Релаксация и кинетические уравнения

РЕЛАКСАЦИЯ И КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [c.74]

Релаксация и кинетические уравнения [c.74]

Для описания плазменных явлений в твёрдых телах обычно решают систему ур-ний, включающую Максвелла уравнения и кинетическое уравнение, позволяющее рассмотреть процессы релаксации, учесть тепловое движение носителей, а также квантовые эффекты. Бо- [c.601]

Поскольку инкремент нарастания плазменных колебаний 7 определяется распределениями частиц, то уравнение (58.30) и кинетические уравнения с интегралом столкновений (58.31) для всех сортов частиц плазмы составляют замкнутую систему уравнений, описывающую релаксацию плазменных колебаний и релаксацию частиц. Уравнение (58.30) называют кинетическим уравнением для волн. Систему уравнений (58.30) — (58.31) часто называют уравнениями квазилинейного приближения. В работах (16—22] были развиты основы квазилинейного приближения, а также решен ряд конкретных задач. [c.260]

Уже в самой записи кинетического уравнения содержится предположение о справедливости приближения времени релаксации и об отсутствии внешних полей. Разрешим уравнение (13.16.1) относительно явно входящей функции / [c.345]

Для того чтобы расширить наше описание взаимодействия частиц с плазменными колебаниями, поставим задачу отыскания парной корреляционной функции, в которой учитывалось бы изменение во времени не только благодаря медленному изменению функций распределений частиц, как это предполагается обычно при выводе кинетических уравнений и как это делалось нами до сих пор, но и благодаря релаксации плазменных колебаний. Поскольку при этом скорость изменения распределения частиц может быть сравнима со скоростью изменения интенсивности колебаний, то уже нельзя пользоваться уравнением (54.7) для условной вероятности облака поляризации Р ь, а для решения нашей задачи придется снова вернуться к уравнению для парной корреляционной функции (54.2). [c.252]

Кинетические уравнения массообмена в фильтрующейся жидкости уравнения сорбции и десорбции примесных компонент. Интенсивности переходов масс между подвижными и неподвижными фазами /12 и /31 будем описывать линейными кинетическими уравнениями, определяемыми временами релаксации t 2. = = 21 И 34 — 43, равновесными объемными концентрациями, или насыщенностями (подвижных фаз) 82 и которые будем [c.310]

Для скорости переходов примесных компонент между нефтью, водой и твердой породой аналогично (8.2.20) примем линейные кинетические уравнения, определяемые временами релаксации tгj(k) И равновесными приведенными плотностями компонент примеси в фильтрующейся жидкости р ( ) и в твердой фазе р о(й) (за счет адсорбции) [c.312]

Основы теории возбуждения колебаний в молекулах были заложены в классической работе Л. Д. Ландау и Э. Теллера (1936). Кинетическое уравнение, которым описывается процесс релаксации, составляется особенно просто в случае сравнительно низких температур, когда возбуждаются только первые колебательные состояния молекул (будем рассматривать двухатомные молекулы). [c.225]

Иначе, однако, складывается ситуация для электрон-фононных столкновений. В 3.4 использовалась равновесная функция распределения фононов. Это допустимо, если существует независимый механизм, устанавливающий равновесие в фононном газе (например, рассеяние фононов на примесях или их рассеяние друг на друге). Но если концентрация примесей мала, то первый из этих процессов неэффективен. Что касается второго, то он, так же как и взаимное рассеяние электронов, может установить равновесие лишь благодаря процессам переброса. При низких температурах импульсы фононов малы и поэтому условие (4.24) для фонон-фононных столкновений наверняка не выполняется. Итак, в чистом металле при низких температурах единственным существенным механизмом релаксации фононов являются столкновения с электронами. Но при этом мы не имеем права подставлять равновесную фононную функцию, а должны находить ее из кинетического уравнения. [c.58]

Расчеты, основанные на полной микроскопической теории, учитывающей зависимость величин от времени, приводят к очень сложным кинетическим уравнениям, причем разным в зависимости от характера внешнего воздействия. Трудность усугубляется тем, что рассеяние на примесях, будучи упругим, не дает релаксацию квазичастиц по энергиям, и поэтому надо учитывать взаимодей- [c.413]

Как оказалось, одной лишь этой гипотезы вполне достаточно, чтобы явно ввести физическую необратимость согласно знаменитой //-теореме кинетическое уравнение описывает необратимую релаксацию газа к термодинамическому равновесию с монотонным возрастанием энтропии со временем. Возникает вопрос о том, какое же физическое явление стоит за гипотезой о молекулярном хаосе, и как это явление может быть рассмотрено в рамках более строгого логического обоснования. Именно этот вопрос мы и обсудим в данном разделе. Сначала мы рассмотрим газ классических частиц, а затем обсудим более точное квантовое описание поведения атомов. [c.172]

