Деформации Выражение через перемещения

Подставляя в уравнение (3.7.1) по формулам (1.8.3) вместо компонентов тензора напряжений компоненты тензора деформации, выраженные через перемещения с помощью уравнений Коши (1.7.1), и учитывая независимость друг от друга аппроксимирующих функций , (р , ф , получим три приближенные системы (т + л- -/) уравнений в частных производных по трем переменным относительно (т + п + /) искомых функций /и П, [c.73]

Уравнения упругости, связывающие погонные усилия и моменты с деформациями, выраженными через перемещения, имеют вид [c.263]

Эта величина называется углом сдвига в плоскости ху. Если перемещение и возрастает с увеличением у, а V — с увеличением д , то оба члена будут положительными и это соответствует уменьщению угла. Аналогично получим зависимости углов сдвига, выраженные через перемещения в плоскости уг и хг. Полное выражение зависимостей между деформациями и перемещениями имеет вид [c.14]

Функционал (8.7.5) называется функционалом Лагранжа, он зависит только от вектора перемещения ы поскольку фигурирующие в выражении (8.7.5) компоненты деформации предполагаются выраженными через перемещения. Приравняем нулю вариацию функционала Лагранжа [c.256]

Потенциальная энергия. Наи лее простую форму принцип возможных перемещений в механике деформируемого твердого тела принимает для линейно-упругих сред. Пусть имеет место обобщенный закон Гука (8.1), что дает основание заменить в выражении b Vv напряжения деформациями, которые предполагаем выраженными через перемещения. Тогда согласно формуле (9.4) [c.194]

Эти уравнения описывают поведение гибких пластин, при (of, toi 6i 0. f j 0. о < 1 следовательно, наряду с нелинейностью в уравнениях (16.66) надо сохранять квадраты углов поворотов в выражениях (16.15) для деформаций е,, через перемещения. [c.391]

Решение задачи в перемещениях строится на базе уравнений, получающихся путем замены в уравнениях равновесия (19.3) напряжений T.V, ст,/, Хху деформациями с использованием соотношений упругости (19.1) с последующей заменой деформаций их выражением через перемещения согласно соотношениям Коши (19.2). Это дает два дифференциальных уравнения в частных производных вида [c.441]

Решение в перемещениях строится на базе уравнений равновесия (19.3), в которых, как и в случае плоской деформации, напряжения следует заменить их выражениями через деформации по соотношениям упругости (19.13), а деформации заменить их выражениями через перемещения согласно соотношениям Коши (19.2). [c.443]

Решение задачи в напряжениях. В этом случае к уравнениям равновесия (19.27) следует добавить условие совместности деформаций, выраженных через напряжения. Так как процедура получения уравнений совместности, состоящая в исключении перемещений и, V из выражений деформации (19.28), трудоемка, то получим уравнение совместности иным путем. [c.455]

На основании гипотезы 3 и равенства (4) из геометрических соотношений теории упругости, записанных в криволинейных координатах и преобразованных с учетом (2), можно. получить следующие выражения, определяющие деформации оболочки через перемещения ее срединной поверхности и к из [1631 [c.218]

Вывод уравнений совместности деформаций, выраженных через напряжения, используемых в первом пути решения задачи теории упругости, и уравнений равновесия, выраженных через перемещения, приводится ниже. [c.617]

Подставляя в уравнение (12.120) вместо параметра деформации Кл его выражение через перемещение согласно (12.116), получим искомое уравнение [c.205]

С учетом (в. 19) и (в.28) тензор деформаций может быть выражен через перемещения с помощью одной компактной формулы [c.16]

Условие стационарности функционала полной потенциальной энергии (3.16) для линейно упругого тела позволяет достаточно просто получить разрешающие дифференциальные уравнения и граничные условия, записанные через перемещения. Для этого в функционале потенциальной энергии деформации (3.19) следует заменить деформации е их кинематическими выражениями. В случае малых перемещений эти выражения имеют вид (3.4). Тогда функционал Лагранжа, выраженный через перемещения, определится как [c.78]

Деформациями можно назвать величины г , другие функции первых производных от перемещений, которые можно выразить через s , s , os 6. Примерами таких функций являются так называемые компоненты тензора конечной деформации, которые в случае плоской деформации имеют следующие выражения через перемещения и и v [c.197]

