Условие Лежандра

Условия (3.3), (3.5) и (3.6) являются необходимыми условиями экстремума, а условия (3.4) и (3.7) — необходимыми условиями минимума на участке краевого экстремума. Необходимое условие минимума на экстремали (условие Лежандра) имеет вид [c.526]

Для всех значений Mqo меньшее значение к меньше тгз, т.е. на экстремали в точке стыковки с торцом выполняется необходимое условие минимума (3.8). Следовательно контур тела с минимальным тепловым потоком может состоять из торца и участка экстремали или только из участка экстремали, на котором выполняется условие Лежандра (3.8). [c.527]

О, то (А" ) >0, [А " ]" < О и, следовательно, ( 7 ) < 0. Поэтому из (2.3) с учетом положительности G следует справедливость усиленного условия Лежандра [c.194]

Поскольку для экстремали ЕР выполняются условия Лежандра и Якоби, то по известной теореме вариационного исчисления [81], она действительно реализует сильный минимум функционала (2.2). Утверждение 1 доказано. [c.195]

Решение первого вопроса - о невозможности проведения нужной экстремали с оси симметрии также связано с необходимостью введения участка краевого экстремума ([4] и Глава 4.2). Именно таким участком является упоминавшийся выше торец, присутствовавший уже в решении Ньютона. У Ньютона торец - участок краевого экстремума, появляющийся из-за ограничения на длину тела. По этой причине на торце допустимы только положительные вариации продольной координаты 5х > 0. Как заметил Лежандр, при допущении на торце таких 5х сопротивление оптимальной головной части все равно уменьшается, хотя и не в первом, а во втором порядке. Дело в том, что торец удовлетворяя, как указывалось выше, уравнению Эйлера, не удовлетворяет условию Лежандра (согласно условию Лежандра на экстремалях, реализующих минимум сопротивления, должно выполняться неравенство (1х/(1у > 1/ /3). Несмотря на это, решение Ньютона с передним торцом остается верным, поскольку торец является участком краевого экстремума не только из-за ограничения на длину головной части, но и как граница применимости формулы Ньютона. Для головных частей последняя справедлива, если 0<1 <тг/2, и торец оказывается участком краевого экстремума одновременно по ж и по 1 . Аналогичное положение сохраняется и при решении ЗН в рамках [c.359]

Участок нулевого давления при использовании формулы Ньютона-Буземана и передний торец при задании длины не исчерпывают всех участков краевого экстремума, появляющихся в задачах построения двумерных головных частей минимального сопротивления. При свободной длине другой тип участка краевого экстремума появляется при построении в приближении формулы Ньютона плоских и осесимметричных оптимальных головных частей заданного объема ([6 и Глава 4.3). Здесь при малых и умеренных значениях безразмерного объема головные части минимального волнового сопротивления не заканчиваются торцом, а наоборот имеют форму штыря, выступающего из торца - концевого участка заданного цилиндрического тела. Там же получено более сильное, чем условие Лежандра, необходимое условие минимума сопротивления [dx/dy >1), которое в рамках формулы Ньютона должно выполняться на участках двустороннего экстремума. [c.359]

Кроме того, вдоль них должно выполняться условие Лежандра [c.412]

Параметр I в силу условия Лежандра заключен в пределах от О до /3. Интегрируя (7) при Л > О, найдем, что решение в параметрической форме имеет вид [c.413]

Исследуем знаки перед корнем. Из условия, что подкоренное выражение неотрицательно, получим, что < 9/8. отсюда при отрицательном знаке перед корнем р < 1/3. С другой стороны, согласно условию Лежандра, нижняя граница равна 1/3. Следовательно, перед корнем может быть только знак плюс и при уменьшении от 9/8 до О, растет от 1/3 до (Х). [c.419]

В вариационном исчислении условие (24) называется условием Якоби, а (29) — условием Лежандра. В задачах механики последнее оказывается требованием положительной знакоопределенности кинетической энергии и поэтому всегда соблюдается условие Якоби выполняется на истинных путях, не проходяш.их через соответствуюш.ий начальному положению кинетический фокус. [c.660]

Наличие минимума проверяется выполнением условия Лежандра для промежуточной функции [c.309]

При малых значеииях ь и т) квадратичные члены играют решающую роль, и для существования минимума онм должны быть положительными. Таким образом, условие Лежандра (необходимое и достаточное) для слабого минимума ) имеет вид [c.673]

Условие Лежандра для релятивистского электрона с лагранжианом [c.678]

Символы I д обращаются в ноль всегда, когда не выполняется условие I I—т i n 1- -т. Свойства этих коэффициентов и пх связь со свойствами полиномов Лежандра подробно рассматриваются в [16]. [c.59]

Так, величины, являющиеся термодинамическими силами имеют одинаковое значение во всех частях равновесной системы и могут, следовательно, измеряться при наличии соответствующего контакта измерительного прибора с системой и фиксироваться с помощью аналогичных свойств внешней среды. Поэтому цель преобразования характеристических функций S, и состоит в замене некоторых переменных на Zi. Основное условие, которое необходимо выполнить при такой замене, это сохранение характеристичности функции. Иначе говоря, надо ввести в качестве переменных в функцию некоторые из ее производных (9.3), так чтобы из получающейся при этом новой функции A Z q ) можно было бы однозначно восстановить исходную функцию t/(q). Только в этом случае Л(2, q ) сохранит в себе всю физическую информацию, заложенную в t/(q), и будет также характеристической. Этим требованиям удовлетворяют преобразования Лежандра. [c.80]

