Эллиптические цилиндрические координаты , rj, z (рис

Такую систему координат называют цилиндрическими ортогональными криволинейными координатами х , х , х = Xg. В зависимости от системы криволинейных координат на плоскости цилиндрическим координатам приписывается соответствующее название. Например, полярные цилиндрические координаты (рис. 6.2), эллиптические цилиндрические координаты (рис. 6.3) и т. д. [c.121]

Эллиптические цилиндрические координаты [c.122]

А Л, Эллиптические цилиндрические координаты Г), z 571 [c.571]

Запишите уравнение для лучей в эллиптических цилиндрических координатах уi М i ) [см. выражения (2.7.10)], предполагая, что показатель преломления является постоянным на каждом эллипсе из координатного семейства и не зависит от у. Найдите интеграл движения, соответствующий наклону данного луча в волокнах с вращательной симметрией относительно поворота волокна. Проанализируйте моды, распространяю- [c.148]

Уравнения движения в цилиндрических координатах. Приведение интегрирования к эллиптическим квадратурам. — Пусть/ и 6 — полярные координаты проекции [J. точки М на плоскость ху. Тогда [c.200]

Системы координат приведенного вьппе типа по очевидным причинам называются сопряженными системами. Важными примерами этих систем являются координаты эллиптического цилиндра, биполярные цилиндрические координаты и координаты параболического цилиндра, рассматриваемые в разд. А.11 — А.13. [c.569]

Решение этой осесимметричной задачи строится с помощью бигармонической функции Лява % (см. п. 1.10 гл. IV). Применяются цилиндрические координаты г, z, так как использование вырожденных эллиптических координат было бы более сложно. [c.281]

Векторное волновое уравнение в координатах эллиптического цилиндра разделяется на три скалярных волновых уравнения так же, как и в круговых цилиндрических координатах. [c.35]

Совокупности формул (70) с (74) и (71) с (75) позволяют при желании пользоваться потенциалами скоростей возмущений в цилиндрических координатах, если уже заранее вычислены коэффициенты и Сп- Заметим, что эти коэффициенты проще определять при помощи разложений уравнения контура меридионального сечения в ряды по функциям от эллиптических координат, а уже затем доводить расчеты до скоростей в эллиптических или цилиндрических координатах. Так, например, как было показано в предыдущем параграфе, в случае удлиненных тел вращений со значительным удлинением коэффициенты и С легко определяются путем разложения уравнения контура в тригонометрический ряд по косинусам эллиптической координаты 1). [c.436]

Если имеются объемные силы, допускается только одна компонента объемной силы в направлении Хз. Впрочем, можно также применять эллиптические или параболические цилиндрические координаты. [c.109]

Эллиптическая система координат используется в задачах об ударе и погружении в жидкость пластин, призматических и цилиндрических тел. [c.22]

В дальнейшем под базисом е, подразумевается ортогональный базис (рис. 1.1). Ортогональная система координат может бить прямолинейной (такая система координат называется декартовой) и криволинейной (цилиндрическая, сферическая, эллиптическая). В прямолинейной системе координат базисные единичные векторы во всех точках пространства неизменны по направлению, в криволинейных системах координат базисные векторы при переходе в другую точку пространства меняют направление. [c.8]

При исследовании пространственных течений приходится пользоваться различными криволинейными системами координат цилиндрической, сферической, эллиптической и др. Такой подход не только упрощает описание картины движения, но иногда просто неизбежен от удачного выбора системы координат зависит возможность разделения переменных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий. В плоском безвихревом движении переход от физической плоскости г = х + щ [c.290]

В 3.5 на основе точных решений ИУ первого рода, содержащих в качестве ядер эллиптические функции Якоби (см. 1.4), получено точное решение контактных задач теории упругости о чистом сдвиге штампом (в обш,ем случае деформируемым) цилиндрического тела, представляющего собой в сечении область, ограниченную координатными линиями ортогональной линейной системы координат на плоскости, коэффициенты Ламе которой удовлетворяют некоторым условиям. Сюда относятся декартовы, полярные, биполярные, параболические, гиперболические и др. координаты. Подробнее в биполярных координатах рассмотрены контактные задачи Qn, Qn для усеченной луночки. Решения задач этого пункта представляют не только самостоятельный интерес, но служат основой для решения контактных задач о внедрении штампов в поверхности таких же тел путем выделения и обращения главных частей ядер соответствующих ИУ. [c.17]

Для определения функциональной связи между полной погрешностью диаметра днища и первичными погрешностями рассмотрим профиль заготовки (рис. 29). Ось л направим вдоль оси днища, ось у разместим в плоскости сопряжения цилиндрической части с эллиптической. Точка Л1 на образующей цилиндрической части удалена от Оу на величину высоты цилиндрической части п. Координаты точки М будут [c.87]

