Представления конечных групп

Представления конечных групп. Каждая конечная группа компактна. Поэтому утверждения, касающиеся представлений компактных групп, справедливы и для конечных групп, только во всех ф-лах необходимо заменить интегрирование по группе суммированием по групповым элементам [c.103]

Настоящая глава посвящена общей теории неприводимых представлений и неприводимых векторных пространств для конечных групп. Предполагается знакомство читателя с элементарными сведениями из теории представлений конечных групп [1—3] эти сведения будут кратко изложены (для удобства читателя и для введения обозначений) в 12—18. [c.49]

Всякое представление конечной группы приводимо (теорема Машке), поэтому (17.2) можно разложить на. сумму неприводимых представлений. Используя определение характера или следа (15.6) и вычисляя след от (17.2), получаем [c.59]

Для ответа на эти вопросы требуются некоторые сведения из теории групп, специально о неприводимых представлениях конечных групп. Мы рассмотрим методы теории групп и их применения в физике твердого тела в Приложении Б. В этом параграфе мы приведем только краткое резюме представлений, наиболее важных для теории зонных моделей. Для более глубокого обсуждения ср. Приложение Б и приведенные в литературе работы [84—88]. [c.115]

Выражения от Зг) до Зк) достаточны для определения всех характеров неприводимых представлений конечной группы. Они объединены в таблице характеров [c.367]

Пусть — набор неприводимых представлений конечной группы О, Я — ее фиксированное представление, тогда [c.141]

Представления конечных групп [c.23]

Глава III. Представления конечных групп [c.24]

Перейдем теперь к изучению свойств представлений конечных групп. [c.28]

Докажем, что всякое представление конечной группы эквивалентно унитарному. [c.28]

Л. И. Седовым и его сотрудниками показана возможность представления конечных точечных кристаллических групп и текстур посредством тензоров, компоненты которых инвариантны относительно этих групп. Систематическое изложение этого вопроса дано, в частности, в статье В. В. Лох и на и Л. И. Седова Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов (Прикладная математика и механика, 1963, т. 27, вып. 3. См. также Л. И. Седов. Механика сплошной среды. Том. I. Издание третье, Наука , 1976. Добавление I). [c.476]

Полная группа вращений в трехмерном пространстве имеет конечное число неприводимых представлений. Сферические гармоники, используемые для построения волновых функций для состояний с заданным орбитальным моментом количества движения, являются удобными базисными функциями этих представлений, т. е. 2L-1-1 функций Уш образуют базис представления полной группы вращений. Это представление обычно обозначается Di. [c.136]

Первых два возбужденных состояния, обнаруженных экснериментально, действительно имеют симметрию 4г и Мг (гл. V, разд. 2,6). Конечно, молекула в этих состояниях не совсем плоская, однако отклонения от плоскости малы, так что можно использовать неприводимые представления точечной группы Сг (гл. I, разд. 2,а). [c.357]

Неприводимые представления и векторные пространства конечных групп [c.49]

Формулы (15.7) — (15.9) соответствуют хорошо известным результатам теории конечных групп. Отметим, что эти формулы, разумеется, справедливы для всей группы в целом суммирование ведется по всем неприводимым представлениям I или по всем классам к группы . Формулы, подобные (15.7) — (15.9), применимы также к подгруппе группы , если только она рассматривается как целое, т. е. как группа, имеющая свои соб- ственные классы, и т. п. [c.56]

В гл. 6 и 7 анализируется математическая задача определения представлений, содержащихся в приводимом представлении и имеющих вид прямого произведения двух неприводимых представлений. Следовательно, математическая задача в точности совпадает с задачей, рассмотренной в общем виде для конечных групп в 17. Название метод полной группы просто отражает то обстоятельство, что на всех стадиях рассматриваются неприводимые представления полной группы и, соот- [c.134]

При определении коэффициентов приведения методом полной группы следует предварительно построить таблицы характеров полной группы. Таким образом, мы будем располагать характерами ( Фр р ) каждого элемента пространственной группы для любого неприводимого представления. Тогда разложение прямого произведения двух неприводимых представлений полной пространственной группы на неприводимые составляющие можно выполнить так же, как для любой конечной группы. Коэффициенты приведения для полной группы можно получить прямо из соотношений (55.4) или [c.167]

Конечная группа имеет конечное число неприводимых П. г. Сумма квадратов размерностей всех неприводимых неэквивалентных П. г. равна порядку группы (теорема Бёрнсайда), причём все эти размерности являются делителями порядка группы. Число различных неприводимых представлений конечной группы равно числу классов сопряжённых элементов. [c.103]

