп в принципе играет существенную роль при определении структуры Жа, поскольку в разложение Жа по нормальным координатам входят только те комбинации (произведения), для которых выполняются все условия, налагаемые симметрией. Напомним, что в соответствии с (т. 1, 109.69) — (т. 1, 109.75) и последующими равенствами в ряде для Жа появляются только такие слагаемые данной степени координат, для которых отличны от нуля соответствующие коэффициенты приведения, т. е. такие произведения, из которых можно образовать инварианты кристалла. Таким образом, первое приложение соображений симметрии, а именно ограничения на возможные слагаемые в Жа, уже знакомо нам из предыдущего. [c.67]

Конструктивное решение -задачи на собственные значения и собственные функции полного набора операторов Казимира требуется для целого ряда физических приложений теории представлений групп, в том числе при изучении квантования нелинейных динамических систем, ассоциируемых с алгебраической структурой полупростых групп Ли (см. гл. VII). При этом выбор того или иного разложения группы через ее подгруппы приводит, вообще говоря, к физически неэквивалентным квантовым системам, гамильтонианы которых отождествляются с квадратичными операторами Казимира, а волновые функции — с собственными функциями последних. [c.84]

В основе наших представлений о твердом теле лежат два ОСНОВНЫХ понятия представление о многочастичной системе и симметрия кристаллической решетки. Свойства симметрии суш,е-ственны для упрош,ения математического описания. Большая информация может быть получена при использовании всех свойств симметрии без количественного решения уравнения Шредингера. Поэтому мы используем вспомогательные методы теории групп. Этим методам посвящено Приложение Б. [c.17]

Подробное обсуждение вспомогательных методов теории групп в физике твердого тела проведено в Приложении Б. [c.74]

Для ответа на эти вопросы требуются некоторые сведения из теории групп, специально о неприводимых представлениях конечных групп. Мы рассмотрим методы теории групп и их применения в физике твердого тела в Приложении Б. В этом параграфе мы приведем только краткое резюме представлений, наиболее важных для теории зонных моделей. Для более глубокого обсуждения ср. Приложение Б и приведенные в литературе работы [84—88]. [c.115]

С самого начала было ясно, что наиболее зрелой и даже в известной степени классической областью является теория кристаллических пространственных групп. Достаточно упомянуть широко известные работы Шенфлиса [161] и Федорова [162] по классификации трехмерных пространственных групп и работы Букарта, Смолуховского и Вигнера [66] и Зейтца [163] по классификации их неприводимых представлений. Общие методы получения правил отбора в теории пространственных групп были развиты значительно позднее, но они также представляют собой ясные решения четко поставленных задач теоретической физики. Несмотря на имеющуюся литературу, посвященную этому аспекту приложений теории групп в физике, и наличие нескольких прекрасных учебников, в которых теория групп излагается специально для физиков, эта теория удивительно мало используется в повседневной работе теми физиками, от которых можно ожидать понимания и применения теории групп в той же степени, как и теории возмущений в ее старой или современной (многочастичной) форме. В соответствии с этим автор ставил перед собой задачу дать ясное и подробное изложение методов теории групп, целью которого было помочь читателю преодолеть предубеждения или затруднения в понимании и применении этих методов. Это означало, в частности, включение доказательств ряда важных положений, которые так часто оставляют читателю вместе с фразой легко доказать , тогда как читатель не имеет для этого достаточных технических навыков или уверенности. Но, естественно, мы должны были предполагать определенный уровень предварительных знаний по основам теории групп в [c.254]

После выхода в свет первого издания предлагаемой книги появилось много новых приложений теории подобия и размерности к самым разнообразным вопросам физики, механики сплошной среды и к некоторым вопросам математического характера, связанным с привлечением теории групп для отыскания решений дифференциальных ypaвнeний ) и к статистическим проблемам выборки и браковки товаров и продуктов производства ). [c.8]

