Косинус эллиптический

Совокупности формул (70) с (74) и (71) с (75) позволяют при желании пользоваться потенциалами скоростей возмущений в цилиндрических координатах, если уже заранее вычислены коэффициенты и Сп- Заметим, что эти коэффициенты проще определять при помощи разложений уравнения контура меридионального сечения в ряды по функциям от эллиптических координат, а уже затем доводить расчеты до скоростей в эллиптических или цилиндрических координатах. Так, например, как было показано в предыдущем параграфе, в случае удлиненных тел вращений со значительным удлинением коэффициенты и С легко определяются путем разложения уравнения контура в тригонометрический ряд по косинусам эллиптической координаты 1). [c.436]

Так как sin ф и os ф имеют период 2я по ф, то согласно (13) и (14), эллиптические синус и косинус имеют по и период, рав-пый АК к). [c.153]

СП(и)- эллиптический косинус. с1п(и)- дельта амплитуды. [c.4]

Входящие в (1.26) - (1.28) выражения для dGi/d/Vj, Gj и G3 в случае трехмерного, плоскопараллельного или осесимметричного распределения потенциала на плоской поверхности приведены в табл. 1.11, где Е и К полные эллиптические интегралы первого и второго рода si и i - интегральные синус и косинус, а индексами 1 и 2 обозначены координаты точек Ml и Л 2. [c.35]

Для определения вековых возмущений необходимо лишь вместо Q подставить непериодическую часть этой функции, т. е. первый член разложения О в ряды синусов и косинусов углов, зависящих от средних движений возмущаемой и возмущающих планет. Действительно, так как 9 является только функцией эллиптических координат этих планет, которые всегда —по крайней мере в том случае, когда эксцентриситеты и наклонения незначительны — могут быть разложены в ряды синусов и косинусов углов, пропорциональных аномалиям и средним долготам, то функцию 9 можно разложить в ряд подобного же вида, и тогда первый член, не содержащий синуса и косинуса, будет единственным, который может дать вековые уравнения. [c.114]

Функции 2 = sn u, к) эллиптический синус) и z = сп и, к) (эллиптический косинус) определяются так [c.185]

Геометрические параметры оболочки выражаются через эллиптический косинус [c.67]

Решение (2.19) можно суш,ественно упростить, если воспользоваться аппроксимацией эллиптического косинуса тригонометрическими функциями [42 [c.69]

Эллиптический интеграл в уравнении (306) можно определить при помощи табл. 24 или по графикам (фиг. 157 и 158), по вспомогательному углу 6, косинус которого определяется по уравнению (305). [c.101]

Из полученных разложений можно вывести множество других. Напишем, например, разложения для направляющих косинусов радиуса-вектора в эллиптическом движении. Так как [c.540]

В главе XI было показано, что в этом случае коордииаты и составляющие скорости (а также любые другие переменные величины эллиптического движения) разложимы в тригонометрические ряды, расположенные по синусам и косинусам кратных средней аномалии М , абсолютно сходящиеся для всякого момента времени, если е,<ё = 0,6627.. . и не абсолютно (или условно) сходящиеся, если < 1. [c.658]

Уточним теперь зависимость величин М ] от времени 1, для чего нужно опять обратиться к формулам (13.3 ), определяющим величины Так как мы предполагаем, что движение каждой из точек принадлежит к эллиптическому типу, то координаты каждой из этих точек являются периодическими функциями от своей средней аномалии и могут быть представлены в виде рядов Фурье, расположенных по синусам и косинусам кратных М . Следовательно, величина Яз] есть периодическая функция от двух средних аномалий и а поэтому может быть разложена в двойной ряд Фурье, расположенный по синусам и косинусам аргумента [c.664]

Пример 1 Пусть координаты центра эллиптической пластинки — (/, g, Н) и направляющие косинусы ее осей симметрии — (а, р, 7) (а, Р. у ) До казать, что [c.26]