В этой главе дается краткая сводка некоторых понятий и формальных правил вычислений квантовой механики и статистики, которые понадобятся в дальнейшем для описания процессов излучения и рассеяния света веществом. В 2.1 дается рецепт перехода от классических уравнений движения к квантовым и обсуждается связь наблюдаемых и вычисляемых величин. В 2.2 вводятся удобные обозначения Дирака и геометрическая интерпретация квантовой механики. В 2.3 рассматриваются представление взаимодействия и теория возмущений. 2.4 посвящен важной закономерности статистической физики, называемой флуктуационно-диссипативной теоремой (ФДТ). Наконец, в 2.5 вводятся понятия релаксации и термостата и выводится простейшее кинетическое уравнение, отличающееся от динамических уравнений учетом взаимодействия с термостатом. Это взаимодействие приводит к затуханию и тепловым шумам, которые при Т Ф О добавляются к квантовым шумам. [c.44]

Наиболее общий метод одновременного описания флуктуаций в слабо-неравновесных системах и процессов релаксации основан на так называемых кинетических уравнениях, первое из которых было введено Больцманом около ста лет назад. Мы рассмотрим ниже в качестве примера один из простейших вариантов вывода кинетического уравнения. [c.74]

Взаимодействие электронов с внешним нолем учитывается в настоящем изложении путем составления и решения кинетического уравнения Больцмана, в которое электрическое, магнитное и температурное поля входят явным образом в качестве параметров. В идеальной периодической решетке электрон не испытывает сопротивления при движении однако примеси, колебания решетки и другие виды неидеальностей создают механизм рассеяния, который также должен быть учтен в уравнении Больцмана. Стандартным приемом является введение времени релаксации т, связанного со средней длиной свободного пробега I соотношением т = / V . Можно показать, что этот подход применим нри некоторых довольно ограниченных условиях и что результаты эквивалентны линейной неравновесной термодинамике. Для описания различных механизмов рассеяния, как показано в последующих задачах, используются различные предположения относительно времени релаксации т. [c.458]

Сначала кратко рассмотрим рассеивающий псевдопотенциал, чтобы сопоставить формулу Кубо — Гринвуда и результат решения кинетического уравнения. Для этого нужно выразить время рассеяния через параметры соотношений (3.87) и (3.88). Это легко сделать, если Йш гораздо меньше расстояния между поверхностью Ферми и как начальным, так и конечным состояниями. (Неучтенные вследствие сделанного нами допущения эффекты представляют собой поправки к приближению времени релаксации в кинетической теории.) В этом случае разницей между W н W можно пренебречь и становится справедливым соотношение (3.89) для матричного элемента. Разность волновых векторов входит в проводимость в квадрате, и для изотропной системы, если частота достаточно мала и можно пренебречь разницей модулей векторов кик, можно [c.360]

Основное кинетическое уравнение есть уравнение, описывающее изменение во времени величины Р (0. т. е. вероятности того, что в момент времени t система находится в состоянии п. Если соответствующим образом интерпретировать слово состояние , то P t) можно определить как в классической, так и в квантовой механике. Чтобы доказать справедливость статистической механики, надо показать, что P t) приближается к величине (с , с ), определяемой соотношением (9.5), когда становится значительно больше характеристического времени системы, называемого временем релаксации, например времени свободного пробега. [c.226]

Кинетические уравнения, описывающие релаксацию колебательной энергии вследствие всех перечисленных выше процессов в смеси газов, могут быть составлены двумя способами Можно записать систему дифференциальных уравнений для определения заселенности каждого возбуждаемого уровня каждой колебательной моды, используя соответствующие вероятности переходов Такой подход, однако, в настоящее время без существенных упрощающих гипотез оказывается весьма сложен, не только из-за значительного числа уровней, но также из-за отсутствия надежных экспериментальных и расчетных данных по вероятностям переходов для столь сложной взаимодействующей смеси молекул Другой подход состоит в составлении дифференциальных уравнений для определения энергии [c.46]

Правая часть (15.21) по форме точно совпадает с результатом решения кинетического уравнения, если под 7 подразумевать время релаксации. Этому обстоятельству, однако, не следует придавать слишком большого значения в нашем случае 7 есть просто мнимая часть комплексного аргумента Согласно условию адиабатического включения взаимодействия ее следует считать бесконечно малой, и тогда статическая проводимость (Не а ( )) при (в = 0), конечно, расходится, как это и должно быть в системе без затухания. Формулы (15.21), (15.22) нельзя непосредственно перенести на случай системы с затуханием, ибо тогда функция Грина не имеет простого вида (5.20). Формула (15.22) после интегрирования по частям дает [c.150]

