Основные уравнения плоской теории упругости

Основные уравнения плоской теории упругости (2.5) для обеих сред можно записать в несколько измененном виде [c.193]

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.128]

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ [c.1]

Основные уравнения плоской теории упругости. Мы видели, что в обоих случаях, рассмотренных в двух предыдущих параграфах, дело сводится к рассмотрению системы уравнений дХу. дУх дУу [c.93]

Система пяти уравнений (1.1) с частными производными первого порядка относительно пяти неизвестных функций сг а , и, V есть система основных уравнений плоской теории упругости . [c.6]

Пусть однородное и изотропное упругое тело находится в условиях плоской деформации. Основные уравнения динамической теории упругости в данном случае имеют следующий вид [c.115]

Предшествующие обсуждения настоящей главы основаны на гипотезе с несжимаемости материала пластины в поперечном нац-равлении. Погрешность в решении, связанная с этой гипотезой, не может быть исследована в общем виде. В каждой конкретной задаче она будет разной. Оценим погрешность на примере бесконечной пластины, к. которой. приварен по /всей длине полубесконечный стрингер, нагруженный на конце продольной силой Р (рис. 2.35). Эта задача в точной постановке на основе уравнений плоской теории упругости решена В. Т. Койтером [19]. Выпишем из разд. 2.2 основные уравнения [c.115]

Основные успехи в рассмотрении упруго пластических плоских задач для тел с отверстиями (см. также гл. II) связаны с полным охватом отверстия пластической зоной. В зтом случае соответствующая математическая задача для идеального пластического тела весьма часто может быть сведена к некоторой краевой задаче для бигармонического уравнения в области, границы которой не известны заранее и должны быть определены в процессе решения из дополнительного краевого условия. В таких проблемах весьма полезными оказываются основные соотношения плоской теории упругости, полученные Г.В. Колосовым и Н.И. Мусхелишвили [c.7]

В начале данной главы получены сингулярные интегральные уравнения первой основной задачи плоской теории упругости для кольцевой пластины с трещинами, ограниченной внутренним круговым и произвольным внешним контурами. В параграфе 3 подробно рассмотрено круговое кольцо с краевыми радиальными трещинами. Ниже, пользуясь этим же приемом, изучим упругое равновесие эллиптической пластины с одной или двумя радиальными трещинами, выходящими на внутреннюю круговую границу, при действии сосредоточенных сил на замкнутых граничных контурах. [c.200]

В этой статье представлены задачи нескольких типов. Для первой основной задачи плоской теории упругости (т. е. когда всюду на В заданы поверхностные напряжения) получается одно лишь векторное уравнение (За). В смешанных граничных задачах имеют место оба уравнения. Заметим, что индекс i в (За) и (36) указывает направление в граничной точке Р. Если в точке Р в направлении i задана приложенная нагрузка, то выполняется уравнение (За) если задано перемещение, то выполняется уравнение (36). [c.157]

Наше изложение основано главным образом на комплексном представлении общего решения уравнений плоской теории упругости, которое будет указано ниже. Это комплексное представление, главная заслуга введения которого, безусловно, принадлежит Г. В. Колосову ), оказалось весьма плодотворным для эффективного решения основных граничных задач, а также для исследований общего характера, что подтверждается большим числом важных работ, опубликованных у нас за последнее время ). Некоторые из этих работ будут изложены или упомянуты ниже [c.86]

Некоторые термины и предложения. Переходя к основному для нас вопросу комплексного представления общего решения уравнений плоской теории упругости, мы уточним некоторые термины, которыми будем пользоваться (и отчасти уже пользовались), и напомним несколько простых предложений. [c.100]

Формула (5) дает общее представление решения уравнений плоской теории упругости в смещениях. Если в (5) положить Р ( , т)) = О, то получим формулу, относящуюся к случаю отсутствия объемных сил, которой мы постоянно пользовались в основном тексте. Полагая же ф (2) = (2) = О, мы получим как раз то частное решение уравнений плоской теории упругости при наличии объемных сил, которое было найдено иным путем в 57а. [c.666]

Приведение основных задач плоской теории упругости к интегральному уравнению Фредгольма. Докл. АН СССР, новая серия, 1934, т. I, стр. 295. [c.678]

К решению систем алгебраических уравнений основных задач плоской теории упругости. Прикл. матем. и механ., т. XV, вып. 3, 1951, стр. 317—322. [c.685]

Как следует из уравнения (8), мы пришли к первой основной задаче плоской теории упругости для круга при некоторых, действующих на его границе внешних силах, определяемых правой частью формулы (12). [c.179]