Так как sin p и os< имеют период 2тг по ср, то согласно (13) и (15), эллиптические синус и косинус имеют по и период, равный 4К к). Функция дельта амплитуды z = dn(i/, к) определяется так [c.185]

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ — отдельные классы функций, возникающих во многих теоретич. и прикладных задачах, обычно при решении дпффоренц. ур-ний. В физике чаще всего встречаются гамма-функция (см. Эйлера интегралы), ортогональные полиномы, сферические функции, цилиндрические функции, гипергеометрические функции и вырожденные гипергеометрические функции, параболического цилиндра функции, интегральные синус и косинус, интеграл вероятности (см. Интегральные функции), Матъё функции, эллиптические функции и др. Все перечисленные ф-ции, за исключением гамма-функции, ф-ций Матьё и эллип-тич. ф-ций, являются решениями обыкновенного диф-ференц. ур-ния 2-го порядка [c.630]

В работе К- Форсберга и В,- Флюгге [70] (1966 г.) дано решение для оболоч- ки типа эллиптического параболоида при нормальной сосредоточенной силе. Сингулярное решение строится в виде ряда по косинусам полярного угла. Решения для каждого коэффициента ряда разложено тю степеням параметра, характеризующего форму параболоида. Коэффициенты степенного ряда определены через модифицированные функции Бесселя из рекуррентных, дифференциальных уравнений. , [c.254]

Как известно, это уравнение имеет класс стационарных решений в виде волн, распространяющихся с постоянной скоростью без изменения формы. При этом v==v((), i =у + Ьх, у = t -х/со (Ь = onst) и (4.1) обращается в уравнение в обычных производных. У этого уравнения имеется семейство периодических финитных решений - кноидальных волн аналитически они описьшаются эллиптическими косинусами. Кроме того, имеется уединенное решение (солитон), отвечающее замкнутой сепаратрисе, в виде [c.162]

Здесь сп[(р, к) — эллиптический косинус — четная периодическая функция с периодом 4К, dn ((/ , к) — эллиптическая четная периодическая функция с периодом 2К, К — полный эллиптический интеграл — 1 сп (р, к) к А ) 1. В обозначениях Глешера [c.34]

Обратим теперь втгмание на следующее обстоятельство. Как показано, координаты эллиптического движеиия могут быть представлены Б виде рядов Фурье (т. е. рядов, расположенных ио синусам и косинусам целых кратностей средней аномалии М), коэффициенты которых суть ряды с числовыми коэффициентами, расположенные по целым возрастаюи1,им степеням эксцентриситета орбиты е. [c.564]

Предположим сначала, что возмущающая сила не зависит явно от времени t и содержит простейшим образом (т. е. в виде множителя) некоторый малый параметр о. Тогда составляющие возмущающего ускорения будут функциями только от координат и составляющих скорости движущейся точки, имея множителем малый параметр о. Но координаты и составляющие скорости иевозмущенного эллиптического движения разложимы, как показано в гл. П, в ряды Фурье, расположенные по синусам и косинусам средней аномалии М. Поэтому таким же характером будут обладать и функции -Р, и уравнения (12.102) могут быть написаны для рассматриваемого случая в следующем общем виде [c.646]

Эти коэффициенты А и В в свою очередь могут быть разло-л<ены в степенные ряды, расположенные по целым положительным степеням эксцентриситетов и наклонностей. Действительно, из результатов гл. II прямо следует, что коэффициенты рядов Фурье, представляющих величины эллиптического движения, суть ряды, расположенные по степеням эксцентриситета эллиптической орбиты. Кроме того, координаты эллиптического движения содержат либо косинус, либо синус наклонности, а поэтому упомянутые координаты разлагаются в ряды по степеням наклонности. Таким образом, функция Rsj может быть разложена в четырехкратный ряд, расположенный по степеням эксцентриси тетов и наклонностей двух орбит точек М и Му Следовательно, и всякая из величин s ] также разложима в ряд такого же характера, а значит, коэффициенты Л и в формуле [c.665]

