Краевая задача в нулевом приближении

Обсудим теперь вопрос о потере устойчивости по формам, описываемым функцией (2.3), в случае, когда на срединной поверхности нет сжимающих усилий однако имеются значи-тельные усилия сдвига S. Итак, пусть 2" усилие таково, что t имеет порядок, не меньший Не исключаем из рассмотрения и случай Относительно усилия предположим, что его порядок не превосходит порядок усилия Краевая задача в нулевом приближении (2) имеет вид [c.142]

Для цилиндрической оболочки краевая задача в нулевом приближении (2.9) принимает вид [c.143]

Следуя выкладкам 8.1, получим, что краевая задача в нулевом приближении состоит из уравнений (1.4) и граничных условий [c.168]

Условия (3) могут быть одного из видов (4.13) — (4.16), (4.25), причем во всех случаях краевая задача в нулевом приближении является самосопряженной. [c.168]

Замечание 8.3. Здесь получена формула для параметра на-гружения Л = Лр + е + е +. .., в которой старшее слагаемое Ар определяется при решении краевой задачи в нулевом приближении, слагаемое е учитывает локализацию формы потери устойчивости в окрестности наиболее слабой образующей. Для граничных условий, входящих в одну группу, первые два 172 [c.172]

Краевая задача в нулевом приближении состоит из урав-нений [c.173]

Краевая задача в нулевом приближении [c.201]

Учитывая постановку краевой задачи для нулевого приближения [соотношения (3.1.108)-(3.1.116)], а также уравнения и граничные условия для первого приближения, можно записать постановку задачи для нулевого и первого приближений в общем виде следующим образом [c.63]

Записывая условия (8.22) для всех т точек контакта и заменяя входящие в них смещения соотношением (8.23), получим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных давлений, кинематических перемещений и размеров площадки контакта. Отметим, что размеры площадки контакта находятся с учетом краевых условий для контактных задач по методу последовательных приближений. В нулевом приближении можно [c.158]

Рассмотрим краевую задачу, возникшую в нулевом приближении [c.136]

Взяв Nz согласно (1), запишем краевую задачу (2.9) в нулевом приближении в виде [c.141]

Пусть на краю s = заданы условия u-v = 0, а на краю 5as 5 — условия v-T O, Как и в 11.3, в нулевом приближении приходим к краевой задаче (3.1) с граничными условиями (ЗЛ4), (3.15). Однако в связи с тем, что и [c.221]

В отличие от предыдущих глав здесь предполагается что начальное напряженно-деформированное состояние оболочки является суммой безмоментного состояния и краевого эффекта. При этом предполагается, что оболочка является достаточно длинной и взаимным влиянием краевых эффектов можно пренебречь. В тех случаях, когда влияние моментных начальных усилий и докритических деформаций невелико, найден порядок этого влияния на критическую нагрузку. Если же влияние этих факторов существенно, для определения параметра нагружения в нулевом приближении построена эталонная краевая задача, не содержащая относительной толщины оболочки. [c.289]

После подстановки выражений (3.1.51) или (3.1.52) в уравнения равновесия (3.1.9), (3.1.10) и граничные условия (3.1.15), (3.1.17) для нулевого приближения постановка краевой задачи в перемещениях для этого приближения может быть записана следующим образом [c.56]

Чтобы записать уравнения и граничные условия краевой задачи для первого приближения в виде, аналогичном (3.1.53)-(3.1.61), представим для первого приближения поправки для всех величин, характеризующих напряженно-деформированное состояние, в виде суммы линейного оператора от вектора перемещений для этого приближения и квадратичного оператора от векторов перемещений для нулевого приближения. Для каждой величины ту часть поправки, которая не зависит от вектора [c.57]

Тогда, подобно задачам упругости, постановка краевой задачи в перемещениях для нулевого приближения может быть записана следующим образом [c.108]

