Разрешающие системы уравнений метода перемещений

ФОРМИРОВАНИЕ ФАЙЛА РАЗРЕШАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ [c.90]

Формирование разрешающей системы уравнений метода перемещений, если известны значения узловых нагрузок для каждого [c.90]

Заключительный этап составления разрешающей системы уравнений метода перемещений состоит во включении в полную ма- [c.90]

Именно эти матрицы и векторы используются в дальнейшем при составлении разрешающей системы уравнений метода перемещений. [c.159]

Решение разрешающей системы уравнений метода перемещений дает возможность вычислить вектор узловых перемещений Ug (4.68) для любого элемента. Тогда в соответствии с (2.7) и (2.10) [c.72]

Разрешающие системы уравнений метода перемещений [c.235]

Плоская стержневая система является частным случаем пространственной стержневой системы. Хотя общая схема построения разрешающих уравнений метода перемещений остается неизменной, часть соотношений в этом случае заметно упрощается. [c.73]

После этого разрешающая система линейных алгебраических уравнений метода перемещений относительно обобщенных перемещений центров узловых элементов [c.76]

Если, например, в плоской стержневой системе, изображенной на рис. 3.5, перемещения узлов и 2 равны нулю, а перемещение узла 4 в направлении оси равно а (А42 = а), то система разрешающих уравнений метода перемещений принимает вид, показанный на рис. 3.8, где ненулевые элементы матрицы [Р] и вектора Т заштрихованы. Решение этой системы позволяет определить неизвестные узловые смещения рассматриваемой стержневой системы. [c.91]

Заполнение файла FL элементами массива А(, ) и NQL столбцами правых частей разрешающей системы алгебраических уравнений метода перемещений выполняется с помощью процедуры [c.93]

Полное время решения данной задачи на ЭВМ ЕС-1033 равно 8 мин 32 с, из которых формирование файла разрешающей системы алгебраических уравнений метода перемещений составляет 3 мин 0,9 с, а прямой ход по Гауссу 1 мин 23 с. [c.194]

МГЭ имеет больший порядок разрешающей системы уравнений, чем методы сил и перемещений, но существенно более простую логику алгоритма, чем другие методы. [c.386]

Разработку каждой такой программы проводят в несколько однотипных этапов подготовка и ввод исходных данных вычисление матриц и векторов, характеризующих поведение отдельных конечных элементов компоновка разрешающей системы уравнений вычисление компонент узловых перемещений (при применении метода перемещений) вычисление компонент НДС конструкции вывод результирующей информации. Использование инвариантной части программного обеспечения (см. гл. 3 и 5) позволяет достаточно просто компоновать проблемно-ориентированные программы в зависимости от принятой постановки задачи. Разработку такой программы рассмотрим на примере осесимметричной задачи теории упругости. [c.114]

Для формирования разрешающей системы линейных алгебраических уравнений метода перемещений [c.236]

Изложенный метод расчета стержневых систем носит название матричного метода перемещений. В нем в качестве основных неизвестных принимаются перемещения узлов. Процедура матричного метода перемещений не зависит от того, является ли система статически определимой или неопределимой. Причем чем больше внешних связей наложено на систему, тем ниже порядок разрешающей системы уравнений (3.75), так как количество неизвестных в ней равно числу элементов матрицы Va. [c.93]

При фо=1 разрешающая система уравнений с матрицей К (1.188) развернутом виде выглядит так (можно сравнить с системой (1.181), полученной методом перемещений) [c.53]

Конструкция представляется в виде совокупности треугольных конечных элементов. В качестве основных неизвестных принимаются перемещения узлов сетки этих элементов. Эти перемещения могут быть аппроксимированы либо линейной функцией, либо полиномом второй степени. После этого в соответствии с принятыми закономерностями метода конечных элементов составляются матрицы жесткости для элемента ребра, элемента тела вращения и вычисляется матрица коэффициентов разрешающей системы уравнений. Решение этой системы производится методом квадратных корней. [c.199]

