Плоские волны в цилиндрических координатах

ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ в ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 095 [c.393]

Н. Плоские волны в цилиндрических координатах [c.393]

Плоская волна по предыдущему (см. 2 ф-лу 15) может быть представлена, как ряд круговых цилиндрических волн. Следующее равенство дает выражение этого ряда, для плоской волны в полярных координатах [c.358]

В этом разделе будут рассмотрены одномерные сходящиеся и расходящиеся сферические и цилиндрические волны. Амплитуда этих волн, в отличие от плоских, меняется не только под действием диссипативных процессов, но и из-за геометрических условий распространения. Очевидно, что это обстоятельство должно сказаться на масштабах различных явлений, связанных с искажением формы волны в расходящихся волнах амплитуда волны быстро убывает и нелинейные искажения тормозятся не только тем, что в среде есть диссипативные потери, но и расходимостью наоборот, в сходящихся волнах амплитуда волны возрастает и геометрические условия распространения в какой-то мере компенсируют затухание в среде, что способствует развитию нелинейных эффектов. Есть некоторая аналогия между распространением плоской волны в диссипативной среде и распространением неплоских волн. Эта аналогия связана с тем, что нелинейные явления не чувствительны к причинам, вызывающим изменение амплитуды волны. Однако она недостаточно глубока, ибо как для цилиндрических, так и для сферических волн не может быть введен какой-то не зависящий от координат дополнительный коэффициент эффективной вязкости . [c.123]

Будем рассматривать плоские волны, распространяющиеся вдоль свободной поверхности бесконечного круглого цилиндра (выпуклая цилиндрическая поверхность) или вдоль свободной поверхности цилиндрической полости кругового сечения в бесконечной упругой среде (вогнутая цилиндрическая поверхность). Тогда в цилиндрических координатах г, 6, ъ (рис. 1.20) поле в упругой среде не будет зависеть от ъ. Будем рассматривать установившиеся гармонические колебания, считая поле зависящим от времени согласно множителю ехр (— аЛ). Твердую среду, как и раньше, будем считать однородной изотропной и идеально упругой. [c.64]

Заметим, что в терминах ТГ (2, со у) уравнение (58) для сферической и цилиндрической волн подобно уравнению (23) для плоской волны, с тем лишь отличием, что коэффициент В оказывается зависящим от пространственной координаты. Это означает, что сферическую (или цилиндрическую) волну можно рассматривать как плоскую волну в среде, вязкость которой изменяется вдоль направления распространения волны [48—49]. [c.27]

Установим зависимости между параметрами потока на границах волны разрежения. С этой целью воспользуемся основными уравнениями плоского изоэнтропического течения — уравнениями Эйлера. Имея в виду, что параметры потока вдоль характеристик не меняются, указанные уравнения используем в цилиндрических координатах. [c.109]

Рассмотренная в общем случае для обобщенных волновых уравнений фундаментальная задача Коши (3.78)-(3.79) с точки зрения физики представляет собой задачу об определении двухточечной функции Грина (пропагатора) для волнового поля, в случае распространения в пространстве плоских волн, созданного мгновенным источником, равномерно распределенным по плоскости д = О. Отсутствие явной зависимости от двух из трех пространственных координат формально сводит эту задачу к пространственно одномерной. В этом смысле мы будем называть эту задачу одномерной, а соответствующее ей решение - одномерной функцией Грина (пропагатором) для соответствующего обобщенного волнового уравнения. Имея в виду в дальнейшем рассмотрение аналогичных задач для цилиндрически- и сферически- симметричных случаев, введем для обозначения этих функций обозначения N = 1,2,3 - математическая размерность задачи, а (.) - определяет положения точки в пространстве соответствующей размерности в подходящей системе координат (для плоской волны - это декартова координата л ). В этих обозначениях, с учетом (3.87), (3.88), функции Грина для всех рассматриваемых вариантов обобщенных волновых уравнений в случае рассмотрения плоских волн [c.162]

Одномерные движения жидкости или газа определяются как движения, все характеристики которых зависят только от одной единственной геометрической координаты и от времени. Можно показать, что одномерные движения возможны только со сферическими, цилиндрическими и плоскими волнами ). Методы теории размерности позволяют найти точные решения некоторых задач об одномерном неустановившемся движении сжимаемой жидкости ). Эти задачи представляют во многих случаях значительный теоретический и практический интерес. Но даже в тех случаях, когда постановка задачи не представляет самостоятельного интереса, получаемые точные решения можно использовать как примеры для проверки [c.167]

Формула (8.7) определяет для автомодельного движения связь между энтропией и начальной координатой в случае сферических, цилиндрических и плоских волн. На основании формул [c.217]