В главах 2—7 и 9 излагается теория пространственных групп. В гл. 2 дается описание структуры кристаллических пространственных групп как групп симметрии трехмерного пространства кристалла. Особое внимание уделяется математической структуре кристаллических пространственных групп. Мы не приводим полного описания 230 пространственных групп, так как оно вместе с иллюстрациями имеется в литературе. В гл. 3 дается обзор стандартного материала по теории представлений конечных групп. Хотя этот материал широко известен, он необходим нам как основа для изложения теории представлений пространственных групп. В гл. 4 излагается теория представлений группы трансляций Неприводимые представления групп трансляций кристалла играют центральную роль в теории, поэтому важно рассмотреть их надлежащим образом, а также правильно ввести понятие первой зоны Бриллюэна. Далее в гл. 5 дается детальный вывод построения и свойств неприводимых предста влений и векторных пространств кристаллической пространственной группы . Этот материал оказывается центральным для характеристики собственных функций и собственных значений при их классификации по симметрии. Рассмотрение в главах 6 и 7 посвящено определению коэффициентов приведения для пространственных групп. Эти коэффициенты приведения являются основными входящими в рассмотрение величинами при определении правил отбора. С математической точки зрения они являются коэффициентами рядов Клебша — Гордана в разложении прямого произведения неприводимых представлений двух пространственных групп. [c.19]

В заключение напомним теорему Машке любое представление конечной группы либо неприводимо, либо вполне приводимо (разложимо). [c.56]

Согласно теореме Машке [50], любое представление конечной группы, заданное над полем комплексных чисел, либо неприводимо, либо разлагается в прямую сумму неприводимых представлений. Это утверждение можно применить к представлениям произведений, рассмотренным в 53 и 54. Нам требуется разложить представление прямого произведения на неприводимые составляющие. Определим коэффициенты полного приведения кт к пг к"т") из основного уравнения, аналогичного (17.4) [c.140]

При доказательстве леммы Шура мы использовали унитарность представлений и. Покажем сейчас, что это ограничение является несущественным. Мы знаем, что всякое представление конечной группы эквивалентно унитарному. Пусть, например, и — неунитарные представления. Всегда можно найти такие неособые матрицы V и W, что представления [c.35]

А1 — о, Д/, = о для переходов, вызываемых этим взаимодействием. Всякая система адронов может быть однозначно представлена в виде суперпозиции состояний, имеющих определ, значение/, т. е. разложена по неприводимым представлениями изотопич. группы. Если в разложениях начального и конечного состояний системы имеются совпадающие неприводимые представления (т. е, с одинаковыми/), то реакция разрешена. В доиол-нение к правилам А1 — О, Д/д = 0 существуют ограничения, связанные с обращением в нуль Клебша — Гордона коэффициентов. Так, напр., в реакции распада р -мезона (/ — 1, /д = 0) на два я-мезона в разложении конечного состояния имеются неприводимые представления с / = 0, 1, 2. Наличие представления с / — 1 делает распад возможным. Однако из двух не противоречащих правилу Д/д = о состояний — п л" и дОдО — осуществляется лишь первое, т. к. коэф. р1леб-ша — Гордана обращаются для второго из них в нуль. Изотопич. инвариантность нарушается эл.-магн. и слабым взаимодействиями. [c.487]

Одним вз наиб, завершённых разделов общей теории П. г. является теория представлений компактных групп, к к-рым. относятся все конечные группы, группы вращений плоскости И пространства, группы при различных N, рассматриваемые в теории злементарвых частиц (см. Калибровочные поля, Унитарная симметрия), и т. д. Если группа компактна, то любому её представлению можно сопоставить эквивалентное ему унитарное представление, т. е. изучение представлений компактной группы сводится к изучению её унитарных представлений. Свойства унитарного представления полностью определяются свойствами его неприводимых компонент. Всякое неприводимое унитарное представление компактной группы конечномерно. [c.102]

Изменение параметра порядка. Как и любые фазовые переходы, С. ф. п. сопровождаются изменением параметра порядка, К рый характеризует координац. упорядочение в кондеисиров. среде (см. Дальний и ближний порядок). Макроскопич. параметром порядка при описании С. ф. п. может служить изменение локальной плотности кристалла Зр( -)=р2(г) —pi(r) [индексы 1 я 2 соответствуют исходной и конечной фазам точнее, следует говорить о наборе коэф. разложения Sp( ) по неприводимым представлениям исходной группы симметрии кристалла С ]. При микроско-пич. описании параметр порядка строится на векторах смещений атомов относительно их ср. положений (yзJЮB кристаллич. рещётки) в исходной фазе. [c.7]

Если для конечной группы задан набор неприводимых представлений 1=1,. .., г, то для определения того, все ли неприводимые представления есть в этом наборе, можно использовать несколько (по существу эквивалентных) критериев. В случае пространствеБных групп не все критерии удобно использовать. Так, если число классов группы равно г, то группа имеет г различных неприводимых представлений. Далее, если рассмотреть след, или характер, матрицы Л( )(ф (ф) , определенный формулой [c.55]

До сих пор метод полной группы успешно применялся для получения полного набора коэффициентов для ряда различных симморфных и несимморфных групп. Следует отметить, лто он использовался также для анализа значительно более сложных случаев, чем те, к которым применялся метод подгруппы. Чтобы понимать в равной степени и теорию конечных групп, и общую теорию пространственных групп в целом, необходимо полностью разобраться в методе полной группы, и только тогда применять в специальных случаях метод подгруппы, соблюдая во избежание ошибок известную осторожность. В 53—60 обсуждается структура представлений прямого произведения, полученных вычислением обычного и симметризованного прямого произведения неприводимых представлений пространственной группы. Затем излагается основной принцип построения правил отбора для волновых векторов и звезд. Используя эти правила, можно определить все коэффициенты приведения и тем самым осуществить приведение. [c.134]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...