Координаты г/2 и уд снимают с ортогонального чертежа, используя вид на подкос по его оси. Точно так же можно построить любую пару точек эллиптических дуг, расположенных на одной хорде, параллельной оси 0 .yf. (см., например, точки и N принадлежащие хорде, пересекающей в точке Е ось подкоса). Очерковые образующие аксонометрической проекции цилиндрического подкоса проводим как касательные к эллиптическим сечениям, параллельно оси [c.231]

Для того чтобы ознакомиться с основными особенностями распределения полей в резонаторе, рассмотрим точно решаемую (в рамках геометрической оптики) модель оптического резонатора, состоящего из цилиндрической полости с эллиптическим сечением, полуоси которого равные nd /2 (рис. 7.10). Чтобы не загромождать рассуждения математическими выкладками, ограничимся рассмотрением двумерной конфигурации мод, поле которых ы (д , z) не зависит от координаты >>. В рамках лучевой оптики поле и, как показано в гл. 2, можно записать в виде линейной суперпозиции полей/4 ехр(—/А 5) [c.490]

При исследовании пространственных течений приходится пользоваться различными криволинейными системами координат цилиндрической, сферической, эллиптической и др. Такой подход не только упрощает описание картины движения, но иногда просто неизбежен от удачного выбора системы координат зависит возможность разделения переменных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий. В плоском безвихревом движении переход от физической плоскости г = х +1у к вспомогательной плоскости = I + гг] был эквивалентен пользованию в физической плоскости криволинейными координатами I, г вместо прямолинейных х, у. В пространстве трех измерений столь удобного аналитического аппарата, как комплексное переменное, нет, и приходится непосредственно применять формулы перехода от прямолинейных координат к криволинейным, выражая в этих координатах сами дифференциальные уравнения и соответствующие граничные условия. [c.347]

В данном пункте рассматривается пространственное течение на телах с эллиптическими поперечными сечениями, обтекаемых сжимаемым потоком газа под углом атаки. Уравнение поверхности рассматриваемых тел в цилиндрической системе координат г, г, ф имеет вид [c.348]

В случае контакта двух цилиндрических тел, оси которых параллельны оси у выбранной системы координат, задача становится плоской. Предполагается, что цилиндры сжимаются силой Р, рассчитанной на единицу длины оси. Область контакта при этом представляет собой полосу шириной 2с, параллельную оси у. Герц рассматривал эту задачу как предельный случай контакта по эллиптической области, когда полуось Ь становится неограниченно большой по сравнению с а. Альтернативный подход заключается в учете с самого начала особенностей плоской задачи и использовании полученных в гл. 2 результатов для случая нагружения полупространства вдоль прямой. [c.117]

В данной главе приведены решения скалярных и векторных волновых уравнений для установившихся волновых движений в системах координат, в которых допустимо разделение переменных и которые используются в последуюших главах при изучении дифракционных процессов. Рассмотрены круговая цилиндрическая. эллиптическая цилиндрическая, сферическая, сфероидальная и параболическая цилиндрическая координатные системы. Для первых трех из указанных систем приведены теоремы сложения волновых функций. Даны основные свойства используемых специальных функций. Отметим, что в случае нестационарных процессов в результате применения интегрального преобразования Лапласа по времени волновые уравнения также сводятся к уравнениям Гельмгольца. Следовательно, приведенные в настоящей главе результаты справедливы и для нестационарных задач. Отличие состоит лишь в том, что в нестационарном случае волновые числа будут чисто мнимыми. [c.28]

В работе [68] приведены системы координат, в которых для уравнения (3.2) можно получить уравнения (3.4) с разделенными переменными. Это прямоугольная, круговая цилиндрическая, сферическая, коническая, параболическая, эллиптическая цилиндрическая, параболическая цилиндрическая, вытянутая и сплющенная сфероидальные, эллипсоидальная и параболои-дальная координатные системы. [c.48]

В задачах для многосвязных областей, ограниченных эллиптическими, цилиндрическими и сфероидальными поверхностями, имеется три источника появления бесконечных систем пе-реразложение периодических функций, соответствующих различным волновым числам, по общей системе периодических функций разложение параметров Ляме соответствующей системы координат по системе периодических функций использование теорем сложения для переразложения решений из одной координатной системы в другую. [c.54]

Чтобы увеличить дифракционную эффективность и уменьшить присущую пучку расходимость, ячейки акустооптических дефлекторов часто удлиняют в направлении распространения акустической волны. При этом лазерный пучок фокусируется, образуя эллиптическое пятно, большая ось которого параллельна направлению удлинения ячейки. Такая фокусировка осуществляется цилиндрическими линзами (рис. 8). Плоскость, содержащая дифрагированный и недифрагированный лазерные пучки, параллельна как линии фокусировки, так и оптической оси системы линз. Поэтому ячейку акустооптического дефлектора, отклоняющего пучок вдоль координаты X, помещают на горизонтальной лиши фокусировки, [c.431]