Использование этого принципа в соединении с идеей Боголюбова об иерархии релаксационных процессов в статистических системах, приводящих к относительно быстрой релаксации функции F к мультипликативной структуре в системах, еше далеких от равновесия, позволило Боголюбову не только получить кинетическое уравнение Больцмана, ио и сформулировать процедуру его дальнейшего уточнения. [c.300]

При высоких температурах, когда числа заполнения фононных состояний велики, установление равновесия в каждом элементе объема фононного газа (фонон-фононная релаксация) происходит очень быстро. По этой причине при рассмотрении электро- и теплопроводности металла можно считать фононную функцию распределения равновесной, т. е. положить в интегралах столкновений х = 0 (к количественной оценке х мы вернемся еще в конце параграфа). Другими словами, достаточно рассматривать кинетическое уравнение лишь для электронов. [c.404]

В процессах ударноволнового нагружения (во всяком случае, на начальном этане) при давлениях порядка 1 — 10 ГПа играют роль кинетические, или релаксационные эффекты перехода упругих деформаций в пластические, которые иногда называют эффектами запаздывания текучести. Процессы перехода упругих деформаций в пластические и обратно, вообще говоря, могут рассматриваться как фазовые переходы 2-го рода, когда в точке равновесия фаз (в данном случае в точке Гюгоиио па ударной адиабате) меняется сжимаемость или модуль сопротивления сдвигу, но пе величины внутренней энергии и плотности, как в случае фазовых переходов 1-го рода. Модели, учитывающие релаксацию во времени упругих деформации в пластические (в отличие от упругопластических схем типа (1.10.19)), должны включать дополнительные независимые параметры и дифференциальное уравнение кинетики релаксации упругих деформаций. Это [c.148]

Интенсивности переходов масс меягду подвижными п неподвнж-нымн фазами 7)2 и /34 будем описывать лине шыми кинетическими уравнениями, определяемы ,ш временами релаксации tn = = и 34 = 43, равновесными объемными концентрациями, или насыщенностями (подвижных фаз) н S которые будем называть фазовыми проницаемостуми [c.310]

Для скорости переходов примесных компопент между нефтью, водой и твердой породой аналогично (8.2.20) примем линейные кинетические уравнения, определяел1ые временами релаксации ifi(ft) и равновесными приведенными плотностями комноиепт примеси в фильтрующейся жидкости Рт) и в твердой е )азе Р1о(л) (за счет адсорбции) [c.312]

Описание сильно неравновесных состояний, а также вычисление кинетич. коэф. производятся с помощью кинетического уравнения Больцмана. Это ур-ние представляет собой интегродифференц. ур-ние для одночастичной ф-ции распределения (в квантовом случае — для одночастичной матрицы плотности, или статистич. оператора). Оно содержит члены двух типов. Одни описывают изменение ф-ции распределения при движении частиц во внеш. полях, другие — при столкновениях частиц. Именно столкновения приводят к возрастанию энтропии неравновесной системы, т, е. к релаксации. Замкнутое, т. е. не содержащее др. величин кинетич. ур-ние, невозможно получить в общем виде. При его выводе необходимо использовать малые параметры, имеющиеся в данной конкретной задаче. Важнейшим примером является кинетич. ур-ние, описывающее установление равновесия в газе за счёт столкновений между молекулами. Оно справедливо для достаточно разреженных газов, когда длина свободного пробега велика по сравнению с расстояниями между молекулами. Конкретный вид этого ур-ния зависит от эфф. сечения рассеяния молекул друг на друге. Если это сечение известно, ур-ние можно решать, разлагая искомую ф-цию по ортогональным полиномам. Таким способом можно вычислить кинетич. коэф. газа, исходя из известных законов взаимодействия между молекулами. Кинетич. ур-ние учитывает только парные столкновения между молекулами и описывает только первый неисчезающий член разложения этих коэф. по плотности газа. Удалось найти и более точное ур-ние, учитывающее также тройные столкновения, что позволило вычислить следующий член разложения. [c.672]

Коэффициенты 7i i(T) имеют размерность обратного времени. Они определяют вероятность перехода / (—/ в единицу времени. Очевидно, что рц (t) определяет вероятность нахождения туннельной системы в состоянии с энергией Ei, т. е. в одной из двух ям или вообще над ямами (рис. 2.4). Следовательно, система кинетических уравнений (6.19) позволяет рассчитывать кинетику вероятности нахождения туннельной системы в том или ином квантовом состоянии, а зависящие от температуры коэффициенты 7i i(T) определяют кинетику как внутриямной, так и межъямной релаксации. [c.74]

