Фононы числа заполнения JII

Выражение для интенсивности данного процесса содержит множитель 1+/ для каждого акта испускания фонона (/ — число заполнения соответствующего фонона) и множитель / — для каждого акта поглощения фонона. [c.386]

Собственные состояния гамильтониана (19.54) можно характеризовать фононными числами заполнения Ок, которые могут независимо принимать значения О, 1, 2,. .. Обозначим собственное состояние символом I. ... Ок. ) Оно имеет следующие свойства [c.467]

Будем считать, что ионы в кристалле хорошо описываются гармоническим приближением. Позднее мы укажем, как следует изменить наши выводы с учетом имеющихся всегда ангармонических членов во взаимодействии между ионами. Предположим, что в начале эксперимента кристалл находится в состоянии с фононными числами заполнения ) Пк , а после эксперимента в результате взаимодействия с нейтроном кристалл оказывается в состоянии с числами заполнения пи . Б силу сохранения энергии должно выполняться соотношение [c.99]

Под состоянием с фононными числами заполнения мы понимаем такое состояние, в котором присутствуют пка фононов типа к , т. е. к -я нормальная мода пребывает в своем П]с8-м возбужденном состоянии. [c.99]

Некоторые типичные распределения нейтронов показаны на фиг. 24.4. Обратите внимание, что, хотя однофононные максимумы обычно хорошо различимы, они не являются бесконечно узкими, как можно было бы предположить, исходя из нашего анализа. Это происходит потому, что реальные кристаллы не идеально гармоничны. Получаемые в гармоническом приближении стационарные состояния являются всего лишь приближенными даже если реальный кристалл находится в некоторый момент времени в одном таком состоянии (характеризуемом определенным набором фононных чисел заполнения), то со временем он обязательно перейдет в суперпозицию других состояний (с иными фононными числами заполнения). Если, однако, гармонические стационарные состояния представляют собой достаточно хорошее приближение к точным стационарным состояниям, их распад может быть достаточно медленным тогда для описания процессов, происходящих в кристалле, можно по-прежнему пользоваться представлением о фононах при условии, что фононам будут приписаны определенные конечные времена жизни, учитывающие неизбежный распад приближенного гармонического состояния. Со временем жизни т фонона связана неопределенность Й/т его энергии. Закон сохранения энергии, определяющий положение однофононных максимумов, будет тем самым ослаблен. [c.104]

Фононные числа заполнения начального и конечного состояния совпадают, за исключением следующих изменений к — 17 + 1 и ггк в - Пк з" + 1- Очевидно, такой переход можно рассматривать как событие, в котором фонон 5-й ветви с волновым вектором к распадается на два фонона с волновыми векторами к и к" и номерами ветвей з и з". [c.125]

Фононные числа заполнения начального и конечного состояния совпадают, за исключением следующих изменений Пк п в — 1 и п св" - П "в" -Ь 1. Подобный переход можно считать событием, в котором два фонона с волновыми векторами кик и номерами ветвей их сливаются, образуя один фонон ветви "с волновым вектором к". [c.125]

При последующем обсуждении мы не пользуемся никакими конкретными характеристиками ангармонических членов, за исключением тех их свойств, которые выражаются законами сохранения энергии и квазиимпульса ). Если фононные числа заполнения были равны до перехода и стали равны п з после него, то из закона сохранения энергии вытекает требование [c.126]

Оператор 5 никоим образом не связан с оператором суммарного импульса ионов Р = 2Р (К), а определяется ) как оператор, имеющий те же собственные состояния, что и гармоническая часть ионного гамильтониана. При этом его собственное значение в состоянии с фононными числами заполнения задается формулой [c.377]

Рассеяние нейтронов в диэлектрике. Предположим, что в начале эксперимента кристалл описывается собственным состоянием гармонического гамильтониана с фононными числами заполнения Пк а нейтрон находится в состоянии с действительным значением импульса р, которое удовлетворяет равенству [c.379]

Здесь начальное и конечное состояния системы электрон поле излучения определяются заданием квантовых чисел, описывающих состояние электрона, а также чисел заполнения фотонных состояний (в данном случае индексом отмечено одно из фотонных состояний с энергией Й(01=ез—el). Если в переходе участвуют также и фононы, то надо указать дополнительно числа заполнения фононных состояний. В дальнейшем полный набор квантовых чисел, определяющий некоторое т-е состояние рассматриваемой системы, будем обозначать для краткости как R , а энергетические состояния системы — как Wm- [c.285]

Это и есть приближенный закон Дебая С Т". При достаточно низких температурах он соблюдается вполне хорошо, поскольку в этой области температур возбуждены лишь колебания акустической ветви, отвечающие длинным волнам. Это именно те колебания, которые можно трактовать как упругие колебания непрерывной среды (континуума), описываемые макроскопическими упругими постоянными. Энергии коротковолновых фононов слишком велики, чтобы они в сколько-нибудь заметном числе могли заселять соответствующие уровни при низких температурах. На языке выражения (1.31) это эквивалентно тому, что число заполнения фононов небольшое. [c.41]