Рассмотрена вариационная задача об одномерном безударном сжатии идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа плоским (г/ = 0), цилиндрическим (г/ = 1) и сферическим (г/ = 2) поршнем. Как ив [1, 2], минимизируется работа поршня при заданном его перемещении за фиксированное время tf. При постановке задачи важную роль играет время то прохождения звуковой волной отрезка Ха — где X — декартова, цилиндрическая или сферическая координата, а Жа и ж о отвечают поршню (при = 0) и неподвижной стенке (для г/ = 1 и 2, возможно, — оси или центру симметрии). Если не оговорено особо, Ха° < Жа, и поршень в плоскости х1 движется влево. По постановке задачи в газе при t < tf не допускаются ударные волны. Поэтому, если < го, то слева от начальной (7 -характеристики газ невозмущен и может быть исключен из рассмотрения, т.е. случай tf < то сводится к случаю tf = то с меньшим то и большим Ха°- В отличие от [1, 2], где газ при = 0 предполагался покоящимся и однородным, далее при нулевой начальной ж-компоненте скорости допускается переменность начальной энтропии, а для V = 1 — и радиально уравновешенной начальной закрутки. [c.311]

В зависимости от геометрии системы решения уравнения (5.32) можно представить в виде суммы плоских или цилиндрических волн. Если решения (5.32) записать в виде плоских волн, то они будут зависеть от 12 произвольных функций, а соотношения (5.33) и (5.34) и условия невырожденности преобразования накладывают на них пять дополнительных условий. Оставшимися функциями можно распоряжаться по своему усмотрению, например, так, чтобы свести задачу с краевыми условиями на движущихся границах к задаче с условиями на неподвижных границах. В общем виде из соотношений (5.32), (5.33) трудно усмотреть что-либо рациональное и нужно проводить отдельное рассмотрение в каждом конкретном случае. В частности, для одномерных систем мы приходим к результатам, представленным в 3.7. Другим, довольно распространенным случаем является ситуация, когда в двумерных системах структура поля по одной из координат известна из каких-либо соображений [5.7, 5.8]. Например, пусть [c.195]

Предположим, что в упругом теле, содержащем бесконечный ряд одинаковых круговых цилиндрических полостей радиуса R, перпендикулярно оси Ох (см. рис. 7.17) распространяется плоская волна сдвига [18], вектор перемещений в которой параллелен оси Oxz (антиплоская деформация). В системе координат (/ ft, 0й), связанной с k-M отверстием, перемещение ее может быть представлено в виде [c.167]

Класс точных решений уравнений газовой динамики удалось получить, применяя методы теории размерностей и подобия. Основная заслуга в этом принадлежит Л. И. Седову. В 1944 г. он дал общий прием для нахождения решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для одномерных неустановившихся течений (которые описы- 331 ваются нелинейными уравнениями) он рассмотрел случаи, когда искомые функции содержат постоянные, среди которых одна или две постоянные с независимыми размерностями. Седов доказал, что если среди размерных параметров, определяющих движение совершенного газа, кроме координаты г и времени t имеются лишь два постоянных физических параметра с независимыми размерностями, то уравнения в частных производных могут быть сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Движения газа, определяемые этими условиями, были названы автомодельными. Такими решениями были течения Прандтля — Майера, сверхзвуковые течения около кругового конуса с присоединенным скачком. В 1945 г. Седов нашел точные решения уравнений одномерного неустановившегося движения в случае плоских, цилиндрических и сферических волн (движение поршня в цилиндрической трубе, задача детонации, движение газа от центра и к центру) . [c.331]

Одномерным называется движение, при котором все характеристики среды зависят только от расстояния х до некоторой плоскости (движение с плоскими волнами), или только от расстояния х до некоторой прямой—оси симметрии (движение с цилиндрическими волнами), или только от расстояния х до некоторой точки — центра симметрии (движение со сферическими волнами) и от времени, если движение неустановившееся. В одномерных движениях со сферическими волнами вектор скорости имеет в соответствующей сферической системе координат лишь одну отличную от нуля компоненту — радиальную. В одномерных движениях с цилиндрическими и плоскими волнами отличными от нуля могут быть все три компоненты вектора скорости в соответствующих цилиндрической и декартовой прямоугольной системах координат. Оставляя вывод уравнений для общего случая на конец параграфа, будем считать далее не равной нулю лишь одну составляющую скорости — вдоль той координаты, вдоль которой меняются характеристики среды. [c.149]

При изучении одномерных неустановившихся движений газа с эйлеровой точки зрения искомыми функциями являются одна компонента скорости и и две термодинамические переменные, например, давление р и плотность р, а независимыми переменными—линейная координата х и время /. В случае плоских волн координата л может меняться от —оо до оо, в случае цилиндрических и сферических волн—от О до сю. Вместо давления и плотности бывает удобно использовать другие величины, связанные с ними определенными соотношениями. [c.149]