Метод интегральных уравнений позволяет установить корректность гармонических задач в классе непрерывных краевых условий, когда граничная поверхность (или поверхности) принадлежит классу Ляпунова. Действительно, из установленной сходимости метода последовательных приближений будет следовать, что при заданной точности решения можно ограничиться определенным числом итераций и тогда задача сведется к вычислению конечного количества интегралов. Малые же изменения нулевого приближения (правой части) приведут соответственно к малым изменениям решения интегрального уравнения. [c.107]

Получается неоднородная краевая задача, где правая часть является решением краевой задачи нулевого приближения. Далее алгоритм повторяется при резком возрастании громоздкости решения. Таким образом, можно представить решение задачи в виде ряда по малому параметру для коэффициента Н [c.446]

Известные методы решения [62, 172, 296] стохастической краевой задачи (4.9) основаны на разложении коэффициентов ,jf /(r) и искомого поля перемещений и, (г) на осредненные и пульсационные составляющие. При этом, нулевым приближением для поля является осредненное решение (и,(г)). В работе [62] и других было показано, что корреляционные функции упругих свойств матричных композитов имеют область отрицательных значений. Существование области отрицательных значений установлено и для корреляционных функций квазипериодических композитов. Наличие области отрицательных значений есть признак присутствия периодических составляющих в соответствующих случайных полях [32]. Поэтому ниже на примере решения задачи (4.9) рассмотрим метод периодических составляющих, основанный на выделении из коэффициентов Qj/ei(r) и искомого [c.72]

В 7.3 безмоментная теория была определена как приближенный метод исследования оболочек, базирующийся на возможности выделить построение основного напряженного состояния в самостоятельную задачу, не требующую введения в рассмотрение краевого эффекта. Просматривая полученные здесь схемы построения приближения (s), замечаем, что в определенных случаях в них построение безмоментного и чисто моментного напряженных состояний во всех приближениях, включая приближение (0), должно производиться вначале, и оно не требует знания простого краевого эффекта (s). В этих случаях для определения нулевого приближения безмоментного и чисто моментного напряженных состояний не нужно знать даже нулевого приближения простого краевого эффекта, а следовательно, эта операция по смыслу совпадает с расчетом оболочки по безмоментной теории. Такими свойствами обладают схемы построения приближения (s) в 20.10— 20.12, 21.18—21.21, 21.24. [c.322]

Как будет показано в гл. IV, для решения проблемы прочности хрупкого тела нужно уметь находить решение соответствующей математической задачи теории упругости для тела с разрезами нулевой толщины. Эти задачи относятся к так называемым сингулярным краевым задачам, т. е. к граничным задачам с особыми точками. Такими точками являются, например, бесконечно удаленная точка, угловая точка, коническая точка, точка разрыва граничных условии, точка приложения сосредоточенной силы и т. д. Появление таких точек обычно связано с некоторой идеализацией исходной физической задачи. При этом в линейных задачах решение (или его производные, начиная с некоторого порядка) стремится к бесконечности при приближении к особой точке. Поскольку граничная задача в особой точке не определена, встает вопрос о формулировке физически осмысленного дополнительного условия в такой точке, т. е. о постановке корректной сингулярной краевой задачи. [c.51]

Основные соотношения. Известные методы решения [10, 25, 39 краевой задачи (2.45) основаны на разложении коэффициентов С(г), Л(г), е(г), /9(г), 7г(г) и искомых полей перемеш ений и(г) и потенциала электрического поля нулевым приближением для полей и(г) и ( (г) являются осредненные решения <и(г)> и < (г)>. Как показано в работах [10, 33], корреляционные функции структуры матричных композитов имеют область отрицательных значений, что иллюстрируется, например, на рис. 2.4. Наличие области отрицательных значений есть признак присутствия периодических составляющих в соответствующих случайных полях. [c.62]