Ниже, в разделе, приводятся основные уравнения динамической теории упругости в трехмерном случае и для случая плоской деформации.Далее, в , рассматривается структура полей напряжений и перемещений в вер- [c.79]

Основные уравнения плоской задачи теории упругости в декартовых координатах, выраженные через функции напряжений, имеют вид [c.144]

Изложены основы теории упругости после ознакомления с основополагающими понятиями приводятся анализ напряженного и деформированного состояния, вывод основных уравнений, плоская и температурная задачи, элементы теории пластин и оболочек. Особое внимание уделено численным методам решения прикладных задач теории упругости помимо достаточно распространенных вариационных и разностных методов подробно освещается сравнительно новый структурный метод, хорошо зарекомендовавший себя при исследовав НИИ объектов сложной формы. Для понимания затронутых вопросов достаточно знаний обычного курса математики технического вуза. [c.40]

Задачу об изгибе консоли силой, приложенной на конце, будем решать обратным методом в напряжениях. Схема балки изображена на рис. 17. Зададимся напряжениями, получаемыми методами сопротивления материалов, и проверим, удовлетворяют ли они основным уравнениям плоской задачи теории упругости и соответствуют ли заданным нагрузкам. [c.66]

Собственным весом балки пренебрегаем. Тогда при подстановке напряжений (5.24) в уравнения равновесия (5.2) и уравнение сплошности (5.9) убеждаемся, что они обращаются в тождества. Таким образом, напряжения (5.24) удовлетворяют основным уравнениям плоской задачи теории упругости. [c.67]

В первой главе изложен математический аппарат, применяемый далее при решении основных граничных задач плоской теории упругости для тел с криволинейными разрезами. Получены сингулярные интегральные уравнения для многосвязных областей с отверстиями и разрезами в общем случае, когда разрезы выходят на границу тела, а также соединяют отверстия между собой и (или) с внешней границей. [c.3]

В данной главе изложен метод сингулярных интегральных уравнений для решения основных граничных задач плоской теории упругости для многосвязных областей с отверстиями и разрезами произвольной формы при наличии угловых точек на граничных контурах, а также изучено поведение вблизи концов линии интегрирования интеграла типа Коши и некоторых других комплексных интегралов, плотности которых имеют особенности степенного характера. [c.5]

Как известно (см. первую главу), основные граничные задачи плоской теории упругости для тел с разрезами сводятся к системе сингулярных интегральных уравнений по замкнутым (контуры отверстий и внешняя граница) и разомкнутым (разрезы) контурам. В некоторых частных случаях граничных контуров 70, 95] (круговая граница, бесконечная прямолинейная граница, система коллинеарных разрезов) возможно понижение порядка этой системы уравнений, что позволяет более эффективно находить ее численное решение. В данной главе (см. также работы 59, 60]) получены модифицированные таким образом сингулярные интегральные уравнения, когда в рассматриваемой области имеется прямолинейная конечная или полубесконечная треш,ина. (Случай конечной прямолинейной треш,ины рассмотрен в работах [58, 104].) Указанный подход, когда граничное условие на прямолинейной треш,ине выполняется тождественно, позволяет не только эффективнее находить численное решение задачи, но и сравнительно просто изучать действие сосредоточенных сил и разрывных нагрузок на берегах трещины, а также рассматривать краевые разрезы. Решение задач для областей с прямолинейной тре-Ш.ИНОЙ представляет особый интерес в механике разрушения (определение /С-тарировочных зависимостей для опытных образцов с трещинами, развитие трещин около концентраторов напряжений). [c.102]

В этом случае основные уравнения плоской задачи теории упругости будут [c.9]

Вывод основных уравнений для тонких упругих покрытий (прослоек) в плоском случае путем асимптотического анализа точного решения задачи теории упругости для полосы [c.22]

В противоположность трехмерным задачам, теория плоской задачи, разрабатываемая главным образом методами классического анализа (теория аналитических функций, теория интегральных уравнений Фредгольма и, позднее, теория одномерных сингулярных интегральных уравнений), получила широкое развитие и нашла совершенное выражение в классическом труде Н. И. Мусхелишвили Некоторые основные задачи математической теории упругости , первое издание которого вышло в 1933 году. [c.9]