Метод расчета напряженно-деформированного состояния цилиндрических складчатых систем разработал проф. В.З. Власов [24]. К недостаткам метода В.З. Власова следует отнести сложную логику формирования разрешающей системы уравнений, необходимость решать дифференциальные уравнения для каждого элемента конструкции, ограничения на торцевые условия опирания элементов складчатых систем (они должны быть одинаковыми), относительную сложность реализации алгоритма на вычислительных машинах. Позже были разработаны другие эффективные методы расчета складчатых систем. Отметим метод перемещений, основанный на решениях М. Леви (изгиб) и Л. Файлона (плоская задача) для прямоугольных пластин с шарнирным опиранием по торцам [2] и различные модификации метода перемещений и смешанного метода [46, 104]. Метод перемещений устраняет многие недостатки метода В.З. Власова в части реализации алгоритма на персональных компьютерах. Однако он привносит в методику расчета недостатки, связанные с природой метода перемещений. В частности, формирование матрицы реакций требует привлечения матричных операций, образование основной системы привносит недостатки, связанные с ее использованием, необходимы промежуточные вычисления для перехода от перемещений узлов к напряженно-деформированному состоянию во внутренних точках элементов системы. [c.232]

Наряду с указанными различиями имеет место дуализм методов сил и перемещений. Не останавливаясь подробно на этом вопросе [1, 2], отметим только следующее. Разрешающие уравнения метода перемещений были получены в 6.2 из смешанной системы уравнений исключением части неизвестных при помощи матричного уравнения неразрывности перемещений в узлах и подстановкой остальных неизвестных в матричное уравнение равновесия. Разрешающие уравнения метода сил, наоборот, получены исключением части неизвестных при помощи матричного уравнения равновесия и подстановкой остальных неизвестных в матричное уравнение неразрывности перемещений в узлах. [c.158]

Разрешающие уравнения метода перемещений получены в гл 5. на основе начала виртуальных перемещений или принципа стационарности полной потенциальной энергии системы. Разрешающие уравнения метода сил можно получить из начала виртуальных усилий или принципа стационарности дополнительной энергии. Действительно, используя начало виртуальных усилий (5.24), подставим в него статически допустимую вариацию вектора узловых усилий [c.159]

В заключение остановимся еще на одном вопросе, касающемся метода сил. Речь идет о бесконечно больших величинах в матрицах жесткости или соответствующих им нулевых величинах в матрицах податливости элементов. Такая ситуация рассматривалась, например, в гл. 6 в случае, когда можно было пренебречь продольными -деформациями стержней. Там потребовалась довольно существенная перестройка процедуры расчета, которая хоть и приводила к упрощению окончательной системы уравнений, но усложняла алгоритм. В методе сил можно несколько упростить вычисления без больших изменений процедуры расчета. Для этого следует при построении матриц Ьо и Ь[, во-первых, отбросить соответствующие нулевые податливости в матрице Ь. Во-вторых, нужно сохранить в столбцах Ь< матрицы Во и столбцах Ыр матрицы В[ только те усилия, которые могут вызвать перемещения, несмотря на сделанные допущения относительно жесткости или податливости элементов. В результате порядок матрицы Ь и число строк в матрицах Во и В[ соответственно уменьшаются. По упрощенным таким образом матрицам Ь, Во и В) определяются матрицы Ьо, Ь] и строится разрешающая система уравнений. Поскольку в уравнения равновесия должны входить все узловые усилия, после [c.159]

При использовании деформационной теории, согласно которой связь между напряжениями и деформациями является конечной нелинейной, полная система уравнений может быть приведена к разрешающим уравнениям в перемещениях или напряжениях, аналогичным уравнениям Ламе или Бельтрами — Мичелла в теории упругости. Для решения конкретных задач с успехом применяются различные варианты метода последовательных приближений. Возможна, например, следующая схема этого метода (метод дополнительных нагрузок). Напряжения, выраженные через деформации по формуле (10.15) [c.745]