В цилиндрической системе координат г, 0, г для случая осевой симметрии выражения для Dki,- и Sku можно получить из соотношений (III.50) преобразованием, аналогичным тому, которое использовалось для B ih и Ец1 . Тогда, проинтегрировав по углу 0, получим выражения для входящих в Dk i и компонент, которые, как и (III.13), выражаются через полные эллиптические интегралы первого и второго рода. [c.69]

На основе точных решений интегральных уравнений первого рода, содержаш,их в качестве ядер эллиптические функции Якоби (см. 1.4), получено точное решение контактных задач теории упругости о чистом сдвиге штампом (в общем случае деформируемым) цилиндрического тела, представляюшего собой в сечении область, ограниченную координатными линиями ортогональной линейной системы координат на плоскости, коэффициенты Ламе которой удовлетворяют некоторым условиям [168]. Сюда относятся декартовы, полярные, биполярные, параболические, гиперболические и другие координаты. Аналогичные задачи в случае полосы изучались в работе [44], здесь же предложена схема построения точного решения рассматриваемых задач путем конформного отображения полосы на конечную область. [c.153]

Спрессовывание вязкопластического материала. Чтобы установить отличия в поведении пластического и вязкопластического материалов, рассмотрим процесс спрессовывания уплотняемого вязкопластического материала в закрытой цилиндрической пресс-форме, пренебрегая внешним трением. Заметим, что естественным краевым условием для вязкого и вязкопласти-ческого материалов является условие прилипания, однако в этом разделе для простоты примем что стенки пресс-формы гладкие. Предположим, что поведение материала описывается эллиптическим условием текучести. Воспользуемся цилиндрической системой координат , Геометрическая схема показана на рис. 17. [c.127]

Погрешности сборки рассмотрим на примере шарикоподшипниковых узлов. Отклонения расположения посадочных и опорных поверхностей шарикоподшипников от идеального, вала и отверстия в корпусе приводят к перекосу колец подшипника (рис. 11.4, а, б), при этом шарики даже в геометрически идеальных подшипниках перемещаются не по круговым, а по эллиптическим траекториям. Отклонения формы посадочных поверхностей колец шарикоподшипников, а также вала и корпуса могут для деталей приборов достигать 4—5 мкм. Значение радиуса Rq , определяющего цилиндрическую поверхность сопрягаемой детали, из-за наличия технологической погрешности зависит от координаты Xi и угла 0, (рис. 11.4, в, г) [147, 148]. При запресг-совывании между сопрягаемыми поверхностями возникает давление, которое вследствие разницы размеров деталей вызывает изменение геометрии рабочих поверхностей [116]. Функциональная связь между отклонениями формы посадочных мест и рабочих поверхностей, возникающими при посадке, рассмотрена в работах [147, 148]. Основываясь на результатах статистических исследований, параметры Гд, характеризующие технологические погрешности, можно записать в виде [c.637]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

Уравнения Эрнста возникают в обшей теории относительности как двумерные редукции уравнений Эйнштейна для гравитационных полей в вакууме. В случае стационарных полей с осевой симметрией эти уравнения могут быть записаны в весьма элегант1гой форме [49] в виде одного нелинейного (квазилинейного) уравнения эллиптического типа для одной неизвестной комплексной функции Е(р,г), называемой потенциалом Эрнста. В другом двумерном случае, когда искомое решение зависит от времени и одной из пространственных координат, как, например, в случае плоских цилиндрических волн, а также для решений космологического типа, возникает аналогичное уравнение, но уже волнового (гиперболического) типа, которое также принято называть уравнением Эрнста. [c.42]

Рассмотрим решение уравнения Максвелла (3.256), (3.257) внутри зоны (канавки). Для этого сначала рассмотрим задачу о распространении электромагнитной волны внутри наиравдающей структуры (волновода). Предположим, что сечение вошовода представляет собой область, расположенную между двумя парами кривых, которые являются координатными линиями одной из криволинейной системы координат эллиптической, параболической, цилиндрической жлж декартовой. Название системы координат совпадает с названием кривой второго порядка, которая описывает сечение направляющей стру , ,ур Стецщ направляющей структуры будем считать идеально проводящими. Введем ортогональные криволинейные координаты по формулам X = х и, и), / = у и, ю). [c.196]

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. в аналитической геометрии так называют поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат— уравнения второй степени. К ним относятся сфера, эллипсоиды, однополостной и двуполостной гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды, конические и цилиндрические поверхности. Прямая линия пересекает такие поверхности в двух точках. [c.86]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...