На рис. 1.23 показана динамика внутренних состояний иона для трёх начальных квантовых состояний колебательного движения. В частности, представлена зависимость от времени вероятности найти атом в основном состоянии, если первоначально он был в основном состоянии, а фононы находились в состоянии с определённым числом заполнения (наверху), в тепловом состоянии (посередине) и в сжатом состоянии (внизу). Сплошная линия изображает предсказание обоб-ш,ённой модели Джейнса-Каммингса-Пауля. [c.45]

Здесь N д — число заполнения фононов [c.76]

Начальное состояние а> и конечное состояние е> мы будем характеризовать числами заполнения n. и п., электронных состояний, участвующих в переходах, и числами п , фононных состоянии [c.198]

Соответствующее уравнение Больцмана можно записать и для системы фононов. Из среднего числа заполнения Пд мы определим функцию распределения фононов g. Ее равновесное значение ga есть распределение Бозе (31.19). При наличии температурного градиента функция распределения g может оказаться зависящей от пространственной координаты g = g(r,q,i). Аналогично выражению (52.2), находим [c.210]

Обратимся теперь к обоим столкновительным членам уравнения Больцмана в (52.2) и (52.5). Они описывают изменение числа заполнения электронных состояний или соответственно изменение числа фононов одного нормального колебания решетки. Оба члена являются суммами или разностями вероятностей перехода, рассмотренных в (49.14). Мы записываем вероятности перехода для электронов в виде [c.210]

Для того чтобы перейти к столкновительному члену, надо числа заполнения фононов п для отдельных процессов в (91.2) заменить на среднестатистическое п, т. е. на функцию распределения д. Мы разделим функцию распределения на равновесную часть (бозе-распределение (ехр(Асо / аГ)-1)" ) и отклонение Ьд. [c.354]

При вычислении (бН/) нас будут интересовать только те слагаемые в правой части (2.81), которые диагональны по числам заполнения фононов n . Другие слагаемые описывают переходы между состояниями с различными числами фононов и не дают вклада в сумму состояний. [c.57]

В отличие от этого при низких температурах становится весьма существенным квантовый характер фононных процессов. Он проявляется прежде всего в резком уменьшении соответствующих матричных элементов. Числа заполнения [c.345]

Ландау [55] предполагал, что вблизи абсолютного нуля Не II может протекать вдоль стенки без какого бы то ни было трения, если только относительная скорость течения меньше скорости звука с. Чтобы понять это предположение, надо рассмотреть движение некоторого постороннего тела со скоростью у в покоящейся жидкости. Поскольку единственными возможными возбуждениями в жидкости являются фононы, то энергия и импульс могут передаваться жидкости только путем а) возбуждения новых фонОнов и б) рассеяния уже существующих фононов. Предположим, что энергия передается путем возбуждения группы фононов, характеризуемых числами заполнения [c.450]

Разность со — О) = о)о много меньше, чем со или со, поэтому при интегрировании всюду можно считать со = со, за исключением малой части фононного спектра. Если числа заполнения п ш п п заменить их равновесными значениями (IX.76), то мы получим [c.378]

Этот результат имеет очень простую структуру. Первое слагаемое (единственное, остающееся при Г = 0) представляет собой взятую с обратным знаком производную по объему от энергии основного состояния. При отличных от нуля температурах его следует дополнить взятой с обратным знаком производной по объему от фононных энергий, причем вклад от каждого фононного уровня берется с весом, равным его среднему числу заполнения. [c.118]

Однако в термодинамически равновесном состоянии со средними числами заполнения фононов [c.130]

Функции распределения —числа заполнения квантовых состояний электронов и фононов п (р) и Л (к) (главы VII, IX — XI) по импульсам везде отнесены к р/(2лЙ) . [c.11]

Функция распределения фононов (или N (к)) будет определяться как числа заполнения квантовых состояний с различными значениями квазиимпульса к. Число состояний, приходящих на элемент к-пространства, есть (РкК п) , так что распределение, отнесенное к <Рк, есть Л Д2л) , [c.345]

При высоких температурах, когда числа заполнения фононных состояний велики, установление равновесия в каждом элементе объема фононного газа (фонон-фононная релаксация) происходит очень быстро. По этой причине при рассмотрении электро- и теплопроводности металла можно считать фононную функцию распределения равновесной, т. е. положить в интегралах столкновений х = 0 (к количественной оценке х мы вернемся еще в конце параграфа). Другими словами, достаточно рассматривать кинетическое уравнение лишь для электронов. [c.404]

Мы хотим видоизменить гампльтониап, введя координаты фононов, чтобы представить движение ионов, и введя числа заполнения системы функции Блоха для представления ]юлповой функц - электрона. Преобразованный гамильтониан будет тогда содержать операторы ро/Кден]ш и поглощения электронов. [c.758]