После того, как система разрешающих уравнений (3.29) метода перемещений решена и вектор обобщенных смещений Д найден, 4 Шапошников И. Н. и др. 97 [c.97]

Осесимметричное нагружение дисков рассмотрим как наиболее типичное при оценке статической прочности. В качестве расчетного метода использован метод конечных элементов (МКЭ). Это не единственный возможный метод расчета известно применение и других методов дискретизации пространственной задачи к расчету дисков (метод конечных разностей, вариационно-разностный [2, 43, 100]). МКЭ наиболее широко применяют в прикладных задачах 47]. Можно отметить простоту формулировок основных принципов, ясность физической интерпретации, свободу размещения узловых точек, симметрию матриц жесткости элементов и системы уравнений, облегчающую контроль расчетов. При выборе в качестве неизвестных узловых перемещений матрица разрешающей системы будет симметричной, положительно определенной (при исключении перемещения диска как жесткого целого) и иметь ленточную структуру. Это способствует быстрому решению системы разрешающих уравнений прямыми или итерационными методами. Методу конечных элементов посвящено большое число работ [3, 46, 53, 114, 119]. Приведенные в гл, 4 результаты получены ДЛЯ простейшего кольцевого элемента треугольного сечения, однако основные соображения, использованные в решении, имеют достаточно общий характер и применимы как для плоской задачи, так и при более сложных элементах в осесимметричном случае. [c.153]

Для формирования разрешающей системы интегральных уравнений метода компенсирующих нагрузок и при определении перемещений и напряжений в пластине необходимы аналитические выражения ядер потенциалов, которые получаются при подстановке (1.2.8) в краевые условия (1.2.2) - (1.2.4) или в соотношения (1.2.5). [c.12]

Примем здесь в качестве базового МКЭ в форме метода перемещений. В этом случае разрешающие уравнения получаем путем минимизации полной потенциальной энергии рассматриваемой системы, выраженной через поле перемещений. Эти уравнения имеют простой физический смысл они описывают равновесие узлов системы искомые неизвестные являются компонен- [c.9]

Для пояснения процедур формирования разрешающей системы линейных алгебраических уравнений МКЭ рассмотрим трактовку МКЭ, соответствующую методу перемещений при решении задач теории упругости. Будем считать, что конечные элементы взаимодействуют лишь в узловых точках. Мысленно выделим отдельные конечные элементы и в узловых точках приложим реакции отброшенных частей. В пределах конечных элементов, эле-пользуя аппроксимации перемещений, получим уравнения равновесия элементов и определим связи реакций с обобщенными перемещениями узлов элементов и внешними нагрузками. Далее соединим в узлах элементы и запишем условия равновесия отдельных узлов. Для этого приравняем нулю для каждого узла сумму сил реакций от отдельных элементов, примыкающих к рассматриваемому узлу. Полученная система алгебраических уравнений позволит определить неизвестные узловые обобщенные перемещения, через которые в дальнейшем можно вычислить деформации и напряжения в элементах. [c.281]

В данной работе предлагается принципиально новый метод расчета цилиндрических складчатых систем, основанный на алгоритме МГЭ для стержневых систем. Теоретической основой метода является вариационный метод Канторовича-Власова. Решение задачи Коши изгиба прямоугольной пластины представлено в 6.2. Его можно использовать для расчета пластинчатых систем в случаях, когда плоским напряженно-деформированным состояниям элементов можно пренебречь. Алгоритм МГЭ устраняет практически все отмеченные выше недостатки существующих методов. Так, для формирования системы разрешающих уравнений типа (1.38) не используются матричные операции, не рассматривается основная система, снимаются ограничения на условия опирания пластин по торцам (граничные условия могут быть любыми, а каждая пластина может иметь смешанные граничные условия и включать как прямоугольные, так и круглые элементы), матрица коэффициентов А сильно разрежена, хорошо обусловлена и может приметаться в задачах статики, динамики и устойчивости, возможен учет ортотропии, ребер жесткости, упругого основания, переменной толщины и т.д. Таким образом, алгоритм МГЭ охватывает практически наиболее общий случай расчета. Перечисленные преимущества сопровождаются, как это бывает всегда, и недостатками. В частности, порядок матрицы А существенно больше порядка матрицы реакций метода перемещений. Однако этот недостаток [c.232]