Различия количественного характера обусловлены тем, что амплитуды сферических и цилиндрических волн не остаются постоянными вследствие их расхождения (или схождения). Это приводит к тому, что нарастание нелинейных искажений происходит в ином темпе по сравнению с плоскими волнами. Помимо количественного отличия характерных параметров — координат — в сходящихся цилиндрических и сферических волнах возможно двукратное формирование ударной волны, чего никогда не может быть при распространении плоских и расходящихся сферических и цилиндрических волн. [c.65]

Выше рассматривалось влияние прозрачности параболоида на рассеянное поле, когда на него падает плоская звуковая волна. Интерес представляет также вопрос о влиянии прозрачности параболоида на его направленные свойства. Для выяснения этого вопроса поместим в фокус источник звуковых волн в виде пульсирующей нити Яо (kR) Учитывая известное разложение функции Яо Ч ) по цилиндрическим волновым функциям [19] (в данном случае необходимость в этом разложении обусловлена тем, что нужно представить функцию Яо kR) в системе координат с центром О ), звуковые поля в частичных областях представим в виде [c.85]

Формула полностью аналогична выражению (70.3), с той разницей, что бегущая плоская волна заменена бегущей цилиндрической волной. Величины и е найдутся из граничных условий они будут совпадать со значениями для соответственной плоской волны той же частоты, бегущей в том же волноводе. Для цилиндрических и плоских нормальных волн будут совпадать дисперсионные уравнения, нумерация нормальных волн, распределение давлений и компонент скоростей частиц. Различаться будут только закон спадания поля с расстоянием и набег фазы, вблизи начала координат. В цилиндрической волне происходит спадание амплитуды асимптотически как 1/1/г, в то время как двухмерная волна в слое свою амплитуду сохраняет. На больших дистанциях набег фазы нарастает одинаково для обоих типов волн. [c.268]

Оператор Лапласа V в уравнении (1.7) может быть представлен не только в прямоугольных, но также в цилиндрических или сферических координатах. Соответственно наиболее простые решения уравнения (1.7) будут иметь вид не плоских, а цилиндрических или сферических волн. Гармоническая сферическая волна, распространяющаяся из начала координат, имеет вид [c.18]

Если звуковая волна распространяется по цилиндрической трубе или по стержню — мы имеем дело с одномерным случаем волновое состояние определяется одной единственной координатой. Если же волна распространяется в неограниченной сплошной среде, то это, вообще говоря, случай трехмерный, описываемый при помощи трех пространственных координат. Однако в теории волн рассматривают преимущественно три вырожденных случая случай плоской волны, шаровой волны (с центральной симметрией) и волны цилиндрической (с осевой симметрией). [c.260]

Совершенно естественно выбрать (2. 1) для описания плоской волны, (2. 2) — для сферической и (2. 3) — для цилиндрической. В первом случае выпадает зависимость от двух координат, уравнение плоской волны принимает вид [c.261]

Это уравнение введением новой переменной кг приводится к уравнению Бесселя нулевого порядка для цилиндрической волны получается решение, выражаемое не в тригонометрических, а в бесселевых функциях аргумента кг. Это означает, что волновое движение при синусоидальной зависимости от времени выражается несинусоидальной зависимостью от координаты, в отличие от плоской волны, которая выражается синусоидальными зависимостями как от времени, так и от координаты. Лишь на больших расстояниях от оси цилиндрическая волна приближается к синусоидальной, как это следует из асимптотических выражений для бесселевых функций. Решение уравнения (2. 10) здесь не приводится, так как выбор частных интегралов зависит от условий задачи. [c.263]

Пусть плоская бесконечная решетка, образованная идеально проводящими параллельными цилиндрическими проводниками с произвольной формой поперечного сечения (рис. 1), расположена параллельно плоскости хОу декартовой системы координат. В направлении оси Оу решетка периодична с периодом I. Из верхнего полупространства (г > 0) на решетку падает плоская линейно-поляризованная электромагнитная волна [c.12]

Здесь р1 - начальная плотность газа, т - лагранжева координата, введенная соотношением т = р1г (1г, где г - начальная координата частицы, ь> = 1,2,3 соответственно для течений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами выбор главных членов произведен так, чтобы в случае, когда Ко(1) - закон распространения ударной волны, они давали точные значения параметров за ударной волной, т.е. при т = рхЩ/и. [c.316]

