Медленное движение сферы

Медленное движение сферы. Рассмотрим теперь задачу [c.504]

МЕДЛЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СФЕРЫ [c.505]

Строгое аналитическое решение задачи о движении сферы в реальной (вязкой) жидкости было получено лишь применительно к условию Re 1, т.е. для весьма медленного обтекания жидкостью сферы малых размеров. Впервые эта задача была решена еще в 1851 г Стоксом, который ввел для анализа специальную функцию тока. Здесь будет представлен другой метод решения [26]. [c.191]

Необходимо также отметить применение уравнений медленного течения в гидродинамической теории смазки. Исследование относительного движения двух близко расположенных параллельных поверхностей было начато Рейнольдсом [25]. Развитые им методы применялись с тех пор в разнообразных задачах теории смазки [14]. В дополнение к пренебрежению инерцией принимается, что течение жидкости существенно одномерно. Такие же упрощения применялись также, например, к исследованию аксиального движения сферы в круглой трубе, заполненной вязкой жидкостью, в случае, когда диаметр трубы ненамного больше диаметра сферы [8], и для вязкого течения в зазоре между параллельными круговыми цилиндрами в случае, когда зазор между ними мал по сравнению с их диаметром [17]. В первом случае наблюдается хорошее согласие эксперимента с теорией. Имеется также много других аналогичных применений данной теории. [c.76]

В представленном здесь анализе рассматриваются две концентрические сферы внутренняя сфера радиуса а представляет собой твердую частицу, а на поверхности внешней сферы радиуса Ъ нет трения. Краевая задача, которую нужно решить, состоит в удовлетворении уравнений медленного движения при соответствующих граничных условиях. Уравнения движения имеют, таким образом, вид [c.447]

Данные табл. 8.4.2 позволяют сравнить значения постоянной Козени, вычисленные из предыдущего соотношения и из соотношения (8.4.11) для облака сферических частиц. Использовать для этой цели отношение U/Uq невозможно, так как нет решения уравнений медленного движения для одного цилиндра, падающего в неограниченной среде параллельно или перпендикулярно своей оси. Хотя значения постоянной Козени для сфер в интервале е от 0,4 до 0,8 лежат между ее значениями для течения, параллельного и перпендикулярного к цилиндрам, при более высоких порозностях постоянная Козени для сфер выше, чем [c.456]

Приведем пример пространственного движения смазки в сферическом подшипнике, сделав те же предположения, что и раньше, о медленности движения смазки в полости между вращающейся внутренней сферой и непо- [c.417]

Медленное обтекание сферы. Пусть твердая сфера радиуса а неподвижно расположена в равномерном установившемся потоке несжимаемой жидкости скорость потока направлена по отрицательной оси х. Если пренебречь квадратичными членами в уравнении движения, то функция тока должна удовлетворять (см. п. 19.61) уравнению [c.549]

Медленное вращение сферы. Рассмотрим теперь движение вязкой жидкости, вызываемое медленным вращением погруженной в жидкость сферы радиуса а около своего диаметра, причём угловая скорость вращения равна . Так как за характерную скорость в этом случае мы можем принять линейную скорость ша точек экватора сферы, то за число Рейнольдса можно взять iud й [c.502]

При экспериментальном исследовании движения сферы в горючей смеси 5] обнаружено, что образующаяся перед сферой детонационная волна расщепляется на некотором удалении от тела на обычную ударную волну и фронт медленного горения. В работе [6] изложены соображения, позволяющие объяснить это явление и в некоторых случаях - заранее предсказывать его наступление. [c.54]

Отметим на сфере небесной точку е — полюс эклиптики, и р — полюс экватора, или, что то же, полюс мира. Оказывается, что полюс эклиптики е имеет весьма медленное движение, как уже сказано, около 50" в столетие, полюс же мира оставаясь в среднем в постоянном расстоянии от полюса [c.101]

К числу известных задач, которые решаются в таком приближении, относится задача о плоском течении очень вязкой жидкости между двумя пластинками, о медленном движении малой сферы (задача Стокса) [1—2]. Решение, соответствующее последней задаче, приводит к известной формуле Стокса для силы сопротивления, которую испытывает сфера в вязкой жидкости [c.23]