Подведем итоги проведенного анализа. При произвольном начальном состоянии эволюция П- и П-компонент функции распределения происходит взаимно независимо. П-компонента подт чиняется обобщенному кинетическому уравнению (17.3.17), описывающему релаксацию этой компоненты к равновесному состоянию. С другой стороны, эволюцию П-компоненты можно было бы сравнить с процессом фазового перемешивания. На конечном этапе П-компонента обращается в нуль. [c.211]

Огромный прогресс, достигаемый при использовании субдина-мического описания (фиг. 22.1), иояшо понять следующим образом. Более традиционный подход к той же проблеме состоит в попытке показать, что кинетическое охшсание позволяет получить удовлетворительное приближение к закону эволюции систем. Такой результат не может быть достаточно общим. Он может быть получен только для простых систем, в которых имеется существенное различие между временными масштабами процессов соударения и релаксации. Тогда сложные переходные процессы затухают весьма быстро, а кинетическое уравнение на временах порядка времени релаксации действительно является хорошим приближением при описании поздней стадии эволюции системы. Однако при исследовании плотных жидкостей или сильно взаимодействующих систем оба упомянутых характерных масштаба времени имеют один порядок величины. Тогда переходные эффекты, которыми мы прежде пренебрегали, начинают влиять на простую эволюцию системы к равновесию. Математически такое положение описывается основным кинетическим уравнением Пригожина — Резибуа (см. разд. 16.3). Однако, чтобы записать член типа источника в их уравнении, необходимо задать все начальные корреляции, а при постановке задач мы обычно не располагаем такими сведениями. Поэтому упомянутое основное кинетическое уравнение может быть применено конкретно лишь для простых предельных случаев. [c.350]

Поскольку в реальных экспериментах длительность внешнего воздействия Аг может быть существенно меньше характерных времен релаксации в системе ), описание самого процесса формирования неравновесного состояния представляет собой довольно сложную задачу. В частности, на этой стадии эволюции, кроме взаимодействия частиц с сильным внешним полем, важную роль играют начальные корреляции и эффекты памяти. После окончания действия внешнего импульса система релаксирует к равновесию. С теоретической точки зрения эта стадия эволюции также весьма интересна, поскольку она связана с затуханием памяти, т. е. с переходом к марковскому режиму, который заканчивается установлением теплового равновесия в системе. В дальнейшем мы рассмотрим только стадию релаксации сильно возбужденной системы, так как именно при ее описании с помощью немарковских кинетических уравнений были обнаружены серьезные трудности принципиального характера [94]. [c.308]

Как уже отмечалось, интерес к немарковским кинетическим уравнениям возник в связи с началом активного исследования быстрых процессов в веществе иод действием мощного лазерного излучения. Тот факт, что уравнение Левинсона не нарушает закон сохранения полной энергии, явился приятной неожиданностью . Казалось, что включение эффектов памяти ведет лишь к техническим сложностям в решении кинетических уравнений и не создает каких-либо принципиальных проблем. Очень скоро, однако, численное решение кинетических уравнений типа уравнения Левинсона показало, что все они обладают серьезными дефектами [94]. Во-первых, в процессе решения возникали нефизические отрицательные значения одночастичной функции распределения. Оказалось также, что уравнение Левинсона не описывает релаксацию системы к равновесию после окончания действия внешнего поля и, вообще, в пределе больших времен его решение не стремится к какой-либо стационарной функции распределения. Формальные причины такого поведения решений уравнения Левинсона легко обнаружить. В отличие от интеграла столкновений Улинга-Уленбека (4.1.86), интеграл столкновений Левинсона (4.5.14) не обращается в нуль если в него подставить равновесные распределения Ферми или Бозе ). Иначе говоря, уравнение Левинсона не имеет равновесного решения Поэтому нет ничего удивительного в том, что уравнение Левинсона предсказывает нефизическое поведение системы на стадии релаксации после окончания действия поля. Впрочем, поскольку это кинетическое уравнение имеет внутренние дефекты, возникают сомнения и в его применимости к описанию стадии возбуждения системы полем. [c.313]

Кинетические уравнения, описывающие релаксацию распределения пчазменных колебаний и релаксацию распределений частиц, обусловленную взаимодействием с плазменными колебаниями [c.252]