Здесь число л) =1,2,3 для плоского, цилиндрического и сферического случаев соответственно. Представим решение уравнений в виде произведения масштабных функций, зависящих от времени, на новые неизвестные функции автомодельной переменной = г/Я, где Я = Я t) — переменная длина, свойственная данной задаче (например, координата фронта ударной волны). Выбирая в качестве основных масштабы длины Я [c.238]

Построение дисперсионных соотношений для распространяющихся волн в цилиндре, естественно, нельзя выполнить на основе данных об отражении волн от плоской границы полупространства. Для вывода этих соотношений способом, аналогичным предложенному в 1 и 2 данной главы, необходимо детальное решение довольно сложной задачи об отражении плоских волн от цилиндрической границы. Поэтому при рассмотрении волновых движений в цилиндре проще исходить из набора частных решений уравнений Ламе в цилиндрических координатах. Такие наборы впервые были построены в работах Похгаммера [252] и Кри [168]. [c.144]

Применим уравнение (6.52) для частного случая плоской 6erym eii волны с неравномерным распределением амплитуды по фронту волны. Будем считать, что скорость первого приближения в цилиндрических координатах г, ф, Z имеет вид [c.229]

Под выпуклой и вогнутой цилиндрическими поверхностями будем понимать поверхности бесконечного круглого цилиндра и цилиндрической полости кругового сечения в бесконечной упругой среде. В обоих случаях ограничимся плоской задачей, когда в цилиндрических координатах г, 0, г ооле в упругой среде не зависит от г, причем будем рассматривать установившиеся гармонические колебария, когда зависимость поля от времени дается множителем . Аналогом рэлеевских волн [c.37]

Для решения задачи о распространении звука в плоском изоско-ростном слое для гармонической волны удобно представить волновое уравнение др -f О в силу цилиндрической симметрии в цилиндрических координатах [c.45]

Используя разложения Якоби, представим выражения для плоских волн (4) и (13) в цилиндрической системе координат 01Г1<р1гз через цилиндрические волновые функции [c.345]

При анализе лучевой картины светового поля принято выделять важный структ)фный элемент, называемый каустикой. Каустика - это поверхность (или линия), огибающая систему л) ей (рис. 1.3.6). Для плоской волны каустики нет. Каустика цилиндрической волны вырождается в фокальную линию (ось системы координат). Каустика сферической волны вырождается в точку п фокус. Каустика может сформироваться как в неоднородной среде, так и в однородной. Пример каустики в однородной среде приведен на рис. 1.3.7, где лучи п нормали к волновому фронту, который несколько отличен от сферического. [c.45]

Задача о поршне, уже рассмотренная в 18 для одномерных движений с плоскими волнами, представляет интерес и для движений с цилиндрической или сферической симметрией. В этих случаях сравнительно простое — автомодельное — решение существует лишь тогда, когда поршень вдвигается в покоящийся газ, расширяясь из точки (начала координат) с постоянной скоростью для других краевых условий задача о поршне неавтомодсльна. Тем не менее исследование решения задачи о порщне полезно для понимания общей методики отыскания таких решений. [c.205]

При помощи этих формул, дающих различные математические выражения для физических величин V (/ ), grad(jp) и div(системах координат, мы можем приступить к изучению плоских, цилиндрических и сферических волн в свободной среде. [c.326]

Одномерные неустановившиеся течения. В этом случае все параметры движения зависят только от одной пространственной координаты г и времени t. На поверхности г = onst все характеристики движения одинаковы. Это — движения с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами. [c.157]

Уравнения движения и их решение. Рассмотрим одномерные движения невязкого, нетенлонроводного газа нри наличии раснространяюгцейся но газу ударной волны. Газ совершенный с постоянными удельными теплоемкостями. За основные искомые функции примем расстояние К частиц от центра (осп, плоскости) симметрии, плотность р и давление р, а за независимые переменные -время I и лагранжеву координату ш, определенную формулой йт = р1 г)г (1г, г - значение К в начальный момент времени, р (г) - начальное распределение илотности, и = 1, 2, 3 для течений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами. При сделанных предположенпях уравнения неразрывности, движения и энергии записываются в виде [c.262]

Уравнения Эрнста возникают в обшей теории относительности как двумерные редукции уравнений Эйнштейна для гравитационных полей в вакууме. В случае стационарных полей с осевой симметрией эти уравнения могут быть записаны в весьма элегант1гой форме [49] в виде одного нелинейного (квазилинейного) уравнения эллиптического типа для одной неизвестной комплексной функции Е(р,г), называемой потенциалом Эрнста. В другом двумерном случае, когда искомое решение зависит от времени и одной из пространственных координат, как, например, в случае плоских цилиндрических волн, а также для решений космологического типа, возникает аналогичное уравнение, но уже волнового (гиперболического) типа, которое также принято называть уравнением Эрнста. [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...