В гл. 6 рассматривались методы расчета стержневых систем, заключающиеся в непосредственном формировании и решении разрешающих уравнений. Процедура расчета в этих методах зависела только от разбиения заданной стержневой системы на элементы и нумерации элементов и узлов. Настоящая глава посвящена другому важному методу расчета стержневых систем — методу сил, для которого разбиение стержневых систем на элементы и выбор узлов еще не определяют единственным образом весь расчет. В процедуре метода сил появляются сравнительно трудно формализуемые и плохо поддающиеся автоматизации места. В этом отношении метод сил проигрывает в сравнении с методом перемещений. Однако в ряде случаев он достаточно эффективен и удобен из механических соображений. Кроме того, существует известный дуализм в методах сил и перемещений, подробно изложенный для стержневых систем в работах Дж. Аргириса [1, 2]. Оба метода взаимно дополняют друг друга. Ниже делается попытка формализовать метод сил для устранения указанного недостатка. [c.146]

Полученные матрица и вектор реакций для прямоугольного элемента записаны в локальной системе координат О хуг, так как компоненты обобщенных узловых усилий выражены в этих локальных координатах. Для составления разрешающей системы уравнений метода перемещений (4.8) необходимо произвести соответствующее преобразование к глобальным координатам Oxix x . [c.158]

PRA151 формирования разрешающей системы уравнений метода перемещений для осесимметричных конструкций — Текст 476—477 — Формальные параметры 127 [c.517]

Введем идентификатор FL для обозначения файла, содержащего массив А (1 NR N, — М) и массив NQL столбцов правых частей разрешающей системы алгебраических уравнений метода перемещений. Структура файла изображена на рис. 3.9. Длина файла, необходимая для размещения перечис- [c.92]

В результате выполнения процедуры PR005 формируется файл с именем FL, содержащий массив А (, =к) и столбцы правых частей разрешающей системы алгебраических уравнений метода перемещений. [c.94]

Формирование разрешающей системы уравнений осуществляется с помощью процедуры PRA151, не описанные ранее формальные параметры которой имеют следующий смысл М — ширина ленты матрицы жесткости всей конструкции A(2 NR, М + 1) — матрица коэффициентов при неизвестных перемещениях узлов в разрешающей системе алгебраических уравнений метода перемещений (нижняя половина ленты матрицы жесткости конструкции вместе с главной диагональю, дополненная фиктивными нулевыми элементами) 2 NR, NQL) — векторы правых частей уравнений для каждого варианта нагружения, обусловленные действием сосредоточенных и распределенных сил, а также температурных нагрузок. [c.127]

Управляющая программа исследования НДС осесимметричных конструкций, регламентирующая взаимодействие совокупности составляющих процедур, описанных ранее, имеет имя R00A21. Ее текст приведен в приложении. Она обеспечивает ввод исходной информации во внутреннем или внешнем представлении формирование разрешающей системы линейных алгебраических уравнений метода перемещений решение этой системы методом LDU-факторизации и определение компонент узловых перемещений для заданных вариантов нагружения конструкции вычитание при необходимости (при заданных единичных значениях соответствующих параметров) характеристик напряженного состояния в центрах тяжести конечных элементов и реакций в жестких и упругих опорах вывод на печать исходной информации вывод на печать узловых перемещений и (или) параметров напряженного состояния в центрах тяжести элементов, и (или) реакций в опорах. [c.132]

Очень часто система разрешающих уравнений метода перемещений имеет ленточную структуру. Предположим, что максимальная разница между номерами узлов, соединенных оболочеч-ными элементами или вязкоупругими связями, равна Mij. Тогда ширину ленты матрицы [Р] можно определить по формуле [c.165]