Вне зависимости от реологических свойств сплошной среды кинематические параметры (скорости деформаций Уч или обобщенные скорости деформаций, их выражения через перемещения) должны быть энергетически согласованы с силовыми факторами (напряжениями т - или обобщенными напряжениями и формой их связи в уравнениях равновесия или движения). Это означает, что для любой приближенной модели, так же как и для общей, должны быть выполнены баланс механической мощности и вариационное равенство, соответствующее принципу виртуальных скоростей (массовые внешние силы опущены) [c.34]

Вставляя вместо полных деформаций их выражения через перемещения (103), находим для деформаций е , обусловленных напряжениями, такие [c.177]

Пользуясь дифференциальными уравнениями (268) предыдущего параграфа, мы можем решить вопрос о деформациях, возникающих в цилиндрической трубке с опертыми краями в случае действия на боковую поверхность трубки распределенных нормальных давлений интенсивности д. Подставив в эти уравнения вместо Тг, 5 и моментов М , Мг, Я их выражения через перемещения, что можно сделать при помощи формул (д) и (Ь) предыдущего параграфа, мы придем к трем таким уравнениям [c.477]

Энергия деформации определяется по формуле (11.31), куда подставляется значение силы Р, выраженное через перемещение 6 [c.487]

Отметим, что энергия деформации выражается через перемещение, а дополнительная энергия — через нагрузку. Подобная форма представления энергий соответствует характеру определения энергий С/ и [/ , более того, в дальнейшем будет показано, что такая форма наиболее удобна при определении прогибов и исследовании поведения конструкций. Разумеется, в некоторых случаях вполне возможно выразить энергию де рмации через нагрузку, а дополнительную энергию — через перемещение. Для данного примера подобный результат можно получить подстановкой исходного выражения д=СР зависимости нагрузки от перемещения в [c.487]

Заменим компоненты деформации в (6.28) эквивалентными выражениями через перемещения - - ц (и,- у + /,1)- Таким образом, д.- - - [c.218]

Подставляя сюда уравнения для компонент деформаций, выраженных через производные от трех составляющих перемещений вдоль координатных осей, [c.220]

Внося напряжения (5.4) в закон Гука (V) ( 24), получим деформации затем заменяем деформации их выражениями через перемещения по уравнениям (III) ( 24) и получаем такую систему уравнений [c.113]

Исключая из уравнений (4) перемещения и и ш, получим два уравнения совместности деформаций, выраженные через напряжения [c.426]

Подставив сюда значения компонент тензора деформаций (8.12) и тензора напряжений (8.13), выраженных через перемещение т(х, у, 1), получим [c.338]

Использованные в разд. 19.3 нелинейные соотношения (19.5) между деформациями и перемещениями были выведены специально для этого случая. Аналогично можно вывести соотношения и для оболочек, кроме того, всегда существует возможность получения и других приближенных выражений. Однако можно использовать общее определение деформаций, справедливое как для больших, так и для малых перемещений и деформаций. Такое определение введено Грином и Сен-Венаном. Оно известно как тензор деформации Грина. В фиксированной декартовой системе координат х, у, г деформации определяются через перемещения и, о, ап выражениями [34] [c.455]

УИр, Я их выражениями через деформации и перемещения [по уравнениям (7.40) и (7.38)]. Полученная таким образом система трех дифференциальных уравнений в частных производных относительно неизвестных и , ыр, Uz имеет в о с ь м о й порядок. [c.239]

Если в уравнения (7.90) подставить значения усилий, выраженные через деформации согласно уравнениям (7.40), и далее выразить деформации через перемещения по формулам (7.89), то по- [c.255]

Э зависит от перемещений и деформаций, а так как деформации однозначно определяются через перемещения, то можно утверждать, что функционал Э зависит только от перемещений и, v, w. Заметим, что в выражении (11.13) перемещения считаются согласованными с геометрическими граничными условиями на поверхности тела 5ц. [c.355]

Рассчитывать плотину при заданных граничных условиях удобнее в перемещениях. Для этого в уравнение (3.8.3) подставим усилия и моменты, выраженные через деформации, [c.80]

Воспользовавшись приведенными зависимостями, подставим в уравнения равновесия выражения деформаций через перемещения и окончательно получим три уравнения равновесия, выраженные в перемещениях. [c.82]

Выражения компонент деформации через перемещения [c.244]

Если в уравнения (6.90) подставить значения усилий, выраженные через деформации согласно уравнениям (6.40), и далее выразить деформации через перемещения по формулам (6,89), то получим систему трех дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях, которая в случае осесимметричной задачи приводится к двум уравнениям (up = 0). [c.178]