Решение уравнения движения несжимаемого ламинарного пограничного слоя на теле вращения с тупой носовой частью давно было решено, а, зная скорости в пограничном слое, можно легко рассчитать положение точки отрыва потока. Цель настоящей статьи заключается в определении влияния вращения вокруг оси симметрии на положение точки отрыва. С тем, чтобы можно было пренебречь эффектом сжимаемости, рассматривается только медленное вращение, причем берется частный случай (сфера), приводящий к некоторым упрощениям в результирующих уравнениях. [c.114]

Помимо уверенности в том, что используемые нами методы приводят к удовлетворительным приближенным решениям уравнений медленного течения, желательно знать, в какой степени предсказываемые результаты могут быть реализованы физически. Для случая двух взаимодействующих сфер в настоящее время имеются обширные данные, указывающие на хорошее согласие с теорией. Этот вопрос важен для обеспечения более прочной основы при последующих исследованиях более сложных ансамблей. Как уже отмечалось ранее, движение двух сфер распадается на две задачи [c.315]

Еще одна тема заслуживает рассмотрения. Именно при использовании уравнений медленного течения предполагалось, что сопротивление будет таким же, как при установившемся движении частиц. Этого условия всегда можно добиться в случаях, когда частицы имеют почти одинаковый размер. Когда же сферы неодинаковы, то для получения точных результатов следовало бы учесть ускорение частиц и жидкости. Для одиночных частиц это можно сделать, следуя Ландау и Лифшицу (ссылка [35] в гл. 2). [c.327]

Решение данной задачи при помощи уравнений медленного течения не обнаруживает наличия каких-либо боковых сил, которые стремились бы переместить сферу перпендикулярно оси трубы. Однако в любой реальной ситуации должны существовать силы Бернулли , стремящиеся сообщить сфере такое движение. Отсутствие боковых сил есть характерный недостаток уравнений медленного течения, вытекающий из пренебрежения инерцией в исходных уравнениях движения. [c.363]

Ландау и Лифшиц [40] рассматривают медленное течение жидкости, заключенной в пространстве между двумя концентрическими сферами радиусов и аз соответственно а Обе сферы равномерно вращаются вокруг, вообще говоря, различных диаметров с угловыми скоростями Wi и (Og. Угловое число Рейнольдса pa o/iLi предполагается малым по сравнению с единицей. Благодаря линейности соответствующих уравнений задачу можно решить путем суперпозиции двух движений, получаемых, когда одна сфера покоится, а другая вращается. Поле давлений равно нулю, поле скоростей имеет вид [c.403]

Как было отмечено ранее, подобные эффекты, когда не существует предпочтительных ориентаций или положений, являются следствиями уравнений медленного течения. Так, для случая поступательно движущегося эллипсоида (см. разд. 5.11) было найдено, что момент, действующий на эллипсоид, равен нулю независимо от его ориентации по отношению к направлению его движения в жидкости. Аналогично сфера, расположенная эксцентрично внутри цилиндра и оседающая параллельно его оси [c.528]

Впервые взаимодействие непосредственно между частицами было исследовано в работе [599], автор которой принял во внимание факт, что относительное движение двух сфер в жидкости, как правильно отмечается в работе [4511, вызывает силу взаимодействия даже при потенциальном движении. Используя кинетическую аналогию, Пескин [599] ввел потенциал взаимодействия. Вследствие сложности результатов их непосредственное использование вызывает затруднения. В работе [3091 выполнено подробное исследование взаимодействия частиц при медленном движении. Марбль [516] исследует силы взаимодействия между частицами, пренебрегая влиянием жидкости на процесс столкновения. Определенная таким образом сила взаимодействия во много раз больше ожидаемой, как это можно видеть по вычисленной выше доле сталкивающихся с мишенью частиц. [c.216]

Асимптотическое поведение ВКФС для больщих времен в случае системных твердых сфер определяется функцией а в случае системы твердых дисков t . В силу того что эти функции уменьшаются очень медленно, движение имеет коллективную природу, и для его описания можно использовать законы гидродинамики. Это было подтверждено и непосредственным чис- [c.193]

Эффекты, проявляющиеся в случаях, когда число Рейнольдса мало, но не настолько, чтобы его влиянием можно было пренебречь, можно выявить, применяя методы, аппроксимирующие инерционные члены в уравнениях Навье — Стокса. Первая попытка в этом направлении принадлежит Уайтхеду [63], который в 1889 г. пытался распространить решение Стокса для поступательного движения сферы на более высокие числа Рейнольдса, используя схему регулярных возмущений. Уайтхед предположил, что стоксово решение уравнений медленного течения [c.60]

