Вектор перемещения и деформированное состояние

ВЕКТОР ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ [c.7]

Пусть по-прежнему изотропное упругое тело занимает область ), ограниченную поверхностью 5= и г, причем теперь на 5] задан нулевой вектор перемещений 1=0, а на — вектор напряжений В области О действует вектор массовых сил Р. Требуется определить напряженное и деформированное состояние внутри области. [c.631]

Построение эпюр напряженно-деформированного состояния по компонентам векторов перемещений и усилий. [c.38]

Деформированное состояние в каждом сечении характеризуется деформационными параметрами, включающими вектор перемещения и х, t) с компонентами Uy и и и вектор угла поворота ф (х, i) с компонентами (ру и фг, и силовыми параметрами — вектором поперечной силы Q (х, t) с компонентами и и вектором изгибающего момента М х, t) с компонентами Му и М - [c.134]

Познакомимся с расчетом напряженно-деформированного состояния в процессах обработки металлов давлением при заданных начальных (т. е. в начальный момент времени) и граничных (т. е. на поверхности деформируемого тела) условиях. Деформированное состояние тела характеризуют 22 основные величины три компоненты вектора перемещения и, три компоненты вектора скорости v, три компоненты вектора ускорения а, шесть [c.153]

Математическое описание взаимодействия между двумя упругими средами, одна из которых ослаблена симметричным угловым вырезом. В работе [21] указывается на недостатки традиционной модели взаимодействия между двумя упругими средами, т е. такой модели, в которой при скачке упругих постоянных на границе двух сред вектор перемещений и вектор напряжений, действующих на поверхность контакта, непрерывны, но другие характеристики напряженно-деформированного состояния, и прежде всего углы поворота, терпят разрыв. Математические методы, развитые в настоящем параграфе, позволяют проанализировать другие модели взаимодействия упругих сред. Рассмотрим для простоты задачу об анти-плоском сдвиге. [c.235]

Рассмотрим круговую (или кольцевую) пластинку радиуса Ь и толщины h симметричного по толщине строения, собранную из нечетного числа т = 2d + упругих однородных изотропных слоев постоянной толщины и несущую осесимметрично распределенную поперечную нагрузку Z = Z(r). Примем, кроме того, что условия ее закрепления также не зависят от угловой координаты. При перечисленных условиях напряженно-деформированное состояние пластинки будет осесимметричным. Кроме того, обращаются в нуль угловая составляющая вектора перемещений и все связанные с ней величины. Рассматривая уравнения (5.1.29), замечаем, что второе из них удовлетворяется тождественно, тогда как остальные принимают следующий вид [c.138]

Рассмотрим слоистую круговую ортотропную цилиндрическую оболочку, нагруженную осесимметрично распределенной нормальной поверхностной нагрузкой q x) и системой контурных нагрузок. Примем, что условия закрепления и нагружения краев оболочки не зависят от координаты причем контурные нагрузки не имеют угловой составляющей. В этом случае обращаются в нуль угловая составляющая вектора перемещений и все связанные с ней величины, а напряженно-деформированное состояние оболочки будет осесимметричным. Обращаясь к уравнениям (6.1.1) — (6.1.6), замечаем, что те из этих уравнений, которые связаны с угловой составляющей вектора перемещений, удовлетворяются тождественно, а остальные упрощаются в силу условия д/д<р = 0. Учитывая эти замечания, получаем из (6.1.1) — (6.1.6) замкнутую систему уравнений осесимметричного изгиба ортотропной цилиндрической слоистой оболочки, включающую в себя следующие группы зависимостей [c.163]

Рассмотрим круговую замкнутую усеченную ортотропную коническую оболочку, собранную из т слоев, каждый из которых армирован волокнами постоянного сечения либо в меридиональном, либо в окружном направлении. Примем также, что условия нагружения и закрепления оболочки не зависят от угловой координаты, а внешние поверхностные и контурные нагрузки не имеют угловой составляющей. При перечисленных условиях направления осей ортотропии совпадают с направлениями координатных осей, напряженно-деформированное состояние оболочки осесимметрично, а угловая составляющая вектора перемещений и все связанные с ней величины обращаются в нуль. [c.229]

Для простоты и наглядности представления теории рассмотрим частный случай плоского напряженного состояния в теле, когда векторы Э и S являются двумерными. Для изучения законов упругости и пластичности материалов, т. е. для установления связи между 5 и Э, необходима постановка таких опытов, в которых в любой момент времени могут быть измерены напряжения и деформации во всех точках тела. Для этого необходимо, чтобы напряженное и деформированное состояние испытуемого тела было однородно, т. е. одинаково во всех точках тела. В таком случае по значениям внешних сил и значениям перемещений границ тела легко находятся напряжения и деформации тела. Однако фактически осуществить однородное состояние удается лишь в очень небольшом числе случаев. Выше мы видели, что тело любой формы при равномерном внешнем давлении по всей границе получает однородную деформацию равномерного сжатия, и в этом — простота изучения свойств объемной сжимаемости тел. Далее будем рассматривать однородные сложные напряженные состояния и состояние сдвигов. [c.152]