Остановимся кратко на некоторых попытках улучшить уравнение Левинсона. На первый взгляд источником проблем является незатухающая память в интеграле столкновений (4.5.14), благодаря которой скорость изменения одночастичной функции распределения в момент времени t зависит от всей предыстории процесса. Поскольку квазичастицы в реальных системах имеют характерное время жизни г ,, ядро в немарковском интеграле столкновений должно затухать за время t — t т . Качественно этот эффект можно учесть, вводя обрезающий множитель ехр — t — t )/т в интеграл столкновений Левинсона [94]. В численных расчетах было обнаружено, что решения улучшенного уравнения Левинсона ведут себя на больших временах более устойчиво (в частности, исчезают отрицательные значения /) и наблюдается переход к марковскому режиму, но, тем не менее, при t оо функция распределения не стремится к равновесной. Дело в том, что введение квазичастичного затухания в интеграл столкновений Левинсона нарушает закон сохранения энергии ). Поэтому с течением времени растут числа заполнения возбужденных состояний, т. е. происходит нефизический перегрев системы. Хаг и Баньян [93] предложили феноменологическое ядро в интеграле столкновений Левинсона для электрон-фононной системы, которое приводит к более разумному поведению функции распределения электронов в марковском пределе. Стационарное решение кинетического уравнения оказалось близким к распределению Ферми, однако точного равенства этих функций достигнуто не было. Впрочем, подбор модельных выражений для ядер в интеграле столкновений Левинсона нельзя рассматривать всерьез как преодоление трудностей немарковской кинетики. Можно показать, что любое улучшение уравнения Левинсона в этом направлении ведет к нарушению закона сохранения энергии, причем стационарное решение не совпадает [c.313]

Отметим интересную особенность поскольку энергия фотона для случая, показанного на рис. 23, йю =13 мэВ < йсо о, реальный переход электрона сопровождается уменьшением его энергии Ef = Efj +п(о- nonQ. Поскольку электронный газ при низких температурах вырожден, состояния, находящиеся выше уровня Ферми, свободны, а находящиеся ниже — заполнены. Таким образом, поглощение с участием фононов должно отсутствовать. Действительно, при низких температурах поглощение определяется в основном рассеянием на примесях и несовершенствах интерфейса и падает с ростом температуры. При дальнейшем увеличении температуры резкий край распределения Ферми размывается и становятся возможными оптические переходы с участием фононов, которые и начинают доминировать при температуре порядка 200 К. При этом также растет и число заполнения фононов Ng, что приводит к увеличению интенсивности переходов с поглощением фононов и дополнительному росту поглощения. Следует обратить внимание на большие значения коэффициента поглощения, сравнимые с величинами, наблюдающимися при межподзонном поглощении. [c.79]

Каждому состоянию, определяемому парой /, д, соответствует некоторое число заполнения фононами Лу( ) с энергией 1ылJ(д). Вклад одного такого состояния (одного нормального колебания) в полную энергию равен nJ (g)1UлJ g), а полная энергия (включая нулевую энергию) будет [c.139]

Квадраты матричных элементов отличаются для всех восьми частичных процессов только числами заполнения фононов п, и п... Для рассматриваемого фонона мы положим в первых четырех процессах рис. 102 л, = 1, для четырех остальных —п,=0. Мы можем объединить частичные процессы в пары, четыре из них— с множителем (п, -Ь 1)(п - -1) —п,п. = п,- -п -Ь 1, четыре других— в пары с мнол<ителем н, (п 1) —(п,-г 1) л, —/г.- Тогда в целом получим (включая не определенный нами численньи" [c.346]

Как указывалось в начале параграфа, эффективный гамильтониан правильно описывает в том же приближении и возбужденные состояния, лежащие непосредственно над основным состоянием. Из (19.54) можно видеть, что возбужденные состояния характеризуются числами заполнения > 5 = 0, 1, 2,. .. невзаимодействующих элементарных возбуждений с энергиями (к/2т) YW +лШajv. При очень малых к энергии возбуждений равны (й/2т) 1/ 16ла/х>. Следовательно, эти возбуждения являются фононами. Скорость звука для очень длинных волн (А -> 0) есть [c.466]

Разность О) — = Шо много меньше, чем ш жли поэтому прж интегрировании всюду момно считать ш = <и, за исклюэднжем малой части фононного спектра. Если числа заполнения п и к w заменить ИХ равновесными значениями (IX.76), то мы получим [c.378]

Вероятности испускания или поглощения фонона в трехфо-ионном процессе даются формулами (66,9) или (66,11). При этом числа заполнения Ni = N(ki) и N N(k ) даются равновесной функцией распределения Планка (67,9). Макроскопическая же звуковая волна соответствует очень большому числу заполнения заданного фононного состояния f до сравнению с этим числом единицей можно, конечно, пренебречь. Опустив множитель N (t), мы получим вероятность, отнесенную к одному звуковому кванту. [c.372]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...