Будем рассматривать, как основные переменные, элементы Пуанкаре (13.60) и предположим для простоты, что возмущающая функция / не зависит от времени. Тогда, если движение рассматриваемой точки принадлежит к эллиптическому типу, то Я, как это уже неоднократно отмечалось, будет периодической функцией от средней аномалии I, или от средней долготы X, 1 может быть разложена в ряд Фурье, расположенный по синусам и косинусам целых кратностей средней аномалии. Коэффициенты этого разложения будут некоторыми функциями от остальных элементов Пуанкаре, т. е. от Л, эксцентрических элементов т] и облических элементов р, д. Мы покажем те перь, что эти коэффициенты разложимы по целым, положительным степеням величин [c.697]

Рассмотрим теперь выражения для координат эллиптического движения, представленные рядами, расположенными по целым положительным степенял эксцентриситета ), и коэффициенты которых суть тригонометрические функции (конечные ряды синусов и косинусов) от средней аномалии, обозначаемой в этой главе буквой I. [c.701]

Введение. Методы, изложенные в гл. I, достаточны для вычисления координат планеты в эллиптической орбите для любого момента времени по элементам этой орбиты. Для различных приложений в небесной механике необходимо иметь в распоряжении методы, которые позволят разложить координаты и функции от координат в эллиптической орбите в периодические ряды. При движении по эллипсу все конечные и непрерывные функции от координат после полного обращения тела возвращаются к исходным значениям. Поэтому такие функции разложимы в периодические ряды по любой непрерыно возрастающей угловой переменной, которая за время полного обращения тела увеличивается на 2л. Угловыми переменными, представляющими в этой связи особый интерес, являются средняя аномалия I, эксцентрическая аномалия и и истинная аномалия /. Они не являются единственными аргументами, которые могут быть рассмотрены в некоторых приложениях используются другие аргументы. Функциями, которые представляются наиболее естественными для этой цели, являются пли четные, или нечетные периодическпе функции от этпх переменных, порождающие либо ряды косинусов, либо ряды синусов. Поскольку обычно удобнее оперировать степенными рядами, чем тригонометрическими разложениями, то полезно познакомиться с разложениями в экспоненциальной форме. [c.58]

Уравнения (1.36) находятся в замкнутом виде без дальнейших упрощений и выражаются через эллиптические функции Якоби. Поскольку решения / (0) выражаются через эллиптический Косинус СП 0, они называются кноидалъными волнами. Эта работа подтверждает общие выводы работы Стокса. Во-первых, существование периодических волновых пакетов с произвольной амплитудой а проверяется непосредственно. Во-вторых, это решение дает конкретное дисперсионное соотношение между со, х и а, причем главным нелинейным эффектом снова является то, что в это соотношение входит амплитуда. [c.20]

В этих выражениях сп — косинус амплитуды эллиптической функции К — полный эллиптический интеграл 1-го рода ( 6.2). Хотя их довольно трудно вычислять без помощи ЭВМ, ур-ния (4.12.6) — (4.2.8) имеют два достоинства они точны и являются близкими по форме выражениями. Еще более важно то, что, как было эмпирически обнаружено, если взять среднее геометрическое ур-ний (4.2.6а) и (4.2.66), то величины 2о ]/е, полученные таким путем, находятся (в пределах соответствующих значений <1/Ь) в близком согласии с вычисленными по формуле Френкеля и полученными численно Кристэлом. Благодаря использованию этого приема были рассчитаны данные, приведенные во второй колонке табл. 4.Л (т. е. для случая /Ь = , как показано на рис. 4..1). Вероятно, эти данные являются наиболее точными из доступных пока результатов. Графическое представление дано рис. 4.3. Следует заметить,, что верхний и нижний пределы 2о> е можно также вывести из работы Андерсона и Артурса 14.20], но так как они менее точно ограничены, чем пределы, приведенные Лином и Чангом, и так как метод среднего геометрического дает неудобные результаты, эта работа в данном контексте имеет чисто академический интерес. [c.84]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...