Для характеристики деформированного состояния тела В вводится вектор перемещений и с координатами [c.7]

Вектор а с компонентами а, а , аз обозначается через а,-. В этом смысле вектор перемещения в упругом теле означает вектор с компонентами щ, щ, из. Напряженное и деформированное состояния упругого тела определяются соответственно тензорами второго ранга оц и ец , /=1, 2, 3). Символы а,у, означают величины с девятью компонентами. [c.12]

Таким образом задача для отраженных волн, а следовательно, й исходная задача описываются установившимся периодическим, но не гармоническим процессом. Поэтому компоненты напряженно-деформированного состояния, вызванные отраженными волнами не могут быть представлены в виде функций от координат, умноженных на, g- решении задач о гармоническом нагружении [96, 103, 108, 426, 471, 478 и др.]. Представим компоненты вектора перемещений и тензора напряжений рядами Фурье по параметру нагрузки [c.160]

Определить напряженное или деформированное состояние тела по заданным на его границе компонентам и, V, вектора перемещений и и компоненте о>2 вектора вращений м. [c.54]

Рассматриваем два состояния тела исходное, при котором внешние нагрузки и внутренние напряжения отсутствуют, и деформированное. Положение произвольной точки тела в исходном состоянии характеризуется радиус-вектором г, проекции его на прямоугольные оси обозначаем буквами х , Хз, х . Положение той же точки тела в деформированном состоянии определяется радиус-вектором i , проекции последнего на те же оси обозначаем буквами X2, Х . Вектор перемещения и = Н-г, его проекции , к = 1, 2, 3. [c.69]

Будем решать задачу об определении напряженно-деформированного состояния цилиндра с использованием принципа Сен-Венана. Предположим, что перемещение некоторой точки О на So равно нулю, так же как и тензор вращения в этой точке, и выберем начало декартовой системы отсчета в этой точке. Ось Охз направим параллельно образующим цилиндра, а оси Oxi и 0x2 расположим в плоскости сечения Sn. Пусть главный вектор внешних воздействий на равен Р, главный момент —М. Тогда [c.64]

Ставится задача найти для данного бруса компоненты тензора напряжений и- компоненты вектора перемещения произвольной его Т0 1КИ К (xi), т. е. выяснить напряженно-деформированное состояние бруса при заданных условиях. [c.132]

Введем в рассмотрение декартову систему координат х, у, г, отнеся ее к недеформированному состоянию. Вектор, начало которого совпадает с исходным положением точки, а конец — с положением, в которое точка переходит после деформирования, назовем перемещением и будем обозначать его проекции через и, V п 10. Из соображений сплошности следует, что смещения, как функции координат, будут представлять собой непрерывные функции ) [c.206]

Вектор и называется вектором перемещения. Будем относить этот вектор к ортогональному базису, связанному с декартовой системой координат хи Эта оговорка существенна для дальнейшего, так как в принципе можно относить его к базису, образованному касательными к координатным линиям в деформированном состоянии. Мы не будем вставать здесь на этот второй путь. [c.213]

Знание вектора перемещения как функции координат материальной точки и времени полностью решает задачу об определении деформированного состояния среды. [c.101]

Связь между усилиями, моментами и характеристиками деформаций дают соотношения (16.26), а выражение деформаций через перемещения — соотношения (16.14). Совокупность уравнений (16.62), (16.26), (16.14) с соответствующими задаче краевыми условиями (см. 16.8) описывает поведение гибких пластин, для кото-рых нелинейность в уравнениях (16.63) и (16.14) существенна в силу того, что (1) , 0)2 е, (I, 2 о, Ё12 о- Если пластина жесткая, то ее прогибы W малы и малы повороты oj и (Оа- Тогда со , aii х о, е, о> Ё 2 О 1 И уравнения линеаризуются после отбрасывания нелинейных членов. В этом случае задача отыскания функций и, v отделяется от задачи отыскания функции w, т. е. задача разделяется на задачу о напряженно-деформированном состоянии под действием сил, векторы которых расположены в плоскости пластины, и на задачу поперечного изгиба. Уравнения первой из этих задач приведены в 17.8 и представлены соотношениями (17.23), (17.24). К этим уравнениям следует присоединить соответствующие им краевые условия (см. 16.8). [c.390]