Так- же, жак уравнения равновесия, преобразуем условия на поверхности (4.2), заменив в них напряжения через перемещения. Для этого, в первое уравнение,(4.2) подставим выражения напряжений через деформации (4.6). Получим . ......... [c.44]

Для исследования равновесных состояний продольно сжатого упругого стержня при F > Fn, о которых речь шла в 15.3, следует обратиться к более точным выражениям деформаций и изменений кривизн через перемещения. Предположим справедливой гипотезу плоских сечений и, следовательно, верной зависимость (15.5) между моментом и характеристикой изгиба к = d0/ds. Выразим и через поперечное перемещение v (s) как функцию дуговой координаты s на изогну гой оси стержня. Так как (рис. 15.17) du/di = sin 0, то после однократного дифференцирования [c.356]

Усилия и моменты (пока кроме Qi и Q2) могут быть выражены через перемещения, если воспользоваться соотношениями упругости (16.17), выражениями деформаций ei, и ei через деформации срединной плоскости 8] о, 0. Чг о и изменениями кривизны ее Xj, и Xja (16.13). Подставив Tj , выраженные по соотношениям упруго- [c.375]

Связь между усилиями, моментами и характеристиками деформаций дают соотношения (16.26), а выражение деформаций через перемещения — соотношения (16.14). Совокупность уравнений (16.62), (16.26), (16.14) с соответствующими задаче краевыми условиями (см. 16.8) описывает поведение гибких пластин, для кото-рых нелинейность в уравнениях (16.63) и (16.14) существенна в силу того, что (1) , 0)2 е, (I, 2 о, Ё12 о- Если пластина жесткая, то ее прогибы W малы и малы повороты oj и (Оа- Тогда со , aii х о, е, о> Ё 2 О 1 И уравнения линеаризуются после отбрасывания нелинейных членов. В этом случае задача отыскания функций и, v отделяется от задачи отыскания функции w, т. е. задача разделяется на задачу о напряженно-деформированном состоянии под действием сил, векторы которых расположены в плоскости пластины, и на задачу поперечного изгиба. Уравнения первой из этих задач приведены в 17.8 и представлены соотношениями (17.23), (17.24). К этим уравнениям следует присоединить соответствующие им краевые условия (см. 16.8). [c.390]

Шесть компонентов деформаций, выраженных через три компонента перемещений в зависимости (1-9), можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно перемещений и, V, т, если компоненты деформации (Ех, Еу, EZ, Уху, Уух и Ужг) ЯВЛЯЮТСЯ ЗЭДаННЫМИ фуНКЦИЯМИ X, у, 2. Поскольку имеется шесть уравнений относительно трех неизвестных функций, то в общем случае нельзя считать, что эти уравнения будут иметь решения при произвольном выборе компонентов деформаций. На компоненты деформации должны быть наложены условия, позволяющие этим шести уравнениям дать систему однозначных непрерывных решений для трех компонентов перемещений. Если произвольно задать компоненты деформаций ех, Еу, Ег, Уху, Ууг И ужг), ТО упругое тело, мысленно раз-битое на малые элементарные параллелепипеды после их деформации, может потерять сплошность, иметь разрывы. [c.15]

Работу можно в дальнейшем еще более упростить, используя в выражениях (3.16а) для мембранных напряжений функцию Эри ф. Она тождественно удовлетворяет уравнениям равновесия в направлении осей X ш у, аналогичным уравнениям двумерной теории упругости, и поэтому не учитывающем влияние начальной кривизны и конечных перемещений на условия равновесия в направлении осей X ш у. Приравнивая мембранные (не зависящие от координаты z) напряжения (6.15) мембранным деформациям, выраженным через функцию ф с помохцью закона Гука, из [c.410]

Другой метод решения задачи о тонкой оболочке был показан на примерах уравнения (4.1 3) для плоской пластины и уравнения Сб.17) для круговой цилиндрической оболочки. Согласно этому методу решение для мембранных напряжений (или сил) выражается через, функцию напряжений ф(а, которая удовлетворяет первым двум уравнениям (6.24) и после подстановки в третье уравнение (жодит число неизвестных функций к двум Ф и U . Подобное удовлетворение уравнений равновесия должно быть дополнено удовлетворением условия непрерывности в направлениях а и которое может быть сведено к приравниванию выражений для трех мембранных деформаций, выраженных через функцию ф, их выражениям че]рез непрерывные функции перемещений и, v, w. Получающиеся в результате три зфавнения сводятся к одному путем исключения и я V, таким путем получается второе из двух уравнений, содержащих только две неизвестные функции ф и W, которые находятся из решения этих уравнений. Подобно уравнениям (4.13) и (4.18) для плоских пластин эти два зфавнения будут иметь четвертый порядок и теоретически будут содержать такое же число функций для удовлетворения краевых условий, как и обсуждавшиеся выше три уравнения относительно функций и, v и w. [c.443]