Для важного класса плоских (двумерных) задач теории упругости перемещения, деформации и напряжения зависят только от двух координат на плоскости. Основные уравнения, а также общие методы решения, обсуждавшиеся в гл. 5, получаются как частный случай из соотношений для трехмерной сплошной среды. Это подробно обсуждается в гл. 8. Применение функций напряжений в плоской теории упругости имеет большое практическое значение. Весьма плодотворным является при этом введение комплексной переменной и использование методов теории аналитических функций, приводящих к эффективному методу решения. В основном он был построен Г. В. Колосовым [30] и позднее развит Н. И. Мусхелишвили (см. [31, 32], а также [А7, АЗО]). [c.119]

В предыдущем параграфе решение уравнений плоской теории упругости свелось к граничной задаче для бигармонического уравнения, которому удовлетворяет функция Эри. К решению уравнений плоской теории упругости могут быть с успехом применены также методы теории функций комплексного переменного. Впервые применение этих методов было дано в фундаментальных исследовани- ях Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвили. Комплексное представление общего решения уравнений плоской теории упругости оказалось весьма плодотворным для эффективного решения основных задач плоской теории упругости. [c.118]

Остановимся кратко на содержании главы. В разд. 2,2 на основе принципа виртуальных перемещений Лагранжа выведены основные соотношения подкрепленной ребрами криволинейной панели. В разд. 22.3 выделено элементарное решение Сопротивления материалов. Преобразование исходных уравнений для плоской панели к системе разрешающих уравнений содержится в разд. 2.4. Далее в разд. 2.5 изучено напряженно-деформированное состояние симметрично подкрепленной панели. Рассмотрена панель как конечной, так и бесконечной длины. Решение представлено в виде быстросходящихся рядов, даны результаты численных расчетов и программы расчета. В разд. 2.6 изучается эффект подкрепления панели на торце дополнительным ребром, работающим только иа изгиб. В разд. 2.7, как и в разд. 2.5, рассмотрена симметрично подкрепленная панель, но при кососимметрнчиом загруженин ребер парой сил. Решение отличается от полученного в разд. 2.5, так как требуется учитывать изгиб панели в ее плоскости. Решение доведено до числа. В разд. 2.8 рассмотрены панели с двумя ребрами разной жесткости для случа.я, когда поперечное перемещение панелн равно нулю или отлично от нуля. В разд. 2.9 на примере бесконечной пластины с полубесконечным ребром дается оценка погрешности решения путем введения гипотезы отсутствия поперечной деформации пластины. Эта оценка выполнена, путем срав неиня решения на основе упомянутой гипотезы с точным решением, полученным иа основе уравнений плоской теории упругости. Результаты этого раздела опубликованы Э. И. Грнголюком и В. М. Толкачевым [5]. В этой работе дана также общая постановка задач включения на основе гипотезы отсутствия поперечной деформации, рассмотрены задачи для пластины и ребра конечных размеров, для полубесконечной пластины с полубесконечным ребром, а также задача для защемленной по боковым сторонам полубесконечной полосы, нагруженной на торце постоянной распределенной нормальной нагрузкой. [c.68]

Уравнение (VIIL35) с точностью до обозначений совпадает с интегральным уравнением (1.78) первой основной задачи плоской теории упругости. Поэтому полученные ранее различные аналитические решения уравнения (1.78) могут быть перенесены на уравнение (VIII.35). [c.253]

Относительно последней системы надо заметить следующее. При /с = 1, т. е. в случае первой основной задачи, система эта обращается в систему, полученную Лауричелла (Lauri ella [3]) для решения основной бигармонической задачи, которая, как уже говорилось, эквивалентна (с некоторой оговоркой в случае многосвязной области) первой основной задаче плоской теории упругости. При к = х, т. е. в случае второй основной задачи, система уравнений (5") соответствует системе, также полученной Лауричелла (Lauri ella 11, 2]) для второй основной задачи в трехмерном случае. [c.371]

J. R. Lloyd и J. Miklowitz [2.133] (1962) исследуют распространение неустановившихся волн в пластине на упругом основании, возбуждаемых источником q = qoH t)6 x). Здесь H(t)—функция Хевисайда, б(х)—б-функция. Рассматриваются случаи симметричного и антисимметричного возбуждения колебаний в пластине относительно срединной поверхности. Указанные задачи решены методо м двойных интегральных преобразо)ва ий на основе уточненных уравнений типа Тимошенко и уравнений плоской теории упругости. Основное внимание уделяется приближенному асимптотическому обращению изображений. [c.159]

Метод сеток оказывается эффективным такгке при решении плоской задачи теории упругости. Будем исходить из основного уравнения плоской задачи V V p = 0. [c.213]