Единственное точное решение подобного рода задачи о многих частицах было дано Стимсоном и Джеффри [301 для медленного движения двух сфер параллельно их линии центров (осесимметричное течение). Они использовали систему биполярных координат (см. разд. А.19), которая является единственной системой, где возможно одновременное удовлетворение граничных условий на двух сферах, расположенных одна вне другой. Для большего числа частиц, а также для пары несферических частиц в общем случае невозможно найти систему координат, обладающую подоб ным свойством. Попытаемся поэтому найти некоторую регулярную схему последовательных итераций, при помощи которой краевую задачу можно было бы решить в любом приближении, рассматривая каждый раз граничные условия только на одной из частиц. [c.272]

Кинч [22] также получил выражения для скорости каждой из двух сфер, медленно движущихся в вязкой жидкости под действием внешних сил. В некотором отношении его метод подобен методу Вакии, поскольку он, как и Вакия, также выражает решения для второй сферы непосредственно в координатах, связанных с центром первой сферы. Однако вместо сферических гармоник он использует представление решения через производные фундаментального решения. В результате получается бесконечная система уравнений, связывающих неизвестные константы, которая решается методом последовательных приближений. Для задач о движении сфер под действием сил, направленных соответственно вдоль и перпендикулярно линии центров, решение доведено до числовых значений. [c.309]

Для двух сфер при малых числах Рейнольдса Озеен [26] предложил исследование, в котором он просто использует решение Смолуховского для двух сфер, участвующих в медленном движении, но при оценке взаимодействия частиц подставляет вместо стоксовых полей скорости соответствующие озееновы поля. Для двух равных сфер, движущихся одна вслед за другой вдоль оси z, сила, действующая на жидкость со стороны опережающей сферы, дается Озееном в виде [c.325]

Вакия [63] рассматривал случай неустановившегося движения сферы параллельно плоской стенке, когда течение можно описать при помощи уравнений медленного течения в нестационарной форме [c.408]

Более сложные проблемы возникают в случаях, когда необхо-димЪ рассматривать как гидродинамические силы, так и силы, возникающие при соприкосновении частиц. Точный теоретический анализ таких проблем сложен. Пример встречающихся задач можно найти в работе [18], посвященной механике движения дискретных сферических частиц под действием мелких волн на малой глубине. Теоретический анализ проводится при помощи рассмотрения сил, действующих на одиночную сферическую частицу, покоящуюся на наклонном дне, причем предполагается, что верхний слой частиц состоит из сфер одинакового диаметра. Уравнение, полученное в результате этого анализа, было проверено экспериментально. Одно из интересных гидродинамических следствий заключается в том, что наличие границы (а именно поверхности дна) способствует, по-видимому, усилению роли вязких сил, приводя к так называемому линейному закону сопротивления, характерному для уравнений медленного движения, который в данном случае выполняется вплоть до 100. [c.483]

Как и в случае течения в упакованных слоях, теоретическое рассмотрение процесса псевдоожижения при высоких числах Рейнольдса все еще оказывается невозможным. В задачах седиментации, конечно, высокие числа Рейнольдса при больших концентрациях частиц обычно не наблюдаются. Чтобы понять фундаментальные гидродинамические особенности псевдоожиженных систем, Фейон и Хаппель [28] изучали течение жидкости вокруг одиночной сферы, помещенной в круговом цилиндре. Они нашли, что в интервале чисел Рейнольдса, построенных по скорости набегания потока и диаметру сферы, от 0,1 до 40, падение давления, вызванное наличием сферы, и действующая на нее сила трения могут быть представлены полуэмпирическими выражениями, состоящими из двух членов. Первый из них связан с наличием цилиндрической стенки, ограничивающей поток, и может быть получен теоретически из уравнений медленного движения, в которых инерционными эффектами пренебрегается. Второй член, обусловленный инерционными эффектами, может быть получен из данных, относящихся к однородному обтеканию сферы неограниченной средой (см. уравнение (7.3.110)). [c.491]