Для упрощения кинетических уравнений, описывающих скорости реакций с участием заряженных частиц, и приближенного определения области отклонения состава нейтральных компонент от квазиравновесности был проведен анализ времен релаксации различных элементарных процессов и их сопоставление с характерным газодинамическим временем течения. Анализ показал, что для течений продуктов сгорания при расчетах концентраций электронов можно исходить из квазиравновесного распределения нейтральных компонент, так как в той области течения, где Тг Тэл, Тх Тэл. [c.243]

Более строгое феноменологическое рассмотрение подвижности носителей заряда в ОПЗ базируется, как и в случае тонких металлических пленок, на решении кинетического уравнения Больцмана (Шриффер, Грин, Франкл, Земел). По аналогии с теорией Фукса, характер взаимодействия носителей с поверхностью описывается единственным параметром — коэффициентом зеркальности Р (см. п.2.1). Предполагается также, что эффективная масса свободных носителей изотропна, время релаксации импульса не зависит от энергии и, кроме того, отсутствует вырождение. [c.52]

Таким образом, коль скоро рассматриваемая частота м меньше минимальной частоты межзонных переходов, ег(0,м) =0 в рамках RPA. Причина этого весьма цроста фотон с энергией Ьск не может непосредственно породить электронно-дырочную пару с энергией hkvp, и, следовательно, в рамках RPA внутризонные переходы не дают вклада в проводимость на высоких частотах. На опыте, однако, это не наблюдается. Дело в том, что в RPA не учитывается конечность времени жизни электронов в зоне проводимости в результате их столкновений с фононами, примесями и, возможно, друг с другом. Учет этого обстоятельства в данном случае совершенно необходим столкновения приводят к размазке одноэлектронных энергий, в результате чего электронно-дырочная пара, взаимодействуя с примесями (или фононами), может поглотить фотон. Будем характеризовать рассеяние неким временем релаксации т, тогда легко получить соответствующие формулы, просто обобщая метод работы [36]. В этой работе отклик системы электронов на поперечное поле Е(кы) вычислялся с помощью квантового кинетического уравнения. Допустим, что столкновения сказываются только на внутризонных переходах. Тогда вместо формул (4.93) и (4.94) мы получаем [c.263]

Множитель 1 — С08 0 следует включить в интеграл (2.66). Поэтому в выражении (2.67) появляется дополнительный множитель дУ2к . Частоту столкновений мы представили в виде 1/т. Параметр т называется временем релаксации ), и он непосредственно используется для получения кинетических свойств. Заметим, что решением уравнения (2.68) служит выражение [c.223]

Можно показать, что решения основного кинетического уравнения действительно стремятся к желаемому пределу при (->оо. Следова тельно, задача вывода статистической механики сводится к доказа тельству справедливости основного кинетического уравнения и опре делению времени релаксации. [c.227]

Кинетические уравнения, описывающие релаксацию колебательной энергии, вследствие всех перечисленных выше процессов могут быть получены двумя способами. Возможно записать систему дифференциальных уравнений для определения заселенности каждого возбуждаемого уровня каждой колебательной моды, используя вероятности переходов [112, 193]. Такой подход, однако без упрощающих гипотез, оказывается весьма сложным не только из-за значительного числа уровней, по также из-за отсутствия надежных экспериментальных и расчетных данных по вероятностям переходов для стояь сложной взаимодействующей смеси молекул. Другой подход состоит в использовании дифференциальных уравнений для энергии каждой моды. Если предположить больцмановское распределение по энергиям внутри каждой моды и принять, что молекулы являются гармоническими осциллиторами, то релаксационные уравнения, соответствующие приведенным выше процессам, запишутся в виде [c.279]

При расчетах неравновесных течений приходится проводить численное интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих исследуемый неравновесный релаксационный процесс. Кинетические и релаксационные уравнения, описывающие этот процесс, вблизи равновесия являются, как правило, уравнениями с малым параметром при старщей производной, что существенно усложняет их численное интегрирование. К числу релаксационных относятся уравнения сохранения массы химической компоненты (1.15) для определения колебательной энергии (1.16) для определения скоростей и температур частиц в двухфазных потоках (1.18) для определения массы конденсата в течениях с конденсацией. Неравновесные течения в ряде случаев начинаются из состояния, где система близка к термодинамическому равновесию. В тех же областях, где система близка к равновесию и время релаксации, а следовательно, и длина релаксационной зоны малы, возникают значительные трудности с выбором шага интегрирования. Оказывается, что при использовании для численного интегрирования явных разностных схем типа метода Эйлера, Рунге — Кутта шаг интегрирования для проведения устойчивого счета должен быть настолько мал, что расчет становится практически невозможен даже при использовании современных вычислительных мащин. [c.104]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...