В (15.94) в общем случае фигурируют элементы четырех произвольных состояний тела. Для первого из них известны внешние силы X и pv, для второго — перемещения и, для третьего — напряжения а и, наконец, для четвертого — деформации г. В частности, все эти векторы или некоторые из них могут относиться к одному и тому же напряженно-деформированному состоянию тела. [c.516]

Таким образом, поставленная задача о восстановлении напряженно-деформированного состояния упругого тела по известному вектору перемещений на части поверхности сводится к решению системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода (3.9). Исходная информация, необходимая для однозначного нахождения неизвестного вектора реакций или нагрузки, в общем случае должна включать в себя данные о всех трех компонентах вектора перемещений на поверхности измерений. Но во многих случаях эффективному измерению поддаются лишь отдельные компоненты вектора перемещений. Например, при тензометрических исследованиях натурных конструкций или их моделей находят величины относительных удлинений (деформаций) в точках поверхности, что позволяет после предварительной обработки дискретных данных измерений (интерполирование, сглаживание и т.п.), путем интегрирования эпюр деформаций построить в локальной системе координат поверхности эпюры компонент вектора перемещений, касательных к поверхности измерений. В то же время нормальная к поверхности компонента вектора перемещений не может быть определена тензометрическими методами. В таких случаях определение неизвестного вектора напряжений может быть осуществлено по двум или даже одной компоненте вектора перемещений, при этом искомый вектор напряжений может восстанавливаться не однозначно. Это связано с возможностью появления нетривиальных решений для неполной системы однородных уравнений (3.9). В некоторых случаях характер нетривиальных решений можно предсказать. Выбор того или иного решения может быть осуществлен на основании некоторой дополнительной информации (например, информации о величине искомого вектора в какой-либо одной точке) или исходя- из общих представлений о напряженном состоянии исследуемой конструкции. [c.66]

Здесь [i J - матрица жесткости конструкции, обусловленная свойствами элементов и свойствами материала. Эта матрица может включать линейную и нелинейную составляющие, соответствующую линейному и нелинейному поведению материала. [Kj] - дифференциальная матрица жесткости, которая зависит от напряженно-деформированного состояния конструкции, выражаемого через перемещения узлов и i - вектор внешних нагрузок, в общем случае также являющийся функцией перемещений. [c.297]

Применение методов спекл-фотографии и спекл-интерферо-метрии для исследований напряженно-деформированного состояния обусловлено преимуществами этих методов по сравнению с голографической интерферометрией увеличение диапазона измерений, возможность выделения отдельных компонент вектора перемещений, снижение требований к разрешающей способности регистрирующей среды и когерентности источников света, простота оптических схем и пониженные требования к виброзащите установок. [c.546]

В результате решения системы разрешающих уравнений МКЭ в перемещениях находят значения перемещений в узлах расчетной сетки. Выбирая перемещения узлов, относящихся к г конечному элементу qr, и, перемножая их на матрицу направляющих косинусов г конечного элемента, получим вектор значений степеней свободы г конечного элемента в собственной системе координат— qr - Зная г, Кг и фг, легко построить все компоненты напряженно-деформированного состояния г конечного элемента [c.105]

Так как каждый элемент вектора Ur есть функция от координат X, у, Z для точек области г, конечного элемента, то и элементы вектора г и lOr, т. е. виды деформаций и напряжений Ех, еу,Хху,Ох и т. д., также будут функциями координат х, у, z. Подставив конкретное значение х, у, z для рассматриваемой точки, получим величины всех компонентов напряженно-деформированного состояния в этой точке. Это не должно создавать иллюзии, что решение задачи по МКЭ получается в аналитическом виде основным результатом решения задачи являются дискретные значения узловых перемещений q. Значения же перемещений, деформаций и напряжений в произвольной точке Qr в данном случае нужно рассматривать как своеобразные интерполяционные выражения. Причем закон интерполяции обусловлен системой аппроксимирующих функций фг, т. е. принят на самых ранних этапах расчета. Следует отметить, что метод перемещений обусловливает разрывы напряжений и деформаций на границах конечных элементов.. [c.105]

Понятие о деформациях. При действии внешних сил происходит изменение объема тела и его формы, т.е. тело деформируется. Различают начальное (недеформированное) и конечное (деформированное) состояния тела (рис. 9.6). Фиксированное положение произвольной точки М переходит в новое —Л/ . Проекции вектора перемещений [c.402]

Деформированное состояние мембраны описывается уравнением (3.65). Мембрана размера а УС Ь (рис. 3.8) закреплена на контуре так, что во всех точках границы перемещение w = 0. Нанесем на поверхность мембраны сетку с шагом Ах вдоль оси X и шагом Ау вдоль оси у. Положим Ах = а/5. Вектор Ф в об-ш ей системе уравнений упро-ш,ается и принимает вид [c.86]