Марий Софус Л и родился в 1842 г. в Нордфиорде в Норвегии, умер в 1899 г., в Осло. После одного года преподавания в шведском университете в Лунде, он перешел в 1872 г. в университет в Осло, из которого в 1886 г. был приглашен заменить Клейна в Лейпцигском университете. Здесь в течение двенадцати лет он собрал вокруг себя большую группу учеников разных национальностей. В 1898 г., когда здоровье его было уже подорвано болезнью, приведшей его к могиле, он с большими почестями был приглашен на родину на кафедру теории групп преобразований, созданную им в университете в Осло. Он любил связывать свои работы с работами Понселе и Плюккера с одной стороны, и с работами Галуа — с другой. Но благодаря смелой новизне взглядов, силе геометрической интуиции и независимости мысли, не-подчиняющейся чьему бы то ни было влиянию, С. Ли занимает в истории математики совершенно самостоятельное место. Благодаря новой принадлежащей ему концепции задачи интегрирования дифференциальных уравнений он пришел, с одной стороны, к открытию преобразований прикосновения и к теории инвариантов этих преобразований, а с другой стороны, к теории конечных непрерывных групп преобразований, которая благодаря совершенной полноте, изяществу методов и результатов я неисчерпаемой возможности приложений остается вечным памятником его имени. [c.252]

Общие ф-лы для К. —Г. к. при произвольиых j, /д и I были получены Ю. Вигнером (Е. Wigner) и Г. Рака (Н. Raka) с помощью методов теории групп, однако OUH слишком громоздки для большинства физ. приложений. В практич. расчётах пользуются либо ал-гебраич. ф-лами в случае, когда один из моментов мал [c.374]

Учение о дислокациях получило в настоящее время широкое развитие, подробно разрабатываются вопросы теории, методы выявления несовершенств этого типа и приложения теории к различным вопросам металлофизики и металловедения. Именно эта группа вопросов, с одной стороны, объясняющая особенности строения и свойства реального кристалла, а с другой — оперирующая физико-математическим аппаратом, дала много точек соприкосновения для металлофизиков и металловедов. Основные представления теории дислокаций изложены в специальных монографиях и обзорах, например [16, 17, 19, 49—53, 429] некоторые приложения рассмотрены в главе VHl, поэтому здесь они рассматриваться не будут. [c.71]

Если сделать определенные предположения относительно формы колодца потенциальной энергии и природы молекулярных групп, которые в нем колеблются, то можно показать (Тобольский, Пауэл, Эринг [145], стр. 125), что теория приводит к механическому поведению тела, подобному тому, которое описывается моделями пружина— амортизатор, рассмотренными ранее в этой главе. В такой трактовке вопроса подчеркивается зависимость вязко-упругих свойств от температуры из этой зависимости могут быть выведены термодинамические соотношения. Главное неудобство в приложении теории к реальным телам в количественном отношении связано с тем, что природа потенциального колодца для тел является в значительной мере предметом догадки и что часто несколько различных процессов могут протекать одновременно. Тем не менее, это пока почти единственный серьезный подход к молекулярному объяснению наблюдаемых эффектов, и он дает надежную базу для развития в будущем. [c.118]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

Многочастичный аспект всей проблемы использует многочисленные вспомогательные математические методы. Квантовая статистика (ферми- и бозе-статистика) дает распределение по энергиям у невзаимодействующих элементарных возбуждений. Для квантовомеханических представлений оказывается удобным представление чисел заполнения (Приложение А). Для проблем, учитывающих взаимодействие, в особенности для сильно возмущенных систем, все больше привлекаются вспомогательные методы квантовой теории поля диаграммная техника, функции Грина, теория рассеяния, матрица плотности и т. д. Во вводной книге, рассчитанной на широкий круг читателей, эти современные методы не могут стоять в изложении на первом плане. Мы все же затронем и эти методы при обсуждении вопросов взаимодействия. Однако, насколько это будет возможно, мы будем пользоваться обычными методами, изложенными в курсах квантовой механики. Более подробно литература по математическим вспомогательным методам теории групп и многочастичной физики приведена в списке литературы [78—88]. Для концепции элементарных возбуждений в твердых телах рекомендуем книги Андерсон [8], Киттель [12], Пайне [16], Тейлор [19], Труды конференции [49] и статью Лундквиста в [56]. Для метода Хартри —Фока ( 3) далее рекомендуем Андерсона [8], Брауэра [9], Хауга [II] и Киттеля [12]. [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...