Обобщенные объемные силы Х(г) (3.11) и У"(г) (3.12) в формуле (3.8) есть невязка уравнения (2.45) для заданного нулевого приближения искомых полей перемещений и потенциала электрического поля в области V квазипериодической структуры. Квазипериодическая структура и нулевое приближение могут быть представлены совокупностью фрагментов обобщенных ячеек, для которых выполняются уравнения связанной краевой задачи (2.179), поэтому [c.127]

Предположим теперь, что в каждой точке Ха известно некоторое решение Уq Xs), которое мы принимаем за нулевое приближение. Для определения следующего приближения согласно методу Ньютона — Канторовича мы имеем линейную краевую задачу для системы шести обыкновенных дифференциальных уравнений (будем опускать индекс р оболочки, подразумевая, что [c.116]

Нелинейная задача теплопроводности (8.201)-(8.204) может быть реализована как приведенным выше ступенчатым методом, так и методом теории возмущений (методом малого параметра) [185], на основании которого определяемую температурную функцию представляют в виде ряда этих функций, члены которого содержат малый параметр с возрастающей от члена к члену степенью. Если такой ряд подставить в уравнение тенлонроводности и краевые условия, продифференцировать и приравнять выражения при одинаковых степенях малого параметра, то получим ряд систем линейных дифференциальных уравнений для нахождения нулевого, первого, второго и последующих приближений. Как показывают расчеты, при этом методе достаточно сделать два приближения, чтобы получить практически достоверный результат. [c.320]

Участок нулевого давления при использовании формулы Ньютона-Буземана и передний торец при задании длины не исчерпывают всех участков краевого экстремума, появляющихся в задачах построения двумерных головных частей минимального сопротивления. При свободной длине другой тип участка краевого экстремума появляется при построении в приближении формулы Ньютона плоских и осесимметричных оптимальных головных частей заданного объема ([6 и Глава 4.3). Здесь при малых и умеренных значениях безразмерного объема головные части минимального волнового сопротивления не заканчиваются торцом, а наоборот имеют форму штыря, выступающего из торца - концевого участка заданного цилиндрического тела. Там же получено более сильное, чем условие Лежандра, необходимое условие минимума сопротивления [dx/dy >1), которое в рамках формулы Ньютона должно выполняться на участках двустороннего экстремума. [c.359]

Запись уравнений в форме (5.237) позволяет сформулировать метод последовательных приближений для их реигения, известный под названием метода упругих решений. В нулевом приближении правую часть (5.237) полагают тождественно равной нулю, при это.м получается краевая задача линейной теории упругости. В перво.м и последующих приближениях правая часть вычисляется по результатам предыдущего приближения таким образом, на каждом uiare приходится рен/ать одну и ту же систему уравнений с различными правыми частями. Условия (5.235) обеспечивают сходимость метода последовательных приближений к решению (вообще говоря, обобщенному) краевой задачи для уравнений [c.271]

Здесь Qu — диссипативные силы, a x — коэффициент диссипации. Краевые условия в (3.10) находятся из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского в процессе интегрирования по частям в интегралах, определяющих вариации потенциальной энергии изгиба стержня и функционала диссипативных сил. Будем считать, что стержень достаточно жесткий и величина е = o / piV , характеризующая отношение квадрата частоты собственных колебаний груза массы М на пружине жесткости и квадрата наинизшей частоты изгибных колебаний защемленного стержня, мала. Выберем масштабы основных единиц так, чтобы е = Л . В нулевом приближении, когда е = О, стержень имеет прямолинейную форму (m(s, t) = 0), а груз совершает незатухающие гармонические колебания I = onst, ф = юг + ф(0). Задача определения функции М] имеет вид [c.294]