Результаты представлены на рис. 12.6—12.11. Движению сферы соответствует сплошная кривая, движению среды — штрихпунк-тирная. Скорость смещения показана на рис. 12.6 (р==1), 12.7 (р = 2), 12.8 (р==0,5) и 12.10 (р = 1, Я.0 = 0,3 1, 0). Как видно из рис. 12.6—12.11, скорость движения сферы при р=1 почти совпадает со скоростью среды без включения по истечении отрезка времени =1,5, начиная с момента начала взаимодействия. Если сфера менее плотная, чем среда (р = 2), требуется больше времени на то, чтобы сфера начала двигаться так же, как и невозмущенная среда. Для тяжелой сферы (р = 0,5) скорость движения растет медленнее, чем при р= 1 2. [c.298]

Начиная с пятидесятых годов нашего столетия, в связи с появле-д ием возможности использования быстродействующих электронно-счет-лых машин, по-новому встал вопрос о строгих численных решениях уравнений Навье — Стокса В первую очередь были проведены численные расчеты стационарного и нестационарного обтекания кругового цилиндра, сферы и пластины. Вместе с тем были продолжены поиски аналитических решений линеаризованных уравнений Навье — Стокса, относящихся к так называемым медленным движениям вязкой жидкости. [c.509]

Приведем пример пространственного движения смазки в сферическом подшипнике, сделав те же предположения, что и раньше, о медленности движения смазки в полости между вращающейся внутренней сферой и неподвижной внешней, что ho3Bojhit откинуть нелинейные члены в уравнениях Стокса, и о сравнительно малом поперечном к потоку размере полости ). [c.515]

В рассматриваемой задаче предельный цикл — замкнутая фазовая траектория в четырехмерном фазовом пространстве Xi, х , Уи уз — проектируется на отрезок 12 биссектрисы лгз = — Xi плоскости xi,x , в силу чего этот отрезок пробегается изображающей точкой Xi, то в одном, то в другом направлении. Однако можно сделать так, чтобы разрывные периодические колебания отображались движением изображающей точки по обычному предельному циклу на некоторой фазовой поверхности, если только соответствующим образом выбрать вид этой поверхности (вместо фазовой плоскости). Мы видели, что, попадая на замкнутую кривую I (рис. 580), изображающая точка перескакивает на кривую Г, после чего траектории медленных движений заключены в области между этими двумя кривыми. Считая точку а тождественной А, точку Ь тождественной Z и т. д., т. е. спрессовывая в точки отрезки траекторий скачков, мы сможем отобразить эту область (взаимно однозначно и непрерывно) на поверхность шара. Разрывные автоколебания при этом отобразятся предельным циклом (например, экватором). Кроме того, на сфере мы получим две особые точки (два неустойчивых узла), расположенные по разные стороны цикла (например, на полюсах) и соответствующие точкам касания кривых Г и Г. После такого отображения сразу видно, что в мультивибраторе не может быть квазипериодических колебаний (такие колебания могли бы существовать только тогда, когда фазовая поверхность — тор). Не может быть также и периодических движений изображающей точки по замкнутой траектории, дважды охватывающей шар. А priori эти результаты не очевидны. [c.853]

Уравнение (6.34) справедливо в случае медленного относительного движения или высокой концентрации твердых частиц. Эти определения становятся более понятными при рассмотрении передачи количества движения от частиц к жидкости. Заметим, что, согласно уравнению (6.34), дискретная фаза считается сплошной средой, т. е. количество движения передается не только от газа к частицам, но и наоборот. Следовательно, в диффузоре, где частицы тормозятся, они также вносят вклад в повышение давления. Очевидно, это не всегда так. Фрёсслинг [686] показал, что даже при ламинарном режиме относительного движения перед отрывом толщина пограничного слоя б потока около сферы (фиг. 2.2) определяется по соотношению [c.279]