Связанная система уравнений (50) и (51) по своей структуре аналогична системе, описывающей большие прогибы однородных пластин (см. работу Тимошенко и Войновского-Кригера [163] с. 418), включающей в отличие от системы (50), (51) нелинейные операторы, а также основным уравнениям линейной теории пологих оболочек ([163 ], с. 559). В нелинейной теории пластин й в теории пологих оболочек связь между уравнениями осуществляется через коэффициенты, зависящие от кривизны, а в рассматриваемом здесь случае слоистых анизотропных пластин эта связь вызвана неоднородностью материала (она осуществляется с помощью оператора включающего элементы матрицы 5 /, которые зависят, в свою очередь, от элементов матрицы Ац и матрицы Вц, входящих в исходные соотношения упругости). Это означает, что при постановке граничных условий на краях слоистой анизотропной пластины необходимо одновременно рассматривать силовые факторы и перемещения, соответствующие как плоскому, так и изгибному состояниям. При этом на каждом краю следует сформулировать по четыре граничных условия. [c.178]

Полученные в первой главе сингулярные интегральные уравнения основных граничных задач плоской теории упругости справедливы как для гладких, так и для ломаных и ветвящихся разрезов и кусочно-гладких граничных контуров. Однако в случае упругих областей с угловыми точками свойства интегральных уравнений усложняются, что требует их дополнительного исследования. Если для областей, ограниченных гладкими контурами, с гладкими криволинейными разрезами сингулярные части ядер интегральных уравнений содержат только ядро Коши, то в них также имеются слагаемые с неподвижными особенностями. При этом искомые решения имеют в угловой точке две различные осо-бенности степенного типа, соответствующие симметричному и антисимметричному распределению напряжений относительно бис- сектрисы клиновидной области. Это обстоятельство очень усложняет численное решение интегральных уравнений. Поэтому в численном анализе часто используют приближенные подходы, не учитывающие особенности в угловых точках или же учитывающие только одну особенность высшего порядка (см., например, работы 95, 146, 156]). Обзор исследований по решению задач теории упругости для областей с угловыми точками имеется в работах [47, 75]. [c.60]

Интегральные уравнения Шермана — Лауричелла. Д. И. Шерману [15—17] удалось получить заслуживающие большого внимания интегральные уравнения для решения первой и второй, а также смешанной, основных граничных задач плоской теории упругости. К этим уравнениям, по-видимому, естественнее всего придти следующим путем ), основанным на одной простой общей идее, аналогичной той, которую применил Фредгольм для получения интегральных уравнений, соответствующих второй основной задаче в трехмерном случае ). [c.369]

Смешанные задачи плоской теории упругости и теории изгиба пластинок. Как было уже упомянуто в 103 настоящей книги, Д. И. Шерман [17] дал способ решения основной смешанной плоской задачи теории упругости для многосвязной области. Г. Ф. Манджавидзе [1, 2] подробно исследовал сингулярное интегральное уравнение Д. И. Шермана, построенное для решения указанной задачи. Это же уравнение позволило Г. Ф. Манджавидзе [2] решить смешанную задачу изгиба нормально нагруженной тонкой изотропной пластинки, когда часть края пластинки заделана, а остальная — свободна. Если область, занятую пластинкой, можно отобразить конформно на круг при помощи полинома, то эту задачу, как и основную смешанную задачу (см. 127), можно решить эффективно. Это сделано в статьях М. Е. Карапетяна [1] и Станеску (Stanes u [1]). [c.600]

В большинстве рассмотренных работ, связанных с контактными задачами, предполагалось, что трение между штампом и упругим телом отсутствует. Значительно большие математические трудности представляет другой предельный случай, когда штамп и основание находятся в условиях сцепления (такая задача есть частный случай основной смешанной задачи теории упругости). В отличие от более простых смешанных задач, в этом случае дело сводится к отысканию двух гармонических в полупространстве функций с неразделенными краевыми условиями первого и второго рода. Впервые такая задача для кругового штампа была решена В. И. Моссаковским (1954) путем сведения ее к плоской задаче линейного сопряжения двух аналитических функций. Впоследствии Я. С. Уфлянд (1954, 1967) дал непосредственное решение этой задачи с помощью тороидальных координат и интегрального преобразования Мелера — Фока. В статье Б. Л. Абрамяна, Н. X. Арутюняна и А. А. Баблояна (1966) осуществлен еще один подход к той же задаче, основанный на использовании парных интегральных уравнений. Контактным задачам при наличии сцепления посвящена также работа В. И. Моссаковского (1963). Решение основной смешанной задачи теории упругости для полупространства с прямолинейной границей раздела краевых условий дано Я. С. Уфляндом (1957) с помощью интегрального преобразования Конторовича — Лебедева. [c.36]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...