Не нарушая общности, будем рассматривать задачу со свободной от нагрузок частью поверхности 5(р1 = р =0). Предположим также, что смешанная краевая задача для области V разрешима при любых кусочнонепрерывных граничных условиях. Итерационный процесс, решающий поставленную задачу, строится следующим образом. Кинематиадское краевое условие, заданное на участке поверхности 5(г/ =г/ ), доопределим однородным статическим краевым условием на Z, —p i = = 0. Выбор нулевого приближения вектора напряжений в этом виде не является обязательным. Процесс может быть начат с произвольной кусочно-непрерывной функции (х), X L. Решая с этими условиями смешанную краевую задачу, находим поле перемещений в К и получаем предельные значения вектора перемещений на L. Значение uj принимаем за кинематическое краевое условие на L, а на 5 ставим заданное статическое условие р j = р =0. Решая эту краевую задачу, находим поле тензора напряжений ов К и получаем на L предельные значения векто-74 [c.74]

Необходимо отметить, что процесс (3.15) будет сходиться только в рассмотренной выше последовательности решения краевых задач. Возможность начать процесс с заддния нулевого приближения в виде кинематических краевых условий на L исключается, так как процесс становится расходящимся. [c.75]

Сначала на примере неоднородного стержня показывается техника применения методики осреднения к нелинейным краевым задачам. С помощью этой методики задача о стержне решается точно. Затем подробно описывается решение квазистатической задачи неоднородной и анизотропной теории пластичности. Рассматриваются теория эффективного модуля и теория нулевого приближения. Большое место в главе уделяется построению теории малых упруго-пластических деформаций для анизотропной однородной среды. Для такой среды доказываются теорема единственности решения квазистатической задачи в перемещениях и напряжениях, теоремы о минимуме лагранжиана и максимума кастильяниана, теоремы о простом нагружении. Описывается схема экспериментов, необходимых для определения материальных функций исследуемой теории. Показано, как исходя из теории малых упруго-пластических деформаций А. А. Ильюшина для изотропной среды получить методом осреднения соотношения анизотропной теории пластичности. [c.219]

В этой главе рассматривается класс задач о потере устойчивости безмоментного напряженного состояния оболочек нулевой гауссовой кривизны. Он характерен тем, что вмятины сильно вытянуты вдоль асимптотических линий и могут локализоваться вблизи одной (наиболее слабой) из них. Дополнительное напряженное состояние, возникающее при потере устойчивости, является полубезмоментным [87]. Жетод применим к выпуклым коническим и цилиндрическим оболочкам средней длины не обязательно кругового сечения края оболочки — не обязательно плоские кривые. Двумерная задача сводится к последовательности одномерных краевых задач четвертого порядка. Для цилиндрических оболочек при некоторых частных предположениях приближенное решение получено в замкнутом виде. [c.132]

Краевая задача, аналогичная (4.93), сформулирована в теории тонкого слоя [Матвеева Н.С., Нейланд В. Я., 1970 Левин В.А., 1973], описывающей сверхзвуковое обтекание пористых плоских поверхностей для скорости вдува 0 е) < < 0(1), при которой отсоединение происходит в малой окрестности передней кромки. Для такого режима последнее краевое условие в (4.93) имеет вид /(Х2,1) = О, так как слой смещения поглощает нулевой в первом приближении расход газа. Другое отличие от исследованного ранее режима течения заключается в том, что Р(0) = onst (в теории тонкого слоя при постоянной скорости вдува возмущение давления имеет вблизи передней кромки логарифмическую особенность). Величина возмущения давления Р(0) заранее не определена и зависит от донного перепада давлений. Краевая задача (4.93) описывает процесс передачи возмущений вверх по потоку от донного среза до точки отсоединения. Результаты численного интегрирования (4.93) представлены на рис. 4.14, где изображены рещения Р Х2) для Р(0) = 1,01 и 1,03. Следует отметить, что Р(0)>0, в противном случае область невязкого течения не существует. Рост [c.170]

Приведем некоторые результаты решения поставленной задат В качестве нулевого приближения примем Си=0 и Л1и=0. В табл 5.6 приведены значения функций ф1( и, ф2(С11, Л ц), а также приращений ДСц и ДМп в каждом приближении для линейной и нелинейной краевых задач. Критерием сходимости процесса последовательных приближений можно считать условие [c.143]

