ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные уравнения плоской теории упругости из "Некоторые задачи математической теории упругости Изд5 " Только в случае 26 ( обобщенное плоское напряженное состояние ) следует заменить компоненты смещения, напряжения и объемной силы, входящие в эти уравнения, их средними значениями по толщине пластинки, а постоянную % — величиной А,, определяемой формулой (3) 26. Все сказанное в дальнейшем относится к обоим упомянутым случаям. Так как все величины зависят только от х, у, то мы, конечно, можем ограничиться рассмотрением точек, расположенных в плоскости Оху, которую мы считаем плоскостью одного из нормальных сечений рассматриваемого цилиндра, в частности средней плоскостью в случае 26. Поэтому, когда мы будем говорить, например, об области, занятой телом, мы будем обычно подразумевать двумерную область, а именно сечение тела плоскостью Оху. [c.93] Будем считать, как и в главе I, что компоненты смещения — однозначные непрерывные функции, имеющие непрерывные производные вплоть до третьего порядка внутри области, занятой телом. Тогда на основании формул (2) компоненты напряжения будут однозначными функциями, имеющими непрерывные производные до второго порядка. [c.94] Если найдено какое-либо решение этой системы, то соответствующие-напряжения найдутся по формулам (2) простым дифференцированием. [c.94] Нетрудно также составить уравнения, содержащие только напряжения. Мы увидим сейчас, что уравнения эти состоят из уравнений (1) и из одного дополнительного уравнения, заменяющего в нашем случае шесть условий совместимости Бельтрами — Мичелла. Это дополнительное уравнение-выражает условие, которое должно быть соблюдено для того, чтобы к функциям Хх, У у, Ху, удовлетворяющим уравнениям (1), можно было подобрать функции и, V, связанные с Хх, У у, Ху соотношениями (2). [c.94] Условие это можно было бы, разумеется, получить как частный случай из упомянутых условий совместимости, но мы предпочитаем вывести его заново. Мы приведем два вывода. [c.94] Первый вывод, как и вывод условий Бельтрами — Мичелла для общего случая, основан на условиях совместимости Сен-Венана. [c.94] Это и есть то дополнительное уравнение, которое следует присоединить к уравнениям (1) и которое выражает условие совместимости в плоской теории упругости. [c.95] Так как вопрос заключается в нахождении условий, которым должны удовлетворять компоненты напряжения Хх, Уу, Ху для того, чтобы существовали функции и, V, связанные с ними уравнениями (2), то попытаемся действительно вычислить и, V по соотношениям (2), предполагая, что Хх, Уу, Ху есть данное решение системы (1). [c.95] Пусть (а, Ь) некоторая (произвольная) точка тела. Ограничимся цока рассмотрением только тех точек х, у), которые расположены внутри некоторого прямоугольника с центром в (а, Ъ), не выходящего за пределы тела. [c.96] Мы ограничились рассмотрением точек х, у), расположенных в прямоугольнике с центром в (а, Ъ), не выходящем из области, занятой телом. Для нахождения значений и, V ъ других точках области возьмем какую-либо точку (а, Ь ) внутри нашего прямоугольника, вблизи его границы, и построим второй прямоугольник с центром в (а, Ь ), частично выходящий за пределы первого прямоугольника, но не выходящий из области, занятой телом. Тогда мы сможем найти значения и, V во всех точках второго прямоугольника (частично выходящего за пределы первого) по указанному выше способу, заменяя точку (а, Ъ) точкой (а, Ъ ). Для того, чтобы полу-ченйые таким образом значения и, V совпадали в части, общей обоим прямоугольникам, со значениями, вычисленными раньше, мы должны так подобрать произвольные постоянные, входящие в формулы для второго прямоугольника, чтобы значения и, у и г в точке (а, Ь ) совпадали со значениями этих величин, полученными из формул для первого прямоугольника. Таким образом, формулы для второго прямоугольника не будут содержать никаких новых произвольных постоянных. Повторяя этот прием достаточное число раз, мы сможем вычислить смещения для любой точки тела ). [c.97] ВЫЧИСЛИТЬ значения и, V в точке (хх, /1), мы должны согласно указанному способу построить цепь частично перекрывающих друг друга прямоугольников, первым звеном которой является прямоугольник с центром в (а, Ъ) а последним — прямоугольник, содержащий (0 1, 1). Но таких цепей можно построить бесчисленное множество спрашивается, будет ли выбор той или иной цепи влиять на значения и, V в точке (Ж1, 1/1) иначе говоря, будут ли и, V однозначными функциями положения (0 1, 1). [c.98] Совершенно аналогично тому, что было сказано в 15, легко убедиться, что гг, V будут необходимо однозначными функциями, если область, занятая телом, односвязна. [c.98] В случае многосвязной области компоненты и, V могут оказаться многозначными функциями, несмотря на соблюдение условия (7). Поэтому в случае многосвязной области к условию (7) следует отдельно присоединить условие однозначности смещений ). Ниже мы еще вернемся к этому вопросу и рассмотрим его более подробно. [c.98] Вернуться к основной статье