Ближе к существу физической проблемы, рассмотренной Дэвисом и Гопкинсоном, были результаты опытов, проводившихся в условиях симметричного свободного удара, показанные на )ис. 4.174. Часть докторской диссертации Хартмана (Hartman 1967, 1], [1969, 1]) посвящена измерению динамических деформаций с помощью дифракционных решеток в поликристаллах отожженной а-латуни. Измеренный квазистатический предел упругости этой отожженной латуни составил У=14 500 фунт/дюйм (10,2 кгс/мм ). Значение динамического предела упругости, определенное по фронту начальной волны с помощью измерений профилей волны деформаций двумя дифракционными решетками, изображенных на рис. 4.174, было равно У=27 700 фунт/дюйм (19,5 кгс/мм ) увеличение произошло почти в два раза. Путем сопоставления результатов эксперимента (сплошные линии) с расчетными, основанными на снижении скоростей волн и наибольших деформаций, выраженных через предел упругости У, я установил, что поведение образцов не описывается правильно ни квазистатическим значением 10,2 кгс/мм , ни более высоким динамическим значением 19,5 кгс/мм . Скорости распространения волн и наибольшие деформации, по экспериментальным наблюдениям, как и в любых твердых деформируемых телах, для которых рассматривались профили волн конечных деформаций, соответствовали пределу упругости У=0. На рис. 4.175 продолжительность перемещения (темные кружки) от одной позиции до другой и максимальные де юрмации для обеих позиций согласуются с полученными на основании расчета, в котором использована параболическая аппроксимация при г=3. Таким образом, приходим к типу поведения материала, который характеризуется графиком, показанным на рис. 4.176. Эксперименты с образцами поликристалли-ческого магния, для которого легко добиться существенного изменения предела упругости У, дали результаты (Bell [1968, 1]), идентичные с полученными для образцов из алюминия и а-латуни. [c.275]

Здесь под нужно понимать перемещение точки приложения силы Я/ в направлении этой силы, а под Н работу деформации, выраженную через у. Прандтль предлагает обозначать работу деформации буквой А (как это делагтся в этой книге во всех случаях) лишь тогда, когда работа деформации выражена через внешние силы, если же она выражена через перемещения, то он предлагает обозначать ее буквой Н. Это предложение очень практично, так как оно может устранить те недоразумения, которые происходили часто прежде. [c.260]

Так как при технических расчетах наибольший интерес представляет определение напряжений, то мы нри рассмотрении отдельных задач стремились определять напряжения непосредственно, не переходя к уравнениям, выраженным через перемещение точек деформированного тела. Для этого мы пользовались функхщями напряжений. Функцию напряжений мы ввели не только при рассмотрении плоской задачи, но также при изложении задачи Сен-Венана и задачи о деформации, симметричной относительно оси. Таким путем, как вам кажется, удалось достигнуть значительного упрощения в изложении задач о кручении и изгибе призматических стержней и задачи Герца, [c.11]

Схема вывода таких разрешающих уравнений, являющихся аналогом уравнений Ламе в теории упругости, следующая в уравнения равновесия (127), справедливые для оболочки, выполненной из материала с любыми физическими свойствами, вместо усилий-Ых, N2, 5 и моментов Мх, Мг и Я подставляются их выражения через параметры деформации согласно физическим уравнениям (137). В результате такой подстановки получаются три уравнения равновесия оболочки, выполненной из материала, подчиняющегося закону Гука. Далее в полученные уравншия вместо параметров деформации 6, , е , ю, Хг и т подставляются их выражения через перемещения г и ш согласно уравнениям (106)., имеющим чисто геометрический характер. Использование уравнений (106) гарантирует удовлетворение условиям совместности деформаций в срединном слое. [c.111]

Обращаясь к выражению деформации через перемещения == = dwidz, с учетом (11.6) получаем [c.229]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...