Когда граничные условия сохраняются фиксированными, можно найти общее решение этой упрощенной задачи, — нулевому приближению к реальной проблеме продвижения контура, —простоя квадратурой системы при условии, что можно установить границы эквипотенциальной поверхности и линии тока. Образцами этих теоретических решений являются решение задачи о линейном движении контура в единичную скважину (гл. VIII, п. 6) и непосредственного продвижения воды между двумя скважинами (гл. VIII, п. 7). Первая проблема соответствует идеализированному движению краевой воды в нефтяном месторождении, которое содержит одну скважину, пробуренную вблизи контура краевой воды. Вторая проблема представляет собой систему водной репрессии (флюдинг), состоящую из одной нагнетательной и одной эксплоатационной скважины. Можно проследить за развитием заводнения по поступательному перемещению линии частиц жидкости, первоначально окружавших нагнетательную скважину и затем движущихся по направлению к эксплоатационной скважине (см. фиг. 176). [c.413]

Вместе с тем при изучении стоксовского течения в угловой области обнаружена бесконечная система вихрей. Функция тока / стоксовского течения подчиняется би-гармоническому уравнению. Его решение при / = О и нулевой нормальной производной от / на границах угловой области получено в [4, 5]. В [5] доказана полнота найденной системы функций в частном случае параллельных стенок. Там же содержится утверждение о полноте и в угловой области. Подробное рассмотрение структуры стоксовских течений в угловых областях проведено в [6]. Авторы работ [7, 8] независимо от [5] вьшели условия сходимости рядов по упомянутым функциям при решении одной краевой задачи для бигармонического уравнения в полуполосе. В приведенном в [8] приближенном решении задачи о течении в прямоугольной каверне показаны возникающие в углах области вторичные вихри. В [9] вихревые системы в угловых областях получены как частный случай решения более общей задачи. [c.62]

Здесь первая строка представляет собой запись начальных условий вероятность разрушения любой нити при нулевой нагрузке равна нулю. Во второй строке при помощи распределения Вейбулла (5.26) записана вероятность обрьюа крайней нити при нагрузке А. Величина ро к представляет собой вероятность того, что соседняя с ней нить не оборвется при нагрузке о= к А при этом для определения напряжения в этой нити принято допущение, что вся пригрузка из-за обрыва крайней нити воспринимается одной соседней нитью. Это допущение не вызывает сомнений в том случае, когда модуль Юнга у нити гораздо больше, чем у матрицы. При I > 2d для расчета концентрации напряжений в наиболее напряженной нити на конце трещины применим метод эффективного ортотропного тела и формулу (6.3). Величина коэффициента интенсивности К для краевой трещины длины nd в ортотропной полосе ширины Nd приближенно равна коэффициенту интенсивности Ki для периодической системы трещин длины 2nd вдоль оси х с периодом 2Nd (при том же растяжении на бесконечности). Это равенство выполняется тем точнее, чем больше отношение модуля Юнга вдоль волокон к модулю Юнга поперек волокон. Отсюда, используя известную формулу для коэффициента интенсивности напряжений в задаче об однородном растяжении плоскости с периодической системой щелей [1], по формуле [c.80]

Относительно мало результатов имеется по концентрации напряжений около больпшх отверстий (р 1). Это можно объяснить тем, что при р > 1 расчет оболочки сводится к типичной однородной задаче теории оболочек в двухсвязной области, где наличие отверстия в оболочке уже не является определяющим. Среди задач такого рода простейшими являются задачи с круговым отверстием в оболочке положительной гауссовой кривизны, труднейшими же, по-видимому,— с отверстием, контур которого в отдельных точках касается асимптотических линий (в случае оболочек отрицательной или нулевой гауссовой кривизны). В этих точках простой краевой эффект вырождается, в чем легко убедиться, рассматривая, например, приближенное уравнение для определения простого краевого эффекта (при около кругового отверстия [c.244]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...