МГЭ имеет больший порядок разрешающей системы уравнений, чем методы сил и перемещений, но существенно более простую логику алгоритма, чем другие методы. При формировании разрешающей системы уравнений МГЭ исключает такие операции как транспони- [c.180]

Нетрудно установить механический смысл разыскиваемы.х компонентов вектора X. Матричное уравнение (5.18) или (5.20) представляет собой условие равновесия всех узлов. Следовательно, отличные от нуля компоненты вектора ЕгХесть реактивные усилия, возникающие в тех узлах и по тем направлениям, где заданы перемещения, т. е. наложены связи. Другими словами, имеет место равенство рр = Е2Х. Сравнивая теперь уравнения (5.18) и (5.14) с уравненияГми (4.41), нетрудно убедиться в их тождественности. Таким образом, в данном случае метод неопределенных множителей Лагранжа приводит к разрешающей системе уравнений смешанного типа (4.41). [c.98]

В разд. 1.2 описаны исходные допущения модели и дана постановка задачи. Б разд. 1.3 дан вывод основных уравнений, исходя из принципа возможных перемещений Лагранжа, а также сформулированы граничные условия задачи. Указан способ преобразования исходной системы уравнений к разрешающей системе, основанный на введении функций напряжений с помощью соотношения (1.21). Такой анализ несколько отличается, судя по литературе, от наиболее распространенных подходов и, в частности, от подхода, изложенного в статье [8]. В разд. 1.4 решается задача для пластины с двумя ребрами и различными граничными условиями. Даны численные расчеты. В разд. 1.5 содержится решение системы разрешающих уравнений для случая, когда число ребер произвольное. Использован известный способ решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приспособленный к специфике данной системы. В разд. 1.6 рассмотрены частные случаи пластин с пятью и шестью ребрами. Приведены подробные численные расчеты и дан анализ влияния параметров пластины и ребер иа характер напряжений. В разд. 1.7 рассмотрена задача оптимального подкрепления пласти-пы произвольным числом ребер переменного сечения. Закон изменения сечения ребер по их длине определяется из условия, что напряжения в ребрах не меняются по длине каждого ребра. В разд. 1.8 и 1.9 описан метод конечных разностей Лля приближенного расчета напряжений в пластине с ребрами, сечение которых лроизвольно изменяется по длине. Точность метода иллюстрируется а примере. В последнем разделе излагается способ приближенного учета поперечной сжимаемости пластины между ребрами, который улучшает картину напряжений в окрестности угловых точек пластины. [c.7]

Особое внимание уделено смешанным вариационным формулировкам двух типов. Первая соответствует смешанному вариационному принципу Рейссиера, вторая — задачам на экстремум полной потенциальной энергии системы при наличии дополнительных условий в виде дифференциальных уравнений связи между перемещениями и их производными. Для одномерных задач предлагается вариационно-матричный способ вывода канонических систем разрешающих дифференциальных уравнений. Для двумерных задач рассматриваются вопросы реализации решений с использованием проекционных методов типа Рэлея—Ритца и конечных элементов с учетом специфики смешанной вариационной формулировки. [c.5]

Выражая искомые решения через разрешающие функции (см. гл. П1), мы преследовали цель свести более трудную задачу решения дифференциальных уравнений в перемещениях к хорошо известной задаче решения гармонического или бигармонического уравнения. Рассмотренное в п. 61 решение конечно-разностных уравнений показало, что особенности получаемых систем алгебраических уравнений не позволяют пока назвать достаточно надежный метод решения этих систем. Наиболее подробно изучены численные методы решения такой системы линейных алгебраических уравнений, которую мы получаем, применяя конечно-разно-етную аппроксимацию уравнения Лапласа = О или Пуассона V if) = / (д ). В работе Г. М. Максимова [55] применен численный метод, приводящий к неоднократному решению уравнения Лапласа для сжимаемого материала. Используем этот метод для несжимаемого материала. Выбираем решение (103). Введем обозначение [c.198]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...