Малая деформация деформированного объема. Далее рассматриваются три состояния упругого тела начальное состояние в у-объеме, ограниченном поверхностью о, первое состояние деформации (1/-объем, поверхность О) и второе состояние, получаемое из первого сообщением его точкам малого перемещения, задаваемого вектором r]w. Объем тела и его поверхность в этом состоянии обозначаются V, Q ц — малый параметр, во всем последующем сохраняются слагаемые только первой степени относительно этого параметра ). [c.719]

Упругое равновесие твердых тел описывается уравнениями плоской задачи теории упругости в случае плоской деформации цилии-дрических тел постоянного поперечного сечения, когда на тело действуют внешние силы, нормальные к его оси и одинаковые для всех поперечных сечений указанного тела, либо в случае обобщенного плоского напряженного состояния, т. е. при деформации тонкой пластины силами, действующими в ее плоскости. При этом для определения напряженно-деформированного состояния в произвольной точке деформируемого упругого изотропного тела необходимо найти три компоненты тензора напряжений —Оу, х у (рис. 1) и две составляющие вектора перемещений — и, v. Если система декартовых координат выбрана так, что плоскость xOi/ совпадает или с поперечным сечением стержня, или со срединной плоскостью пластины, указанные компоненты в условиях плоской задачи теории упругости являются функциями двух переменных (х и i/). [c.7]

Здесь Е , — 6x6 единичная и нулевая матрицы соответственно А, В, С — 12 X 12 матрицы, элементы которых — полиномы от дифференциального оператора Dp (D = d/dip) с коэффициентами, зависящими от переменной х. (При неосесимметричном основном равновесном состоянии элементы матрицы параметрических членов С зависят еще и от угловой координаты ip.) Матрицы А, Б тождественны соответствующим матрицам из (8.4.8), а выражения для элементов матрицы параметрических членов С определяются видом докритичсского напряженно-деформированного состояния оболочки. Приведем их для случая нагружения оболочки равномерно распределенным внешним давлением интенсивности Р. В этом случае равновесное напряженно-деформированное состояние оболочки осесимметрично, а угловая составляющая вектора перемещений и и все связанные с ней величины равны нулю, что позволяет упростить параметрические члены уравнений устойчивости, полагая в них [c.258]

Следуя Бюкнеру, рассмотрим тело объемом v, ограниченное поверхностью S = Sp + Su (рис. 15). Массовые силы обозначим через Xi, на части поверхности Sp определены усилия pi, на Su — перемещения Uiq. Исходное напряжение и деформированное состояние тела с трещиной до ее развития характеризуется тензорами aij, ij — вектором перемещений Ui- [c.394]

Общая теория такой несимметричной упругости была разработана братьями Коссера ) в 1910 г. В классической теории упругости материальная частица совпадает с точкой, а деформированное состояние описывается перемещением точки. В отличие от этой модели братья Коссера ставят в соответствие каждой частице деформированной среды ортогональный трехгранник. Таким образом частицы получают ориентирование (полярная среда). Каждая частица среды Коссера является малым абсолютно твердым телом. Деформация такой среды описывается не только вектором перемещения и, но также вектором поворота о, т. е. величиной, являющейся функцией положения х и времени t. При таких предположениях в теле возникают не только напряжения Oij, но и моментные напряжения образующие, вообще говоря, несимметричные тензоры. [c.798]

Как известно, решение плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы методом начальных функций [3] сводится к определению четырех начальных функций, представляющих собой компоненты вектора перемещений и, v п вектора напряжений Оу, Хху на площадке у = onst и определенных при г/ = О (рис. i). Напряженное и деформированное состояние полосы через начальные функции определяется формулами [c.137]

Переход тела недёформированного в конечное деформированное состояние (рис. 1.8) можно представить себе сначала как поступательное перемещение, характеризуемое вектором 5, поворот как жесткого целого, характеризуемый вектором вращения м, и деформация тела в пространственной системе координат Х[. Положение пространственных координат Xi относительно x i можно определить тремя углами Эйлера углом прецессии il)= [c.29]

Напряженно-деформированное состояние объема У вызывается реакцией отброщенной части тела, выраженной в виде вектора напряжений Pf (x) (х G Z,), действующего по поверхности разреза i, и усилиями P/i(s) на S. Сам объем будем считать свободным от действия массовых сил и начальных напряжений, вызываемых источниками типа несовместных деформаций. Суммарный вектор напряжений на I + 5 должен удовлетворять условиям самоуравновешенности. Поставленная задача характеризуется переопределенностью граничных условий на 5 и сводится к определению неизвестных граничных условий на L (в перемещениях или усилиях), что дает возможность поставить обычную краевую задачу и определить напряженное состояние в объеме У. [c.63]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...