Мы уже говорили, что Землю можно рассматривать как волчок, ось которого прецессирует относительно нормали к эклиптике (это движение известно в астрономии под названием предварения равноденствий). Если бы Земной шар был однородным телом, имеющим форму правильной сферы, то другие тела солнечной системы не могли бы действовать на него с некоторым гравитационным моментом. Однако Земля немного сплюснута у полюсов и слегка выпучена у экватора. Поэтому на нее действует гравитационный момент (главным образом со стороны Солнца и Луны), что заставляет ось Земли прецессировать. Момент этот весьма мал, и поэтому прецессия Земной оси оказывается исключительно медленной период ее составляет 26000 лет, в то время как период ее собственного вращения равен всего одним суткам. Полный гравитационный момент, действующий на Земной шар, не является постоянным, так как моменты Солнца и Луны имеют несколько различные направления по отношению к эклиптике и изменяются, когда Земля, Солнце и Луна движутся друг относительно друга. В результате этого в прецессии Земли появляются некоторые неправильности, называемые астрономической нутацией. Ее, однако, не следует путать с истинной нутацией, рассмотренной выше, которая имеет место и тогда, когда момент вызывается постоянной силой. Клейн и Зоммерфельд отмечали, что истинная нутация выглядит так же, как прецессия оси вращения Земли относительно ее оси симметрии при отсутствии сил (мы рассматривали ее в предыдущем параграфе). Земля, по-видимому, начала вращаться с начальным значением ф, значительно брльшим того, которое требуется для равномерной прецессии, и поэтому ее нутация выглядит [c.197]

Поступательное движение жидкой сферы было впервые рассмотрено независимо Рыбчинским [31] и Адама ром [13]. Поверхностное натяжение, действующее на поверхность раздела двух несмешиваемых жидкостей, стремится сохранить сферическую форму и противодействует сдвиговым напряжениям, стремящимся деформировать ее. Если движение достаточно медленное или капля достаточно мала, она будет оставаться сферической, по крайней мере в первом приближении ). [c.149]

Ивсон и др. приводят также данные для сфер, падающих при различных углах между линией центров и горизонтальной плоскостью. Хотя эти данные и не столь обширны, как для случая падения сфер вдоль и перпендикулярно линии центров, они находятся в хорошем согласии с теоретической предпосылкой о том, что такое движение может быть определено как суперпозиция этих двух предельных случаев. Итак, показано, что общие теоретические выражения, выведенные из уравнений медленного течения, [c.318]

В этом разделе рассматривается медленное поступательное движение одиночной сферической частицы параллельно образующей бесконечно длинного кругового цилиндра, через который может протекать вязкая жидкость. Сфера может занимать любое наперед заданное положение. В рамках первого приближения был разработан [6] общий метод, использующий процедуру отражений. Хаберман [27] и др. исследовали более подробно осесимметричный случай, когда центр сферы лежит на оси цилиндра. Эти решения кратко рассмотрены в конце раздела. Нужно отметить, что здесь рассматривается случай, когда сфера не может вращаться в процессе движения. Так как здесь учитываются только поправки первого порядка, то влияние вращения на силу сопротивления будет незначительным. [c.342]

Фамуларо [14] также рассматривал случай сферической частицы, осаждающейся внутри сферического контейнера, используя метод отражений. Первое отражение было получено для случая, когда частица может занимать любое положение внутри контейнера. Для этого было использовано решение Ламба [39] уравнений медленного течения в сферических гармониках (см. разд. 3.2), а также преобразования координат, подобные тем, которые обсуждались выше в этом разделе. Для облегчения расчетов мгновенное движение частицы в произвольной точке разлагалось на (а) дви> жение по направлению к центру сферического контейнера и (б) движение в перпендикулярном направлении. В частном случае, когда движение осесимметрично, можно получить точное решение в биполярных координатах для любого отношения радиусов внутренней и внешней сфер. [c.369]

Хаппель и Аст [32] исследовали осевое движение жесткой сферы в цилиндре без трения на стенках на основе уравнений медленного течения. Теоретический анализ следует анализу, используемому Хаберманом. Исследовались отношения радиусов сферы к радиусу цилиндра от О до 0,7. Решение задачи строилось в предположении, что скорость сдвига жидкости у стенок цилиндра всюду равна нулю. Эта модель обсуждается далее, в разд. 8.4, как основа для теоретических исследований ансамблей частиц. [c.370]

Гильдьял [26] рассматривает неустановившееся медленное течение вязкой жидкости, содержащейся между двумя концентрическими сферами. Например, один из рассмотренных случаев состоит в том, что внешней сфере мгновенно сообщается вращательное движение, после чего она вращается с постоянной угловой скоростью, в то время как внутренняя сфера остается неподвижной. Общее решение уравнений неустановившегося медленного течения для несжимаемой жидкости получается путем применения методов интегральных преобразований. Спустя достаточно долгое время в решении начинают преобладать стационарные члены, и оно сводится к решению, получаемому из (7.8.18). [c.404]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...