Характеристические функции, получающиеся при преобразованиях Лежандра внутренней энергии, и саму функцию (7(5, V, п) называют в целом термодинамическими потенциалами, поскольку они выполняют в термодинамике роль, аналогичную роли потенциальной энергии в классической механике. Особенно ясно эта аналогия проЯ Вляется при формулировке условий равновесия (см. гл. 4). Преобразованием естественных переменных энтропии получаются другие характеристические функции, не применяющиеся, однако, столь широко, как термодинамические потенциалы. [c.82]

Тогда из граничных условий (1.12) и (1.13), воспользовавшись разложениями в ряды по полиномам Лежандра, можно вычислить неизвестные коэффициенты [c.336]

ЧТО эквивалентно одинаковости равнодействующих нагрузок и их моментов, то для использования принципа Сен-Венана участок загружения должен быть мал по сравнению с поперечными размерами полосы и тем более по сравнению с ее длиной. Если у двух сопоставляемых нагрузок одинаковыми оказываются коэффициенты соответственно при функциях Лежандра с номерами выше первого (до какого-то номера п), то нагрузки эквивалентны не только в статическом смысле, т. е. не только в смысле Сен-Венана, и тогда заменять одну нагрузку другой можно при условии распределения ее на тем большей доле длины полосы, чем больше п. [c.653]

Функции /[, ф[,, /,,, задаются в виде полиномов Лежандра или Чебышева, функции ф,, ф , — ортонормированные полиномы, подчиненные геометрическим условиям жесткого закрепления на краю интервала. [c.113]

Полученная система (9.21) является необходимым условием экстремума функционалов (9.15), (9.16). Однако для суждения о максимуме или минимуме экстремума необходимо знать знак второй вариации. Для этого используются условия Лежандра — Клебша и Вейерштрасса, которые являются дополнительными необходимыми условиями экстремума и определяют его вид. [c.180]

Ре]иения ятой системы наз. экстремалями функционала F. Экстремаль соответствует мппимуму F при выполпении условия Лежандра [обобщающего требование неотрицательности квадратичной формы [c.245]

Если в (1.5) на УДЭ включить под знак интеграла величины порядка то для (/ из (1.4) и любых Ф( ) это дает так называемое необходимое условие Лежандра у < /3. Данное неравенство, обеспечиваюгцее неотрицательность коэффициента нри ((5 ) , оказывается, однако, слишком слабым и должно быть заменено для любой функции Ф( ) на [c.398]

Для того чтобы экстремаль лавала экстремум интегралу I, необходимо, чтобы вдоль экстремали выполнялось условие Лежандра д Р [c.177]

Критерий Якоби для минимума. Если экстремаль монспо целиком поместить в поле и условие Лежандра выполняется для всех ее точек между Р1 и Рз, то интеграл /, определенный (1), имеет (слабый) минимум. Остается найти критерий существования такого 1юля. [c.674]

Дальнейшие исследования посвящены необходимым условиям минимума сопротивления (максимума силы тяги). Фанселау [15] обратился к исследованию достаточных условий максимума. В статье [10] в связи с тем, что необходимое условие минимума Лежандра для изучаемых вырожденных фунгсционалов Лагранжа не информативно, выведены два иных необходимых условия минимума. Первое из них получено при допущении возрастания энтропии. Второе отвечает специальной вариа- [c.46]

Если характеристическая функция U (или S) определена на некотором конечном интервале значений переменных, то и новая функция Аг, где г—кратность преобразования Лежандра функции f/(q), должна существовать в том же интервале естественных переменных, поэтому. необходимое и достаточное для (преобразования Лежандра условие ненулевых значений (9.24) должно соблюдаться в каждой точке этого интервала. В дальнейшем (см. 12, 13) будет показано, что это имеет место для любой фазы в области ее термодиламической устойчивости, но не для большинства гетерогенных систем. [c.81]

Это и есть условие того, что упругая энергпя U служит потенциалом напряжений. Применяя преобразование Лежандра, т. е. полагая [c.65]

Краевые задачи с особыми краевыми условиями, функции Бесселя и Лежандра, специальные полиномы Чебышева, Якоби, Эрмита, Лагерра (см. стр. 136 — 142) могут служить для построения замкнутых ортогональных систем функций, которые удовлетворяют краевым задачам диференциальных уравнений штурм-лиувиллевского типа, Коэфициенты этих уравнений, вообще говоря, таковы, что уравнения имеют на конечном интервале особые точки. Если особые точки являются концами интервала, для которого формулируется краевая задача, то обычное краевое условие (стр. 239) замещается требованием, чтобы при приближении к этим точкам собственные функции оставались конечными или становились бесконечно большими величинами не выше заданного порядка. [c.241]

Здесь Рг (со80) — полином Лежандра, 5 — комплексные ф-ции энергии, зависящие от характера взаимодействия я являющиеся элементами 5-матрицы (в представлении, в к-ром диагональны энергия, угл. момент и его проекция). Если число падающих на центр частиц с орбитальным моментом I равно числу идущих от центра частиц с тем же моментом (упругое рассеяние), то 5г = 1. В общем случае 5 1. Эти условия — следствие условия унитарности 5-матрицы. Если возможно только упругое рассеяние, то 5/ = = ехр(21б ) и рассеяние в состоянии с данным характеризуется только одним вещественным параметром б — фазой рассеяния. Если б = 0 при нек-ром I, то рассеяние в состояние с ортитальным моментом I отсутствует. [c.271]

Помимо Э.— Л. у. и условий трансверсальности оптимальное решение вариац. задачи должно удовлетворять и др. необходимым условиям [условию Клебша (Лежандра), условию Вейерштрасса и условию Якоби). [c.497]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...